累乗根（高校数学）

同義語：n-th root (high school mathematics)

概要

前提知識: 平方根, 中間値の定理（高校数学）, 数学的帰納法, 展開と因数分解の公式

高校での出発点：3 乗して 8 になる数

$2$ の平方根は「2 乗して $2$ になる数」で、正のものを $\sqrt2$ と書いた。数学 II では、同じことを 3 乗・4 乗・…について考える。まず方程式 $x^n=a$ の実数の解を、小さな場合に求めてみる。

$x^3=8$ と $x^4=16$ と $x^4=-16$

$x^3=8$：$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ と因数分解できる。$x^2+2x+4=(x+1)^2+3>0$ なので、実数の解は $x=2$ だけである。
$x^4=16$：$x^4-16=(x-2)(x+2)(x^2+4)$ で、$x^2+4>0$ なので、実数の解は $x=2$、$x=-2$ の 2 つである。
$x^4=-16$：実数 $x$ について $x^4=(x^2)^2\ge0$ なので、実数の解はない。

3 乗して 2 になる数を挟む

3 乗して $2$ になる正の数を探す。$1^3=1<2<8=2^3$ なので、$1$ と $2$ の間にある。さらに
$$ 1.25^3=1.953125<2,\qquad 1.26^3=2.000376>2 $$
なので、$1.25$ と $1.26$ の間にある。同じように区間を狭めていけば、いくらでも細かく挟める。このような数が本当に 1 つだけあることを、この記事で示す（thm-root-positive）。

この 2 つの例から、次の問いが出てくる。

正の数 $a$ に対して、$n$ 乗して $a$ になる正の数はいつもあるか。1 つだけか。→ thm-root-positive
$n$ 乗して $a$ になる実数は、全部でいくつあるか。→ thm-root-count
$\sqrt[3]2\cdot\sqrt[3]4=2$ のような計算の規則は、なぜ成り立つか。→ thm-root-laws

その規則は、負の数でも使えるか。→ ex-root-cx-table

高校の計算	この記事での見方	ボックス
グラフ $y=x^n$ と直線 $y=a$ の交点	中間値の定理による存在と、単調性による一意性	thm-root-positive
$n$ が奇数か偶数かで場合分け	$(-x)^n=\pm x^n$ による解の対応	thm-root-count
累乗根の性質	「どちらも正で、$n$ 乗が等しい」に帰着	thm-root-laws
$a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$	表し方によらないことの確認	rem-root-rational-exponent

累乗根の定義

累乗根

$n$ を $2$ 以上の整数、$a$ を実数とする。$n$ 乗すると $a$ になる実数、つまり
$$ x^n=a $$
を満たす実数 $x$ を、$a$ の $n$ 乗根 という。$2$ 乗根を平方根、$3$ 乗根を立方根といい、$2$ 乗根、$3$ 乗根、$4$ 乗根、…をまとめて累乗根という。

ex-root-start-equations によれば、$8$ の $3$ 乗根は $2$ だけ、$16$ の $4$ 乗根は $2$ と $-2$、$-16$ の $4$ 乗根は（実数の中には）ない。この記事では、とくに断らない限り実数の範囲で考える。
まず、累乗が大小の順序を保つことを確かめる。

正の数の累乗は大小を保つ

$n$ を正の整数とする。$0\le x< y$ ならば $x^n< y^n$ である。

$n$ についての帰納法

方針：$x^n< y^n$ から、1 つずつ掛けて $x^{n+1}< y^{n+1}$ を導く。
段 1（$n=1$）。仮定 $x< y$ そのものである。
段 2（$n$ から $n+1$ へ）。$x^n< y^n$ が成り立つとする。$x^n\ge0$ と $x< y$ から $x^n\cdot x\le x^n\cdot y$ である（$x^n=0$ なら両辺 $0$、$x^n>0$ なら不等号は $<$）。また $y>0$ と $x^n< y^n$ から $x^n\cdot y< y^n\cdot y$ である。2 つをつなぐと
$$ x^{n+1}=x^n\cdot x\le x^n\cdot y< y^n\cdot y=y^{n+1} $$
となる。数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ で $x^n< y^n$ である。$\square$

主定理 1：正の $n$ 乗根はただ 1 つある

正の $n$ 乗根の存在と一意性

$n$ を $2$ 以上の整数、$a$ を正の実数とする。$x^n=a$ を満たす正の実数 $x$ は、ちょうど 1 つある。

中間値の定理で存在を、単調性で一意性を示す

方針：関数 $f(x)=x^n-a$ が閉区間の両端で異符号になることから、中間値の定理で解を見つける。解が 2 つあると lem-root-monotone に反することから、一意性を示す。
段 1（両端の符号）。$b:=1+a$ とおく。$f(0)=-a<0$ である。一方 $b>1$ なので、$b^n=b\cdot b^{n-1}\ge b\cdot1=b$（lem-root-monotone より $b^{n-1}\ge1^{n-1}=1$）であり、
$$ f(b)=b^n-a\ge b-a=1>0 $$
である。
段 2（存在）。$f(x)=x^n-a$ は整式で表された関数なので、閉区間 $[0,b]$ で連続である（中間値の定理（高校数学）の定理「連続関数の和・差・積・商・合成」）。$f(0)<0< f(b)$ なので、同じ記事の定理「閉区間での中間値の定理」により、$f(c)=0$、$0< c< b$ となる $c$ がある。この $c$ は正で、$c^n=a$ を満たす。
段 3（一意性）。正の数 $c$、$c'$ がどちらも $c^n=a$、$c'^n=a$ を満たすとする。もし $c< c'$ なら lem-root-monotone により $c^n< c'^n$ となって $a< a$ となり矛盾する。$c'< c$ としても同様に矛盾する。よって $c=c'$ である。$\square$

存在を中間値の定理から出す証明は Leb26 Example 3.3.11 にもある。この定理で得られる数に名前を付ける。

記号 $\sqrt[n]{a}$

$a>0$ のとき、thm-root-positive の正の $n$ 乗根を $\sqrt[n]{a}$ と書く。$\sqrt[n]{0}:=0$ とする。$n=2$ のときは $\sqrt[2]{a}$ を $\sqrt a$ と書く。

定義から、$a\ge0$ のとき $\sqrt[n]a\ge0$ かつ $(\sqrt[n]a)^n=a$ である。逆に、$x\ge0$ かつ $x^n=a$ ならば $x=\sqrt[n]a$ である（$a>0$ なら thm-root-positive の一意性、$a=0$ なら $x^n=0$ から $x=0$）。以下の証明では、この言い換えを何度も使う。

累乗根の値

$\sqrt[3]{27}=3$（$3>0$ で $3^3=27$）。$\sqrt[4]{81}=3$（$3^4=81$）。$\sqrt[5]{32}=2$。
$\sqrt[4]{\frac1{16}}=\frac12$（$\left(\frac12\right)^4=\frac1{16}$）。
$\sqrt[3]2=1.2599\ldots$ で、ex-root-start-bisection で挟んだ数がこれである。

主定理 2：実数の $n$ 乗根の個数

実数の $n$ 乗根の個数

$n$ を $2$ 以上の整数、$a$ を実数とする。

$n$ が奇数のとき、$a$ の $n$ 乗根はちょうど 1 つある。それは $a\ge0$ なら $\sqrt[n]a$、$a<0$ なら $-\sqrt[n]{-a}$ である。
$n$ が偶数のとき、$a>0$ なら $a$ の $n$ 乗根はちょうど 2 つあり、$\sqrt[n]a$ と $-\sqrt[n]a$ である。$a=0$ なら $0$ だけである。$a<0$ なら $n$ 乗根はない。

符号を変えた数の $n$ 乗を調べる

方針：$(-x)^n$ は、$n$ が奇数なら $-x^n$、偶数なら $x^n$ である。これを使って、負の解の問題を正の解の問題に移す。
段 1（$n$ が奇数）。$a>0$ とする。$x\le0$ なら、$-x\ge0$ から $(-x)^n\ge0$ であり、$x^n=-(-x)^n\le0< a$ なので、解は正である。正の解は thm-root-positive によりただ 1 つで、$\sqrt[n]a$ である。$a=0$ なら、$x^n=0$ から $x=0$ だけが解である。$a<0$ とする。$x$ が解であることと、$-x$ が $(-x)^n=-x^n=-a$ を満たすことは同じである。$-a>0$ なので、前半により $-a$ の $n$ 乗根はただ 1 つ $\sqrt[n]{-a}$ であり、$x=-\sqrt[n]{-a}$ がただ 1 つの解である。
段 2（$n$ が偶数）。$n=2m$ と書くと、実数 $x$ について $x^n=(x^2)^m\ge0$ である。よって $a<0$ なら解はない。$a=0$ なら解は $x=0$ だけである。$a>0$ とする。$x$ が解なら、$|x|^n=x^n=a$ なので $|x|$ は正の解であり、thm-root-positive により $|x|=\sqrt[n]a$、つまり $x=\pm\sqrt[n]a$ である。逆に、$(\pm\sqrt[n]a)^n=(\sqrt[n]a)^n=a$ なので、この 2 つはどちらも解であり、$\sqrt[n]a>0$ なので互いに異なる。$\square$

$n$ が奇数で $a<0$ のときも、ただ 1 つの $n$ 乗根を $\sqrt[n]a$ と書く。つまり $\sqrt[n]a:=-\sqrt[n]{-a}$ である。たとえば $\sqrt[3]{-8}=-2$ である。$n$ が偶数で $a<0$ のときは、$\sqrt[n]a$ を（実数としては）定めない。

グラフで見る個数

$y=x^3$ のグラフは左下から右上へ増え続けるので、どの高さの水平線 $y=a$ とも 1 点で交わる。これが thm-root-count の 1 である。$y=x^4$ のグラフは $y$ 軸について対称で、$y\ge0$ の範囲にしかないので、水平線 $y=a$ とは $a>0$ で 2 点、$a=0$ で 1 点で交わり、$a<0$ では交わらない。これが 2 である。

累乗根の性質

高校で使う累乗根の計算規則は、次の定理にまとまる。この定理では、記号をそろえるために $\sqrt[1]{a}:=a$ とする。

累乗根の性質

$a>0$、$b>0$ とし、$m$、$n$、$p$ を正の整数とする。

$\sqrt[n]a\,\sqrt[n]b=\sqrt[n]{ab}$
$\dfrac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}=\sqrt[n]{\dfrac ab}$
$\left(\sqrt[n]a\right)^m=\sqrt[n]{a^m}$
$\sqrt[m]{\sqrt[n]a}=\sqrt[mn]a$
$\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^m}$

「どちらも正で、累乗が等しい」に帰着させる

方針：def-root-symbol の後の言い換え「$x\ge0$ かつ $x^n=c$ ならば $x=\sqrt[n]c$」を使う。各式で、左辺（または右辺）の数 $x$ が正であることと、その累乗が根号の中の数に等しいことを確かめればよい。整数乗の指数法則 $(xy)^n=x^ny^n$、$(x^m)^n=x^{mn}$ を使う。

$x:=\sqrt[n]a\,\sqrt[n]b$ は正の数の積なので正である。$x^n=(\sqrt[n]a)^n(\sqrt[n]b)^n=ab$ なので、$x=\sqrt[n]{ab}$。
$x:=\frac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}$ は正である。$x^n=\frac{(\sqrt[n]a)^n}{(\sqrt[n]b)^n}=\frac ab$ なので、$x=\sqrt[n]{\frac ab}$。
$x:=(\sqrt[n]a)^m$ は正である。$x^n=(\sqrt[n]a)^{mn}=\bigl((\sqrt[n]a)^n\bigr)^m=a^m$ なので、$x=\sqrt[n]{a^m}$。
$x:=\sqrt[m]{\sqrt[n]a}$ は正である。$x^{mn}=(x^m)^n=(\sqrt[n]a)^n=a$ なので、$x=\sqrt[mn]a$。
$x:=\sqrt[n]{a^m}$ は正である。$x^{np}=(x^n)^p=(a^m)^p=a^{mp}$ なので、$x=\sqrt[np]{a^{mp}}$。$\square$

性質を使う計算

$\sqrt[3]2\cdot\sqrt[3]4=\sqrt[3]8=2$（性質 1）。
$\sqrt[4]{\dfrac{16}{81}}=\dfrac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}}=\dfrac23$（性質 2）。
$\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2$（性質 4）。左から順に計算しても $\sqrt[3]{64}=4$、$\sqrt4=2$ で同じである。
$\sqrt[6]9=\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[3]3$（性質 5 で $n=3$、$p=2$、$m=1$）。

累乗根の大小を比べる

$\sqrt2$ と $\sqrt[3]3$ の大小を比べる。どちらも正で、6 乗すると $(\sqrt2)^6=2^3=8$、$(\sqrt[3]3)^6=3^2=9$ である。もし $\sqrt2\ge\sqrt[3]3$ なら、lem-root-monotone により $(\sqrt2)^6\ge(\sqrt[3]3)^6$、つまり $8\ge9$ となって誤りである。よって $\sqrt2<\sqrt[3]3$ である。数値でも $\sqrt2=1.414\ldots$、$\sqrt[3]3=1.442\ldots$ である。

立方根を含む分母の有理化

$\dfrac1{\sqrt[3]2-1}$ の分母から根号をなくす。$t:=\sqrt[3]2$ とおくと $t^3=2$ で、性質 3 から $t^2=\sqrt[3]4$ である。$t^3-1=(t-1)(t^2+t+1)$ なので、分母と分子に $t^2+t+1$ を掛けて
$$ \frac1{\sqrt[3]2-1}=\frac{t^2+t+1}{(t-1)(t^2+t+1)}=\frac{t^2+t+1}{t^3-1}=\frac{\sqrt[3]4+\sqrt[3]2+1}{2-1}=\sqrt[3]4+\sqrt[3]2+1 $$
となる。分母に平方根がある場合の有理化と、それが数の集まりについて何を意味するかは分母の有理化と数の体で扱う。

分数の指数

累乗根を使うと、指数を分数に広げられる。$a>0$、$m$、$n$ を正の整数とするとき
$$ a^{\frac mn}:=\sqrt[n]{a^m},\qquad a^{-\frac mn}:=\frac1{a^{\frac mn}} $$
と定める。たとえば $8^{\frac23}=\sqrt[3]{64}=4$ である。

分数の表し方によらないこと

$\frac23=\frac46$ なので、$8^{\frac23}$ は $\sqrt[6]{8^4}$ とも書ける。実際 $\sqrt[6]{8^4}=\sqrt[6]{4096}=4$ で、値は一致する。一般に、性質 3（thm-root-laws）により $\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]a)^m$ なので、上の定義は指数関数と対数関数はどう定義するかの定義 $a^{\frac mn}=(a^{1/n})^m$ と同じものである。その値が分数 $\frac mn$ の表し方によらないこと、指数法則 $a^ra^s=a^{r+s}$ が成り立つことは、同じ記事の命題「有理数乗の性質」で証明する。性質 5 は、その特別な場合 $\frac{mp}{np}=\frac mn$ である。

例と反例：負の数では規則が崩れる

thm-root-laws は $a>0$、$b>0$ を仮定している。この仮定を外すと、次のように崩れる。

外した仮定	崩れる式	ボックス
性質 5 の $a>0$	$\sqrt[6]{(-8)^2}$ と $\sqrt[3]{-8}$ が違う	ex-root-cx-table の 1
性質 3 で $m=n=2$ とした $\sqrt{a^2}=a$ の $a>0$	$\sqrt{(-3)^2}=3\ne-3$	ex-root-cx-table の 2
性質 1 の $a>0$、$b>0$（虚数へ広げる）	$\sqrt{-4}\sqrt{-9}\ne\sqrt{(-4)(-9)}$	ex-root-cx-table の 3

反例：負の数での累乗根の計算

$\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2$ だが、$\sqrt[3]{-8}=-2$ である。性質 5 の形 $\sqrt[3\cdot2]{(-8)^{1\cdot2}}=\sqrt[3]{(-8)^1}$ は成り立たない。同じ理由で、負の数 $-8$ に対して $(-8)^{\frac13}$ と $(-8)^{\frac26}$ を同じ値と決めることはできない。分数の指数の底を正の数に限るのはこのためである。
$\sqrt{a^2}$ は「$2$ 乗して $a^2$ になる $0$ 以上の数」なので、$a<0$ のときは $-a$ である。たとえば $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3$。一般に $\sqrt{a^2}=|a|$ であり、偶数 $n$ について $\sqrt[n]{a^n}=|a|$ である。
負の数の平方根を、数学 II の約束どおり $a>0$ のとき $\sqrt{-a}:=\sqrt a\,i$（$i^2=-1$）と定めると、$\sqrt{-4}=2i$、$\sqrt{-9}=3i$ で、$\sqrt{-4}\sqrt{-9}=6i^2=-6$ だが、$\sqrt{(-4)(-9)}=\sqrt{36}=6$ である。

大学数学で見る：逆関数・実数の連続性・複素数

大学数学で見ると：$y=x^n$ の逆関数

thm-root-positive は、$x\ge0$ の範囲の関数 $y=x^n$ が、$[0,\infty)$ から $[0,\infty)$ への 1 対 1 の対応であることを言っている（単調性で 1 対 1、中間値の定理ですべての値をとる）。したがってその逆関数 $y=\sqrt[n]x$ がある（逆関数）。$n$ が奇数なら $y=x^n$ は実数全体で 1 対 1 なので、$\sqrt[n]x$ は実数全体で定義される。

有理数の中には $\sqrt[3]2$ がない

$\sqrt[3]2$ は有理数でない。実際、$\sqrt[3]2=\frac pq$（$p$、$q$ は互いに素な正の整数）と仮定すると、$p^3=2q^3$ なので $p^3$ は偶数であり、$p$ も偶数である（$p$ が奇数なら $p^3$ も奇数）。$p=2r$ とおくと $8r^3=2q^3$、つまり $q^3=4r^3$ で、$q$ も偶数になる。これは $p$、$q$ が互いに素であることに反する。

この例は、thm-root-positive の証明に中間値の定理（その土台にある実数の連続性）が欠かせないことを示している。有理数だけの世界では、$x^3=2$ は解をもたない（実数の連続性）。正の整数 $m$ の $\sqrt[n]m$ が有理数になるのは $m$ が整数の $n$ 乗のときだけであることは、無理数の定理「冪根の無理性」で証明する。
複素数まで広げると、$0$ でない複素数 $a$ に対して $z^n=a$ の解はちょうど $n$ 個ある。$a=1$ の場合が 1のn乗根である。ex-root-cx-table の 3 のずれは、複素数の範囲では「正のほうを選ぶ」という決め方ができないことから起こる。