被約スキーム

1 ⇒ 2。$\mathcal{O}_{X,x}$ の元は、$x$ の開近傍 $U$ 上の切断 $s$ の芽 $s_x$ である。$s_x^n=0$ なら、芽の定義により $x$ の開近傍 $V\subset U$ で $(s|_V)^n=(s^n)|_V=0$ となるものがある。$\mathcal{O}_X(V)$ は被約なので $s|_V=0$ であり、$s_x=0$ である。
2 ⇒ 1。$s\in\mathcal{O}_X(U)$ が $s^n=0$ を満たすとする。各 $x\in U$ で $(s_x)^n=(s^n)_x=0$ なので、2 により $s_x=0$ である。層の切断は芽で決まる（茎 の記事の補題「層の切断の芽による決定」）ので $s=0$ である。
1 ⇒ 3。$U\cong\operatorname{Spec}A$ なら $\mathcal{O}_X(U)\cong\Gamma(\operatorname{Spec}A,\mathcal{O})\cong A$ である（スキーム の記事の注意「アフィンスキームから使う事実」の 2）。
3 ⇒ 4。スキームはアフィン開被覆をもつ。
4 ⇒ 2。$x\in U_i$ をとり、$x$ に対応する $A_i$ の素イデアルを $\mathfrak{p}$ とすると、$\mathcal{O}_{X,x}\cong(A_i)_{\mathfrak{p}}$ である（同注意の 2）。被約環の局所化は被約である（冪零根基 の記事の命題「局所化と冪零根基」）ので、$\mathcal{O}_{X,x}$ は被約である。
最後の主張は、$X=\operatorname{Spec}A$ に 3（⇒ の向き）と 4（1 つの開集合 $X$ 自身による被覆、⇐ の向き）を当てればよい。$\square$

1 ⇒ 2。$U$ をアフィン開集合 $V\cong\operatorname{Spec}B$ で覆う（アフィン開集合は開基をなす、スキーム の記事の命題「開部分スキームはスキームである」）。$s|_V$ に対応する $b\in B$ は、すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ で $b(\mathfrak{p})=0$、すなわち $b\in\mathfrak{p}$ を満たす（値は制限しても変わらない）。冪零根基は素イデアル全体の共通部分なので（冪零根基 の記事の定理「素イデアル全体の共通部分としての冪零根基」）$b$ は冪零であり、thm-reduced-scheme-equivalent の 3 により $B$ は被約なので $b=0$ である。よって $s|_V=0$ がすべての $V$ で成り立ち、層の局所性により $s=0$ である。
2 ⇒ 1。$s\in\mathcal{O}_X(U)$ が $s^n=0$ を満たすとする。各 $x\in U$ で $s(x)^n=(s^n)(x)=0$ であり、$\kappa(x)$ は体なので $s(x)=0$ である。2 により $s=0$ となり、$\mathcal{O}_X(U)$ は被約である。
最後の主張は $s-t$ に 2 を当てればよい。$\square$

$a$ はすべての極大イデアルに属する。$k$ 上有限生成な環では、極大イデアル全体の共通部分（Jacobson根基）は冪零根基に等しい（Hilbertの零点定理 の記事の命題「有限生成代数の根基と極大イデアル」の 2）。よって $a$ は冪零であり、$A$ は被約なので $a=0$ である。$\square$

要点：条件「すべての点で芽が冪零」は点ごとの条件なので、制限・局所性・貼り合わせで保たれる。茎については、芽が冪零なら、ある近傍の上で切断そのものが冪零になることを使う。

2 から示す。$U$ を $\operatorname{Spec}A$ と同一視し、$A_{\mathrm{red}}:=A/\operatorname{nil}A$、$q\colon A\to A_{\mathrm{red}}$ を剰余写像、$\pi:=\operatorname{Spec}q\colon\operatorname{Spec}A_{\mathrm{red}}\to U$ とする。$A$ の素イデアルはすべて $\operatorname{nil}A$ を含むので、$\pi$（素イデアル $\bar{\mathfrak{p}}$ を $q^{-1}(\bar{\mathfrak{p}})$ に送る）は全単射で、閉集合 $V(\bar J)$ を閉集合 $V(q^{-1}(\bar J))$ に写すので同相写像である。$\pi$ に伴う層の射 $\pi^\sharp\colon\mathcal{O}_U\to\pi_*\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A_{\mathrm{red}}}$ の点 $\mathfrak{p}$ での茎は、局所化した剰余写像
$$ A_{\mathfrak{p}}\to(A_{\mathrm{red}})_{\bar{\mathfrak{p}}}\cong A_{\mathfrak{p}}/(\operatorname{nil}A)_{\mathfrak{p}}=A_{\mathfrak{p}}/\operatorname{nil}(A_{\mathfrak{p}}) $$
である（剰余環の局所化は 局所化 の記事の注意「部分加群・商加群との両立」、最後の等号は 冪零根基 の記事の命題「局所化と冪零根基」）。これは全射で、核は $\operatorname{nil}(A_{\mathfrak{p}})=\mathcal{N}_{X,\mathfrak{p}}$（lem-reduced-scheme-nilradical-sheaf）である。
$\pi_*\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A_{\mathrm{red}}}$ の茎は被約環なので、$\mathcal{N}_X(V)$ の元の $\pi^\sharp$ による像は、すべての芽が冪零、したがって $0$ であり、像そのものが $0$ である。よって $\pi^\sharp$ は $U$ 上の前層 $V\mapsto\mathcal{O}_X(V)/\mathcal{N}_X(V)$ を経由し、層化の普遍性（層 の記事の定理「層化の構成と普遍性」）により層の射 $\psi\colon(\mathcal{O}_X/\mathcal{N}_X)|_U\to\pi_*\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A_{\mathrm{red}}}$ を与える（層化は開集合への制限と両立するので、$U$ 上の前層の層化は $(\mathcal{O}_X/\mathcal{N}_X)|_U$ である）。商層の茎は茎の商なので（層 の記事の定義「層の像・余核と商層」の後の説明）、$\psi$ の茎は上の全射が誘導する同型 $A_{\mathfrak{p}}/\operatorname{nil}(A_{\mathfrak{p}})\to(A_{\mathrm{red}})_{\bar{\mathfrak{p}}}$ である。茎がすべて同型なので $\psi$ は同型である（茎 の記事の命題「茎による射の判定」）。したがって $(\pi,\psi)$ により、$(U,(\mathcal{O}_X/\mathcal{N}_X)|_U)$ は環付き空間として $\operatorname{Spec}A_{\mathrm{red}}$ に同型であり、この同型で $i|_U$ は $\pi$ に当たる。これで 2 が示された。
残りは 2 と茎の計算 $\mathcal{O}_{X_{\mathrm{red}},x}=\mathcal{O}_{X,x}/\operatorname{nil}(\mathcal{O}_{X,x})$ から従う。1 は 2 のアフィン開被覆による貼り合わせ、3 はこの茎が被約環であること、4 は $X$ が被約なら $\mathcal{N}_X$ の茎がすべて $0$ になることによる。

存在。$i$ は位相空間の恒等写像なので、$g$ の位相空間の写像は $f$ と同じものとする。層の射 $f^\sharp\colon\mathcal{O}_X\to f_*\mathcal{O}_Y$ を考える。$s\in\mathcal{N}_X(U)$ に対し、$f^\sharp_U(s)\in\mathcal{O}_Y(f^{-1}(U))$ の点 $y$ での芽は $f^\sharp_y(s_{f(y)})$ であり、$s_{f(y)}$ は冪零なのでこれも冪零である。$Y$ は被約なので $\mathcal{O}_{Y,y}$ は被約環（thm-reduced-scheme-equivalent の 2）であり、この芽は $0$ である。芽がすべて $0$ なので $f^\sharp_U(s)=0$ である。よって $f^\sharp$ は $\mathcal{N}_X$ を $0$ に送り、前層 $U\mapsto\mathcal{O}_X(U)/\mathcal{N}_X(U)$ を経由する。層化の普遍性（層 の記事の定理「層化の構成と普遍性」）により、層の射 $g^\sharp\colon\mathcal{O}_X/\mathcal{N}_X\to f_*\mathcal{O}_Y$ で $g^\sharp\circ i^\sharp=f^\sharp$ となるものがある。
茎の写像 $g^\sharp_y$ は $f^\sharp_y=g^\sharp_y\circ i^\sharp_x$（$x=f(y)$）を満たし、$f^\sharp_y$ が局所準同型で $i^\sharp_x$ が全射であることから、$g^\sharp_y$ も局所準同型である。よって $g=(f,g^\sharp)$ は局所環付き空間の射、すなわちスキームの射であり、$i\circ g=f$ である。

要点：$X_{\mathrm{red}}$ は被約なので、thm-reduced-scheme-universal を射 $f\circ i_X\colon X_{\mathrm{red}}\to Y$ に当てればよい。後半は一意性から従う。