Cohenの構造定理

$a$ の代表 $y_0$ を取る。$f(y_0)\in\mathfrak m$ で、$f'(y_0)$ は単元である。帰納的に
$$ y_{j+1}=y_j-f(y_j)f'(y_j)^{-1} $$
と定める。$f(y_j)\in\mathfrak m^{2^j}$ なら、多項式のTaylor展開から $f(y_{j+1})\in\mathfrak m^{2^{j+1}}$ となる。一次の項が選んだ補正で消え、残りの項は補正の二乗を含むからである。すべての $y_j$ の剰余は $a$ なので導関数は毎回単元である。差 $y_{j+1}-y_j$ は $\mathfrak m^{2^j}$ に入り、完備性によって極限 $y$ が存在する。多項式評価は連続だから $f(y)=0$ である。
同じ剰余をもつ二つの根 $y,z$ について、多項式の因数分解により
$$ f(y)-f(z)=(y-z)(f'(z)+(y-z)c) $$
と書ける。$y-z\in\mathfrak m$、$f'(z)$ は単元なので括弧は単元である。左辺は零、従って $y=z$ となる。Noether性も、極大イデアルの有限生成も使っていない。$\square$

$k/F$ は代数拡大であり、標数零なので分離的である。有限部分拡大 $E/F$ を取る。有限個の代数生成元を順に加えれば、各段は $F_i[T]/(f_i)$ と書け、$f_i$ は分離的な既約モニック多項式である。すでに $F_i\to R$ が剰余包含を持ち上げていれば、次の生成元の剰余は $\overline f_i$ の単根なので、前の補題で一意な根を持ち上げられる。これにより $F_i[T]/(f_i)\to R$ が定まる。体からの単位を保つ写像は単射であり、すべての非零元の逆元も保存する。したがって有限拡大全体の埋込み $s_E:E\to R$ を得る。
これらの写像は生成元の選択によらず一意である。$a\in E$ の $F$ 上の最小多項式は分離的なので、$s_E(a)$ はその持ち上げた多項式の、剰余 $a$ をもつ唯一の根である。従って同じ $a$ について異なる有限部分拡大で構成しても値は一致する。
任意の有限個の $k$ の元はある有限 $E/F$ に入る。そこで和、積、単位、逆元が保存されるので、$s(a)=s_E(a)$ という定義は $k$ 全体の環準同型となる。$\pi s=\operatorname{id}_k$ であるから、その像は係数体である。これで標数零の場合が証明された。$\square$

まず、$p$ 制限単項式が $k^p$ 上線形独立になる集合を考える。独立性は有限関係で調べる条件なので、鎖の合併も独立性を保つ。Zornの補題によって極大な集合 $\mathcal B$ を選べる。
有限部分集合 $b_1,\ldots,b_r$ では、各 $b_i^p\in k^p$ であり、独立性から $k^p[b_1,\ldots,b_r]$ の次元は $p^r$ である。この環は有限次元整域だから体であり、$k^p(b_1,\ldots,b_r)$ と同じである。従って全制限単項式の線形包は体 $k^p(\mathcal B)$ になる。
もし $a\in k$ がこの体に入らなければ、$a^p\in k^p$ であるため $a$ のこの体上の次数は $p$ である。多項式 $T^p-a^p$ の唯一の根は $a$ で、その最小多項式の次数は一か $p$ であり、一なら $a$ はすでに体内にあるからである。よって $1,a,\ldots,a^{p-1}$ は独立で、$\mathcal B$ に $a$ を追加しても制限単項式は独立になる。これは極大性に反する。従って $k=k^p(\mathcal B)$ であり、生成性も成立する。
全反復の主張を帰納的に示す。$k/k^p$ の基底を $b^i$、$0\le i_b< p$ とする。Frobeniusは体として $k$ と $k^p$ を同型にし、$k^{p^n}$ と $k^{p^{n+1}}$ も対応させる。従って帰納仮説から $k^p/k^{p^{n+1}}$ の基底は $b^{p\beta}$、$0\le\beta_b< p^n$ となる。二つの基底を掛け合わせると、$k/k^{p^{n+1}}$ の基底は $b^{i+p\beta}$ となる。指数 $i+p\beta$ はちょうど $0,\ldots,p^{n+1}-1$ を一意に走る。どの関係も有限個の単項式しか含まないので、無限の $p$ 基底についてもこの独立性と生成性の議論が成立する。$\square$

二つの代表の差は $\mathfrak m$ に入り、その $p^n$ 乗は $\mathfrak m^{p^n}$ に入る。標数 $p$ では $(u+v)^{p^n}=u^{p^n}+v^{p^n}$ なので、代表の選択による差は指定した商で零になる。従って $s_n$ は定まる。剰余を取ればもとの基底表示へ戻るため、剰余との合成は恒等写像である。
加法について、二つの元を同じ有限な指数集合に合わせて表示すれば、係数の和の $p^n$ 乗根はそれぞれの根の和となる。その代表として $\widetilde c_\alpha+\widetilde d_\alpha$ を選べるので、標数 $p$ の二項式により $s_n(a+a')=s_n(a)+s_n(a')$ となる。
積の一つの項を調べる。指数の和を成分ごとに
$$ \alpha+\beta=\gamma+p^n\eta, \qquad 0\le\gamma_b< p^n $$
と分ける。係数は $c_\alpha^{p^n}d_\beta^{p^n}b^{p^n\eta}=(c_\alpha d_\beta b^\eta)^{p^n}$ となる。その根の代表として $\widetilde c_\alpha\widetilde d_\beta\widetilde b^\eta$ を選べば、$R$ 内で元の積の項と完全に一致する。複数の項が同じ $\gamma$ に集まる場合も、加法について示した式で係数を足せる。従って積が保存される。$1$ の表示は定数一項なので単位も保存される。
両立を示すため $s_{n+1}$ を小さい商 $R/\mathfrak m^{p^n}$ へ送った写像を $t$ とする。$n\ge1$ なので、基底の一元 $b$ は指数一の項であり、$t(b)=\widetilde b=s_n(b)$ である。また任意の $c\in k$ について $s_{n+1}(c)$ の任意の代表は $c$ の代表である。この代表と $\widetilde c$ の差は $\mathfrak m$ に入るので
$$ t(c^{p^n})=t(c)^{p^n}=\widetilde c^{p^n}=s_n(c^{p^n}). $$
$k$ の全元は $k^{p^n}$ の係数と $b$ の有限単項式で生成される。二つの環準同型はこれらの元で一致したから全体でも一致する。ここで両立は、各段で基底の代表を新たに選び直すことからではなく、最初に固定した $\widetilde b$ と、$p^n$ 乗で消える代表誤差によって得られる。$\square$

$p^n$ は無限に大きくなるので、イデアル $\mathfrak m^{p^n}$ は全冪 $\mathfrak m^r$ の中で余終である。各 $r$ に対して $p^n\ge r$ の段を選び、$s_n$ を $R/\mathfrak m^r$ へ送れば、選んだ十分大きい $n$ によらず同じ値となる。従って前の補題の両立族は
$$ s:k\longrightarrow\varprojlim_nR/\mathfrak m^{p^n} =\varprojlim_rR/\mathfrak m^r=R $$
を定める。
逆極限の和と積は各商で計算されるので、$s$ は単位を保つ環準同型である。その剰余は各元についてもとの元であるから $\pi s=\operatorname{id}_k$ となる。非零元 $a$ の逆元は $s(a^{-1})$ であり、$s(a)s(a^{-1})=1$ が全精度で成立して、分離性により $R$ 内でも成立する。従って像は係数体である。これで任意の剰余体について正の標数の場合が証明された。$\square$

級数の評価は、各次数未満の切断を $R/\mathfrak m^r$ で評価して定める。この族は両立し、完全性によって一意な元へ戻る。和と積は各商で有限多項式として計算されるから、評価は環準同型である。
$a\in R$ を取る。まずその剰余を $c_0\in K$ で代表させる。$a-c_0\in\mathfrak m$ である。次数 $r$ 未満の多項式 $P$ で $a-P(x)\in\mathfrak m^r$ まで近似したとする。$\mathfrak m^r$ は次数 $r$ の有限個の単項式で生成されるので、差を $\sum_{|\alpha|=r}a_\alpha x^\alpha$ と書ける。各 $a_\alpha$ を剰余で同じ $c_\alpha\in K$ に替えると、誤差は $\mathfrak m^{r+1}$ に入る。こうして次の次数の項を決められる。
全次数で選んだ項は形式級数となり、その評価と $a$ の差はすべての $\mathfrak m^r$ に属する。分離性により差は零となるので全射である。体上有限変数形式級数環はNoetherであり、その商もNoetherとなる。$e=0$ の場合には $R=K$ である。$\square$

$k$ の元を整列する。$\mathbb Z_p$ から出発し、後続段では前述の一元拡大を行い、極限段ではそれまでの環の合併を取る。剰余体は常に $k$ 内の部分体として同定するため、後の段への写像で非零剰余が零になることはない。
極限段の環は局所で、極大イデアルは $p$ の生成するイデアルである。$p$ の倍数でない元はある前の段で剰余が非零であり、その段ですでに単元だからである。$p$ の非零因子性も保たれる。$px=0$ という等式が合併で成立すれば、$x$ が属するある段でこの等式が成立して、そこで $p$ を約分できる。最後に得る環を $B$ とすると $B/pB=k$ である。これは固定した集合 $k$ の整列に沿う構成であり、すべての環の真の類を選択対象にしていない。
ここで $C=\varprojlim_n B/p^nB$ とする。$B$ はNoetherとは限らないので、一般Noether完成定理を適用するのではなく、各有限商で約分する。自然射 $C\to B/p^nB$ は全射であり、その核は $p^nC$ である。核の元の $r+n$ 番目の座標を $p^nb_r$ と書けば、$p$ の非零因子性から $b_r$ の $p^r$ を法とする値は一意である。座標の両立性から $b_{r+1}=b_r$ modulo $p^r$ となり、$b=(b_r)\in C$ によって元は $p^nb$ と書ける。従って $C/p^nC=B/p^nB$ で、$C$ は実際に $pC$ 進完備分離である。
同じ約分で $p$ は $C$ 上も非零因子となる。$C/pC=k$ であり、剰余が非零の $u$ について $uv=1-pz$ となる $v$ を選べる。幾何級数 $\sum_{j\ge0}(pz)^j$ は収束するので $u$ は単元である。従って $C$ の極大イデアルは $pC$ である。
非零元は分離性から有限の $p$ 進次数 $e$ をもち、核の等式から $p^eu$、$u$ 単元と書ける。各非零イデアルでこの指数の最小値を取ると、そのイデアルは $p^eC$ になる。全イデアルが有限生成だから $C$ はNoetherであり、非零元の積の次数は和となるから整域である。$p$ が非零で、$p$ と互いに素な整数は単元なので標数は零である。これで所望の完備DVRを得た。$\square$

元をまず剰余体で有限基底展開し、係数を $0,\ldots,p-1$ で戻す。差は $p$ の倍数なので、$p$ で割って同じ操作をする。これを $n$ 回行うと、商の元は選んだ代表の有限線形結合となる。各回の台は有限で、回数も有限だから、全体の台も有限である。
有限関係 $\sum_e a_ec_e\in p^nC$ を剰余体で見れば、すべての $a_e$ は $p$ の倍数である。$C$ 内で $p$ を約分し、同じ議論を $n$ 回反復すると、すべての係数は $p^n$ の倍数となる。従って自由基底である。これは加群の基底であり、積の構造を基底元ごとに保存するという主張ではない。$\square$

持上げ性があれば、平方零全射 $P/J^2\to S$ に対する切断 $\tau:S\to P/J^2$ を取れる。$D(a)=a-\tau(\overline a)$ は $M$ に値をもつ $R$ 導分である。積の差の二次項は $M^2=0$ により消え、Leibniz則が成立する。各 $j\in J$ では $D(j)=j$ modulo $J^2$ なので、$D$ の各変数の値から定まる $S$ 線形写像 $\sigma:F\to M$ が $\sigma d=\operatorname{id}_M$ を満たす。
逆に左逆 $\sigma$ があれば、図式 $S\to T/N$ の各変数像を $T$ へ戻して $g:P\to T$ を作る。$g(J)\subset N$、$g(J^2)=0$ なので $h:M\to N$ が定まる。$N$ の $S$ 作用は与えた商写像によって定まり、$h$ は線形である。各変数の値を $h\sigma(dX_t)$ とする $R$ 導分 $D:P\to N$ を作り、$g'=g-D$ とおく。平方零性から $g'$ は積を保存し、$j\in J$ では $g'(j)=0$ である。従って $S$ へ降りる持上げを得る。変数が無限でも一つの多項式は有限台なので、導分もこの計算も定まる。$\square$

最初の同型は $(v+H)\otimes i$ を $v\otimes i$ の商類に送る。$v$ の代表を変えると差は $H\otimes I$ の像であり、双線形性と釣合いも商で保存される。逆は $v\otimes i$ を $(v+H)\otimes i$ へ送る写像を商へ降ろしたものである。二つの合成は純テンソル上恒等なので、全体でも恒等となる。従って $H\otimes I\to V\otimes I\to(V/H)\otimes I\to0$ は完全である。
自由加群 $F=\bigoplus_{\lambda\in L}R$ について、$N\otimes F\simeq\bigoplus_{\lambda\in L}N$ は純テンソルの有限個の座標を対応させることで得られる。各元は有限台で、単射 $N'\to N$ の後の座標が全て零なら前の全座標も零だから、テンソル後も単射である。これが自由加群の平坦性である。
最後に $x\in J\cap IP$ を取り、$x=\sum_\nu i_\nu p_\nu$、$i_\nu\in I$ と書く。$z=\sum_\nu i_\nu\otimes p_\nu\in I\otimes_R P$ を選ぶ。その $I\otimes_R S$ への像を $\alpha$ とする。$I\otimes_R S\to R\otimes_R S\simeq S$ は包含 $I\subset R$ を $S$ でテンソルした写像なので、$S$ の平坦性から単射である。$\alpha$ のこの単射による像は $x$ の $S$ への像で零だから $\alpha=0$。商の右完全性により $z$ は $I\otimes_R J$ からの元の像である。積写像 $I\otimes P\to P$ を取ると $x\in IJ$ を得る。逆包含 $IJ\subset J\cap IP$ はイデアル性から直ちに成立する。$\square$

前の多項式表示を選ぶ。上の lem-cst-tensor-foundation の元計算により、$S$ の平坦性から $J\cap IP=IJ$ を得る。$S/IS$ の多項式表示の核は $J/IJ$ となり、その関係加群は
$$ J/(IJ+J^2)=M/IM $$
である。変数微分の加群も $F/IF$ となる。前の分裂判定から、$\overline d:M/IM\to F/IF$ に左逆 $\overline\sigma$ がある。
$F$ は $S$ 上自由なので、基底の $\overline\sigma$ 像を $M$ に戻して $S$ 線形写像 $\sigma_0:F\to M$ を作れる。$T=\sigma_0d$ は $M/IM$ 上で恒等写像である。$\Delta=\operatorname{id}_M-T$ は像が $IM$ に入り、線形性と $I^2=0$ から $\Delta^2=0$ となる。従って $T=\operatorname{id}-\Delta$ は逆 $\operatorname{id}+\Delta$ をもち、
$$ \sigma=(\operatorname{id}+\Delta)\sigma_0 $$
は $d$ の左逆になる。分裂判定によって結論を得る。$M$ の有限生成や射影性を使ったのではなく、$F$ の自由性と平方零誤差の有限逆行列式を使っている。$\square$

$n=1$ では $S_1=k$ であり、素体上の任意の体について一精度の持上げを証明した。帰納的に $n$ で成立したとする。$R_{n+1}$ のイデアル $I=(p^n)$ は平方零である。$S_{n+1}$ は有限商の自由基底の補題から $R_{n+1}$ 上自由、従って平坦である。また $S_{n+1}/IS_{n+1}=S_n$、$R_{n+1}/I=R_n$ である。平坦平方零持上げの補題を適用して $n+1$ の結論を得る。これは $C$ 自身が $\mathbb Z_p$ 上離散位相で形式的に滑らかであるという主張ではなく、各有限商についての主張である。$\square$

$n=1$ で $\varphi_1:C/pC=k\to A/\mathfrak m=k$ を恒等写像とする。$\varphi_{n-1}$ が作られたら、商写像を合成して
$$ C/p^nC\longrightarrow C/p^{n-1}C\longrightarrow A/\mathfrak m^{n-1} $$
を得る。$p\in\mathfrak m$ なので $p^n\in\mathfrak m^n$ であり、$A/\mathfrak m^n$ は $\mathbb Z/p^n\mathbb Z$-代数である。$A/\mathfrak m^n\to A/\mathfrak m^{n-1}$ の核は平方零である。$n\ge2$ なら $2(n-1)\ge n$ だからである。
前の命題によって上の図式を持ち上げる $\varphi_n:C/p^nC\to A/\mathfrak m^n$ が存在する。この写像は $\varphi_{n-1}$ と両立するよう選ばれる。逆極限を取ると
$$ \varphi:C=\varprojlim_nC/p^nC\longrightarrow \varprojlim_nA/\mathfrak m^n=A $$
を得る。各座標で和と積と単位が保存されるので環準同型であり、剰余写像は恒等である。従って $\varphi^{-1}(\mathfrak m)=pC$ となり、局所写像である。これでDVRの抽象的存在から、与えられた環への係数準同型の存在までを別に供給した。$\square$

剰余標数が $p$ の局所環では、$p$ と互いに素な整数は剰余で非零となり単元である。従って環の正の標数は必ず $p$ の冪である。整数 $N=p^hu$、$p$ と $u$ が互いに素で $N\cdot1=0$ なら、$u$ は単元なので $p^h\cdot1=0$ になるからである。
$C$ のすべてのイデアルは零または $p$ の冪であり、核もそのいずれかである。標数零なら $p$ の任意の正冪は $A$ で非零だから核は零である。標数 $p^h$ なら $p^h$ は核に入り、$p^{h-1}$ は入らないので核はちょうど $p^hC$ である。
従って像は $C$ または $C/p^hC$ と同型で、Noether完備局所環、極大イデアルは $p\Lambda$、剰余体は $k$ となる。$\Lambda\cap\mathfrak m=p\Lambda$ も、元を $C$ へ戻して剰余が零かどうかを調べれば分かる。すべての $A$ の剰余が $\Lambda$ の像で代表されるので $A=\Lambda+\mathfrak m$ でもある。像の完備性は $p\Lambda$ 進位相でのものであり、部分空間位相を証明なしに同一視していない。$\square$

級数評価は有限次数切断を $A/\mathfrak m^n$ で評価してから逆極限を取る。係数はすでに $A$ に含まれ、$y_i\in\mathfrak m$ なので各切断の評価は両立する。和と積は各精度で有限の計算になるため、環準同型が定まる。
$a\in A$ の剰余を $\lambda_0\in\Lambda$ で戻す。誤差が $\mathfrak m^n$ に入るまで近似できたとする。$\mathfrak m^n$ は次数 $n$ の有限単項式 $p^iy^\alpha$、$i+|\alpha|=n$ で生成される。各係数を剰余で同じ $\Lambda$ の元に替えると、誤差は $\mathfrak m^{n+1}$ に入る。これを繰り返して係数を選ぶ。
固定した $Y^\alpha$ の係数は、各段階から来る $p^i\lambda_{i,\alpha}$ の和となる。$\Lambda$ は $p$ 進完備なので $\sum_i p^i\lambda_{i,\alpha}$ が $\Lambda$ 内で定まる。これらを係数とする形式級数の評価は、各精度で上の近似と同じである。分離性によって極限は $a$ に等しい。$p$ の冪を級数変数へ誤って追加せず、係数環の完備性でまとめたことが重要である。
$C\to\Lambda$ は全射であり、各級数係数を $C$ に戻せば $C[\![Y]\!]\to\Lambda[\![Y]\!]$ も全射となる。従って最後の主張も成立する。$r=0$ なら係数環自身が $A$ 全体を生成する。$\square$

一変数の場合を示す。$J\subset R[T]$ をイデアルとする。$J=0$ の場合は自明なので、以下では $J\ne0$ とする。$J$ の非零多項式の先頭係数が生成する $R$ のイデアルは有限生成だから、その生成に必要な先頭係数をもつ多項式 $f_1,\ldots,f_v\in J$ を選べる。$N$ をそれらの次数の最大値とする。
$g\in J$ の次数が $N$ 以上なら、その先頭係数を $f_i$ の先頭係数の線形結合で表す。それぞれの $f_i$ に適切な $T$ の冪を掛けて次数を $\deg g$ に合わせ、線形結合を引けば次数が真に下がる。この操作を有限回繰り返すと、$g$ は $f_i$ の多項式係数線形結合と、次数が $N$ 未満の $J$ の元との和になる。
次数が $N$ 未満の多項式全体は有限自由 $R$ 加群である。その中の部分加群 $J\cap R[T]_{< N}$ は有限生成である。この有限個の生成元と $f_i$ が $J$ をイデアルとして生成する。従って $R[T]$ はNoether環である。変数を一つずつ追加して有限変数の場合を得る。商環もNoetherなので、有限型 $R$ 代数にも同じ結論が成り立つ。

$\mathfrak a=(u_1,\ldots,u_s)$ と書く。Rees環
$$S=R[u_1t,\ldots,u_st]\subset R[t]$$
は有限型 $R$ 代数だからNoether環である。次数付き加群
$$\mathcal M=\bigoplus_{n\ge0}\mathfrak a^nM t^n$$
は $M$ の有限生成元を次数零に置けば有限生成 $S$ 加群になる。その部分加群
$$\mathcal N=\bigoplus_{n\ge0}(N\cap\mathfrak a^nM)t^n$$
も有限生成である。$N=0$ の場合は $\mathcal N=0$ であり、$c=0$ とすれば結論は自明である。以下では $N\ne0$ とする。有限個の生成元を斉次成分に分け、そのすべてを生成元に取り直す。これらの次数の最大値を $c$ とする。
次数 $n\ge c$ の成分は、次数 $i\le c$ の生成元に $\mathfrak a^{n-i}$ を掛けたものの和である。$\mathfrak a^{c-i}$ を掛けた段階で $N\cap\mathfrak a^cM$ に入るので、全体は $\mathfrak a^{n-c}(N\cap\mathfrak a^cM)$ に含まれる。逆包含は $N$ が部分加群であることと冪の積から直ちに従う。
ここで $c$ は固定した三つのデータ $M,N,\mathfrak a$ から一度だけ選ぶ。$n$ ごとに別の定数を選んではいない。この一様性が次の長さ評価の反復を可能にする。

$d$ に関して帰納する。$d=0$ では $R/\mathfrak m^n$ が剰余体に全射するので $\chi_R(n)\ge1$ である。
$d>0$ とし、鎖を $\mathfrak p_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_d$ と書く。$R/\mathfrak p_0$ への全射は各極大イデアルの冪による商にも全射を与える。従って商の長さを下から評価すれば元の長さも下から評価される。そこで $C_0=R/\mathfrak p_0$ と置き、局所整域の場合へ移る。その極大イデアルを $\mathfrak n$ と書く。$\mathfrak p_1/\mathfrak p_0$ から非零元 $z$ を選ぶ。$D=C_0/(\mathfrak p_1/\mathfrak p_0)$ には長さ $d-1$ の鎖が残るので、帰納によりある $c_1>0$ について $\chi_D(n)\ge c_1n^{d-1}$ が十分大きい $n$ で成り立つ。
完全列による長さの加法性から
$$\chi_{C_0}(n)=\operatorname{length}C_0/(zC_0+\mathfrak n^n)+\operatorname{length}zC_0/(zC_0\cap\mathfrak n^n).$$
第一項の商は $D/\mathfrak m_D^n$ に全射するので $\chi_D(n)$ 以上である。第二項では固定部分加群 $zC_0\subset C_0$ にArtin–Reesを適用する。ある固定整数 $a\ge1$ について、すべての十分大きい $n$ で
$$zC_0\cap\mathfrak n^n\subset z\mathfrak n^{n-a}$$
となる。$z$ は整域の非零元だから消去でき、
$$(\mathfrak n^n:z)\subset\mathfrak n^{n-a}$$
を得る。従って第二項は $\chi_{C_0}(n-a)$ 以上である。以上より
$$\chi_{C_0}(n)\ge\chi_{C_0}(n-a)+c_1n^{d-1}$$
が十分大きい $n$ で成立する。
この不等式を $n,n-a,n-2a,\ldots$ について反復する。$n$ が十分大きければ、少なくとも $n/(3a)$ 個の項について引数は $n/2$ 以上に保てる。従って
$$\chi_{C_0}(n)\ge\frac{c_1}{3a\,2^{d-1}}n^d.$$
各帰納段階で用いた $a$ は $n$ に依存しない。これで帰納が閉じる。
この証明は実際に与えられた有限鎖から下界を得た。次元が有限であること、Hilbert多項式の次数が次元に等しいこと、主イデアル定理のいずれも仮定していない。

$\mathfrak m$ の有限生成元を $v_1,\ldots,v_s$ とする。各 $v_i$ の適当な正整数冪は $I$ に属する。十分高い次数の $v_i$ の単項式は、そのいずれかの冪を因子にもつので $I$ に入る。従ってある $h$ について $\mathfrak m^h\subset I$ である。$R/I$ は $R/\mathfrak m^h$ の商なので有限長である。
$I^j/I^{j+1}$ は、$u_1,\ldots,u_r$ の総次数 $j$ の単項式で生成される。その個数は $\binom{j+r-1}{r-1}$ である。また $I$ はこの商を零化するから、対応する個数の $R/I$ の直和から全射がある。従って
$$\operatorname{length}(I^j/I^{j+1})\le L\binom{j+r-1}{r-1}.$$
$R/I^n$ の有限フィルトレーションに長さの加法性を適用し、$j=0,\ldots,n-1$ について和を取ると
$$\operatorname{length}(R/I^n)\le L\binom{n+r-1}{r}.$$
$I^n\subset\mathfrak m^n$ なので $R/I^n$ は $R/\mathfrak m^n$ に全射する。これで主張を得る。

$s=0$ なら極大イデアルが零で、環は体だから次元は零である。$s\ge1$ なら前の長さ上界を $I=\mathfrak m$ に適用し、$L=1$ から $\chi_R(n)\le\binom{n+s-1}{s}$ を得る。長さ $d$ の素鎖があれば長さ下界により十分大きい $n$ で $Cn^d\le\chi_R(n)$ となる。$d>s$ ならこの二つの評価は矛盾する。従って全有限素鎖の長さは $s$ 以下であり、次元も $s$ 以下である。これは源の正則性を使わずに得た上界である。$\square$

$R$ を Noether 環とし、$B=R[\![X]\!]$ の任意のイデアル $J$ を取る。各 $n\ge0$ に対し
$$ J_n=\{[X^n]f\mid f\in J\cap X^nB\}\subset R $$
と定める。和と $R$ の定数倍で閉じるから $J_n$ は $R$ のイデアルである。また $f$ に $X$ を掛けると $J_{n+1}$ に同じ係数を与えるので $J_n\subset J_{n+1}$ となる。この昇鎖は、ある $N$ 以後一定となる。
$0\le n\le N$ ごとに $J_n$ の有限生成元 $a_{n,1},\dots,a_{n,t_n}$ を選び、それぞれを $X^n$ 係数に持つ $f_{n,j}\in J\cap X^nB$ を選ぶ。$J_n=0$ なら空族を取る。この有限個の級数で $J$ が生成されることを示す。
$f\in J$ に対し、次数零から順に係数を消去する。段 $n$ の残差 $r_n$ が $J\cap X^nB$ にあるとする。$n\le N$ なら、その次数 $n$ の係数は $J_n$ に入るから $a_{n,j}$ の $R$ 線型結合であり、同じ定数係数で $f_{n,j}$ を引けば残差は $J\cap X^{n+1}B$ に入る。$n>N$ なら $J_n=J_N$ なので、$a_{N,j}$ の線型結合を使い、$X^{n-N}f_{N,j}$ を引けばよい。この操作を全次数で繰り返す。
各 $f_{n,j}$、$n< N$ の係数はその段でだけ選ばれる。$f_{N,j}$ の係数は、段 $n\ge N$ で選んだ定数を $X^{n-N}$ 倍して加えた一つの形式的冪級数 $q_{N,j}\in B$ になる。各次数には一つの段しか寄与しないので、この和は係数ごとに定義できる。従って有限個の生成元に対する係数 $q_{n,j}\in B$ を得る。消去後の差 $f-\sum q_{n,j}f_{n,j}$ は任意の $X^mB$ に属し、全係数が零だから零である。よって $J$ は有限生成であり、$B$ は Noether 環である。
この証明では $J$ が閉イデアルであることを仮定していない。無限回引いた結果を $J$ の極限として回収したのではなく、初めに固定した有限個の $f_{n,j}$ の係数を級数へまとめ、最後に係数ごとに等式を検証した。
逆に $B$ が Noether なら、定数項写像による商 $B/(X)\cong R$ も Noether である。商環のイデアルは逆像を取って有限生成元の像で生成できるからである。
有限変数では $R[\![X_1,\dots,X_r]\!]\cong(R[\![X_1,\dots,X_{r-1}]\!])[\![X_r]\!]$ である。左辺の多重添字係数を $X_r$ の次数ごとにまとめれば右辺となり、積の各多重次数の有限和も一致する。変数数の帰納で主張を得る。$\square$

$B=R\llbracket X\rrbracket$ と置く。単元判定を確認する。級数 $f=\sum_{n\ge0}a_nX^n$ の定数項 $a_0$ が単元なら $f=a_0(1+h)$、$h\in(X)$ と書ける。$\sum_{j\ge0}(-h)^j$ は各固定次数に有限個の項しか寄与しないので形式級数として定まる。有限和との積は $1-(-h)^{N+1}$ であり、各固定次数では十分大きい $N$ で後項が消えるから、これは $1+h$ の逆元である。従って $f$ は単元。逆に $f$ が単元なら定数項写像 $R\llbracket X\rrbracket\to R$ によって $a_0$ も単元となる。有限変数でも $h\in(X_1,\ldots,X_r)$ なら全次数ごとに同じ有限寄与の計算が成立する。
$R$ が局所環なら、定数項が $\mathfrak m$ の外にある級数はこの判定により単元である。定数項が $\mathfrak m$ に入る級数は、定数項を引けば $X$ の倍数なので、ちょうど $\mathfrak m+XB$ に属する。従って非単元全体がこのイデアルとなり、商は $R/\mathfrak m$ だから唯一の最大イデアルである。この議論は $\mathfrak m$ の有限生成性を用いない。
逆に $B=R[\![X]\!]$ が局所環なら $B/(X)=R$ は非零な局所環の商なので局所環である。商の最大イデアルの逆像は元の最大イデアルでなければならず、唯一性が従う。$\square$

Noether性は thm-cst-source-fps-noether の有限先頭係数消去と、有限変数の係数同型を反復して得る。その証明はイデアルの閉性を前提としない。prop-cst-source-fps-local の単元判定によって、単元は定数項が単元である級数と一致する。従って極大イデアル $\mathfrak n$ は体の場合 $(X_1,\ldots,X_r)$、Cohen環の場合 $(p,X_1,\ldots,X_r)$。剰余体はそれぞれ $K$ と $k=C/pC$ である。
Cohen環の場合、$f=\sum_\alpha a_\alpha X^\alpha$ が $\mathfrak n^N$ に属する必要十分条件は
$$a_\alpha\in p^{N-|\alpha|}C\qquad(|\alpha|< N)$$
である。必要性は、次数 $N$ の有限個の生成単項式 $p^iX^\beta$、$i+|\beta|=N$ の倍数の係数を比較すれば得られる。十分性を確認する。$|\alpha|< N$ の有限個の項は $p^{N-|\alpha|}X^\alpha$ の倍数である。$|\alpha|\ge N$ の各項には、次数 $N$ の変数単項式因子を一つ選ぶ。この因子は有限個しかなく、同じ因子を割り当てた項の残りを一つの形式級数へまとめる。従って高次数の尾も有限個の生成単項式の倍数の和であり、$\mathfrak n^N$ に入る。
この条件により有限商は、$|\alpha|< N$ の係数 $a_\alpha$ を $p^{N-|\alpha|}$ で割った有限の桁で記録される。両立する有限商の族から、各固定 $\alpha$ に対し $N>|\alpha|$ の全 $p^{N-|\alpha|}$ 精度を取り出す。$C$ の $p$ 進完備分離性で一意な係数 $a_\alpha\in C$ を回収できる。これらの級数が元の全座標へ戻るので、$S\to\varprojlim S/\mathfrak n^N$ は全射。全座標零なら全係数は全 $p$ 冪内にあって零、従って単射。体版では条件は単に全次数 $N$ 未満の係数零で、各係数を有限切断から直接回収する。同じ計算から
$$\operatorname{gr}_{\mathfrak n}S\cong k[P,X_1,\ldots,X_r]$$
又は体版の $K[X_1,\ldots,X_r]$ を得る。Cohen環版では次数 $N$ の $p^iX^\alpha$、$i+|\alpha|=N$ の係数を剰余体へ還元し、上の必要十分条件によって独立性と全射性を確認する。積は単項式の指数和に対応する。特に $\mathfrak n/\mathfrak n^2$ の基底は $p,X_1,\ldots,X_r$、体版は $X_1,\ldots,X_r$ である。
$D$ は整域である。非零級数の最低全次数の斉次多項式を取ると、その二つの積は整域 $D[X]$ 内で非零。従って級数の積も非零で $S$ は整域。体版では
$$(0)\subsetneq(X_1)\subsetneq\cdots\subsetneq(X_1,\ldots,X_r)$$
の各商が残りの変数の体係数級数整域なので長さ $r$ の素鎖となる。Cohen環版では
$$(0)\subsetneq(p)\subsetneq(p,X_1)\subsetneq\cdots\subsetneq(p,X_1,\ldots,X_r)$$
が長さ $r+1$ の素鎖。$p$ を含む各商は残りの変数の $k$ 係数級数整域であり、$p\ne0$、各残りの変数も非零だから包含は真である。逆に lem-cst-local-dimension-bound を極大イデアルの $r$ 又は $r+1$ 個の生成元へ適用すれば、それぞれが次元上界となる。従って次元は基底数と一致し、$S$ は正則である。$r=0$ は体又はCohen DVR自身で、完備性・次元零又は一・余接基底もこの計算に含まれる。HS次元定理やCM高さ判定は使っていない。

生成元 $u_1,\ldots,u_t$ を取り、$M=\mathfrak mM$ なら $u_i=\sum_j a_{ij}u_j$、$a_{ij}\in\mathfrak m$ と書く。行列 $1-(a_{ij})$ の余因子行列を掛けると、全 $u_i$ が行列式で殺される。その行列式は剰余1なので単元であり、全生成元が零となる。基底の持上げが生成する部分加群を $N$ とすると、$M=N+\mathfrak mM$ だから有限加群 $M/N$ に前半を適用して $M=N$ を得る。極大イデアルを有限加群として適用すれば、余接基底の持上げは極大イデアルの生成元になる。極小性は剰余体上の基底の一次独立性から従う。$\square$

等標数では、標数零の超越基底と単根持上げ、又は正標数の任意基数の $p$ 基底と全精度の切断によって、上で係数体 $K$ を作った。Noether性から $\mathfrak m$ は有限生成であり、前補題で余接基底の持上げ $x_1,\ldots,x_e$ が $\mathfrak m$ を生成する。各全次数で剰余係数を合わせる prop-cst-field-series-presentation の逐次近似により、$S=K\llbracket X_1,\ldots,X_e\rrbracket\to A$ は全射となる。核を $J$ とすれば商表示を得る。
源 $S$ のNoether性、局所性、完備分離性、整域性、次元 $e$ と余接次元 $e$ は、上の先頭係数消去、全桁回収、素鎖と長さ上界の比較でそれぞれ証明した。$A$ が正則なら $\dim A=e$ である。もし $J\ne0$ なら、$S/J$ の任意の長さ $t$ の素鎖を逆像に取ると、$S$ の長さ $t$ の素鎖となる。その最初の素イデアルは非零 $J$ を含むので、整域 $S$ の零イデアルを先頭に加えれば長さ $t+1$ の真の素鎖になる。従って $t+1\le e$、$\dim(S/J)\le e-1$ となって $\dim A=e$ と矛盾する。$e=0$ では源は体であり、非零局所環への単位的全射は単射なので同じ結論が直接成立する。よって $J=0$ である。ここでは正則環の一般局所化やCM判定を使っていない。
剰余標数 $p>0$ では、任意剰余体のCohen環 $C$ の構成と、その有限商の平方零持上げによって係数準同型 $\varphi:C\to A$ を作った。その像の核は標数零なら零、標数 $p^h$ なら $(p^h)$ である。極大イデアルの有限生成元に $p$ を追加して $\mathfrak m=(p,y_1,\ldots,y_r)$ と書く。上の prop-cst-cohen-series-surjection で、全次数の単項式 $p^iy^\alpha$ による近似を固定 $Y^\alpha$ の $p$ 進係数へまとめた。従って $C\llbracket Y_1,\ldots,Y_r\rrbracket\twoheadrightarrow A$ であり、源は次元 $r+1$ の正則Noether完備局所環である。源の剰余体写像は恒等同定だから全射は局所射となる。
この第二の全射について、標的が正則だから核零とは結論していない。源の変数数と $p$ の一つの余接方向を区別しなければ次元を誤る。等標数正則の場合の核零に用いたのは、源と標的の次元がともに $e$ であるという専用の比較である。$\square$