Taylor級数

級数 $\sum_ka_k(x-x_0)^k$ は $|x-x_0|< r$ で収束するので、冪級数 の記事の定理「収束する範囲と収束半径」により、その収束半径は $r$ 以上である。和を $g$ とおくと、同記事の系「何回でも微分できることと係数の公式」により、$g$ は $(x_0-r,x_0+r)$ 上で何回でも微分でき、$a_k=g^{(k)}(x_0)/k!$ である。$(x_0-r,x_0+r)$ 上で $f=g$ なので、$f$ もそこで何回でも微分でき、$f^{(k)}(x_0)=g^{(k)}(x_0)$ である。
$f$ が $I$ の各点で実解析的なら、各点の近くで何回でも微分できるので $f\in C^\infty(I)$ である。最後の同値は、前半により、$f$ を表す冪級数が $x_0$ における Taylor 級数そのものであることから従う。

$|t|<1$ で $g(t):=\sum_{k\ge0}t^k=\frac1{1-t}$ であり（級数 の記事の定理「等比級数の和」）、この冪級数の収束半径は $1$ である。冪級数 の記事の系「何回でも微分できることと係数の公式」により、$g^{(n)}(t)=\sum_{k\ge n}k(k-1)\cdots(k-n+1)\,t^{k-n}$ であり、これは左辺である。一方、$\frac{d}{dt}(1-t)^{-m}=m(1-t)^{-m-1}$ なので、$n$ についての帰納法で $g^{(n)}(t)=n!\,(1-t)^{-n-1}$ である。

$r< R$ なので級数 $\sum_ka_kr^k$ は収束し、その項は $0$ に近づく（級数 の記事の命題「収束する級数の項は0に近づく」）。したがって $M:=\sup_k|a_k|r^k$ は有限である。$|x-c|\le s$ とし、$t:=|x-c|/r$ とおくと $0\le t\le s/r<1$ である。冪級数 の記事の系「何回でも微分できることと係数の公式」による $f^{(n)}(x)=\sum_{k\ge n}\frac{k!}{(k-n)!}a_k(x-c)^{k-n}$ の各項を評価すると、$|a_k|\le Mr^{-k}$ と lem-tser-geometric から
$$ |f^{(n)}(x)|\le\sum_{k\ge n}\frac{k!}{(k-n)!}\,Mr^{-k}|x-c|^{k-n}=Mr^{-n}\sum_{k\ge n}\frac{k!}{(k-n)!}\,t^{k-n}=\frac{Mr^{-n}\,n!}{(1-t)^{n+1}} $$
となる。右辺は $t$ について増加なので、$t\le s/r$ から $\frac{Mr^{-n}n!}{(1-s/r)^{n+1}}=\frac{Mr\,n!}{(r-s)^{n+1}}$ 以下であり、これが主張の右辺である。

1 ⇒ 2。$[a,b]\subset I$ をとる。各 $y\in[a,b]$ で $f$ は実解析的なので、$r_y>0$ と冪級数があって、$|x-y|< r_y$ で $f(x)=\sum_ka_k^{(y)}(x-y)^k$ となる。この冪級数の収束半径は $r_y$ 以上である（冪級数 の記事の定理「収束する範囲と収束半径」）。lem-tser-local-bound を $c=y$、$s=r_y/3$、$r=2r_y/3$ で使うと、ある $M_y$ について、$|x-y|\le r_y/3$ で
$$ |f^{(n)}(x)|\le 2M_y\,\frac{n!}{(r_y/3)^{n}} $$
となる（$|x-y|< r_y$ では $f$ は冪級数の和に等しいので、導関数も等しい）。開区間 $U_y:=(y-r_y/3,\,y+r_y/3)$ の全体は $[a,b]$ を覆う。有界閉区間はコンパクトなので（Euclid空間 の記事の定理「Heine–Borel の定理」）、有限個の $y_1,\ldots,y_m$ で $[a,b]\subset U_{y_1}\cup\cdots\cup U_{y_m}$ となる。$C:=\max_i2M_{y_i}$（$0$ なら $1$ に置き換える）、$\rho:=\min_ir_{y_i}/3$ とおく。$x\in[a,b]$ は、ある $U_{y_i}$ に属するので、$\rho\le r_{y_i}/3$ から
$$ |f^{(n)}(x)|\le 2M_{y_i}\frac{n!}{(r_{y_i}/3)^n}\le C\,\frac{n!}{\rho^n} $$
である。
2 ⇒ 1 と後半。$x_0\in I$ をとる。$I$ は開区間なので、$a< x_0< b$ となる $[a,b]\subset I$ があり、2 の $C$、$\rho$ をとる。$\delta:=\min(x_0-a,\,b-x_0,\,\rho)$ とし、$0<|x-x_0|< \delta$ とする。Taylorの定理 の記事の定理「Lagrange剰余つきのTaylorの定理」により、$x_0$ と $x$ の間の点 $c$ で
$$ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$
となる。$c\in[a,b]$ なので
$$ |R_n(x)|\le\frac{C\,(n+1)!\,\rho^{-n-1}}{(n+1)!}\,|x-x_0|^{n+1}=C\left(\frac{|x-x_0|}{\rho}\right)^{n+1} $$
であり、$|x-x_0|< \rho$ から $R_n(x)\to0$（$n\to\infty$）である。よって Taylor 級数は $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ で $f$ に収束し、$f$ は $x_0$ で実解析的である。

$d:=|x_1-c|$ とし、$|x-x_1|< R-d$ とする。$x-c=(x-x_1)+(x_1-c)$ を二項展開すると
$$ f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k\sum_{j=0}^{k}\binom kj(x_1-c)^{k-j}(x-x_1)^j $$
である。$j\le k$ のとき $b_{kj}:=a_k\binom kj(x_1-c)^{k-j}(x-x_1)^j$、$j>k$ のとき $b_{kj}:=0$ とおく。$|x-x_1|+d< R$ なので、冪級数 $\sum_ka_k(x-c)^k$ は点 $c+|x-x_1|+d$ で絶対収束し（冪級数 の記事の定理「収束する範囲と収束半径」）、
$$ \sum_{k}\sum_{j}|b_{kj}|=\sum_k|a_k|\,\bigl(d+|x-x_1|\bigr)^k< \infty $$
である。二重級数 の記事の定理「絶対収束する二重級数」により和の順序を入れ替えてよく、
$$ f(x)=\sum_{k}\sum_{j}b_{kj}=\sum_{j=0}^{\infty}\Bigl(\sum_{k=j}^{\infty}a_k\binom kj(x_1-c)^{k-j}\Bigr)(x-x_1)^j $$
となる。括弧の中の係数は $x$ によらないので、$f$ は $|x-x_1|< R-d$ で $x_1$ を中心とする 1 つの冪級数で表される。特に $f$ は $x_1$ で実解析的であり、prop-tser-coefficients によりこの冪級数は $f$ の $x_1$ における Taylor 級数である。

要点：単項式 $\frac{c_k}{k!}x^k$ を、幅 $\varepsilon_k$ の隆起関数で切って足す。$c_k$ が大きいほど $\varepsilon_k$ を小さくとり、$j< k$ 階の導関数を $2^{-k}$ 以下に抑えると、各階の導関数の級数が一様収束して $f$ は $C^\infty$ 級になり、$0$ の近くでは各項が単項式そのものなので $f^{(k)}(0)=c_k$ となる。

$h:=f-g$ は $I$ 上で実解析的である（2 つの冪級数の差で表される）。$A:=\{x\in I\mid\text{すべての }k\ge0\text{ で }h^{(k)}(x)=0\}$ とおき、$A=I$ を示せばよい。
$p\in A$。$|x-p|< r$ で $h(x)=\sum_ka_k(x-p)^k$ とする。十分大きい $j$ で $|x_j-p|< r$ であり、$h(x_j)=0$ なので、冪級数 の記事の命題「中心に近づく点列の上で0になる冪級数」により係数はすべて $0$ である。prop-tser-coefficients により $h^{(k)}(p)=k!\,a_k=0$ である。
$A$ は開。$y\in A$ とし、$|x-y|< r$ で $h(x)=\sum_kb_k(x-y)^k$ とする。prop-tser-coefficients により $b_k=h^{(k)}(y)/k!=0$ なので、$(y-r,y+r)$ 上で $h=0$ であり、そこでのすべての導関数も $0$ である。よって $(y-r,y+r)\subset A$ である。
$A$ は $I$ の中で閉。$A$ の点列 $y_m\to y\in I$ について、各 $h^{(k)}$ は連続なので $h^{(k)}(y)=\lim_mh^{(k)}(y_m)=0$ であり、$y\in A$ である。
$A=I$。$q\in I$、$q>p$ とし、$t:=\sup\{s\in[p,q]\mid[p,s]\subset A\}$ とおく。$p\in A$ で $A$ は開なので $t>p$ である。$[p,t)\subset A$ で $A$ は閉なので $t\in A$ である。$t< q$ なら、$A$ は開なので、ある $\eta>0$ で $[p,t+\eta]\subset A$ となり、$t$ の定め方に反する。よって $t=q$ で $q\in A$ である。$q< p$ の場合も同じである。

前半は thm-tser-identity を $g=0$ に使えばよい。有界閉区間 $[a,b]\subset I$ に零点が無限個あれば、相異なる零点の列がとれ、Bolzano–Weierstrassの定理 により $[a,b]$ の点に収束する部分列をもつ。その極限は $I$ の中の集積点になり、前半に反する。