Plancherelの定理

同義語：Plancherel theoremプランシュレルの定理Plancherelの公式

概要

前提知識: Fourier変換, Lp空間, Hilbert空間, コンパクト群

Plancherel の定理は、Fourier 変換が $L^2$ ノルムを保ち、$L^2$ 全体の上のユニタリ作用素に延びることを述べる定理である。$\mathbb{R}^n$ では、積分可能かつ 2 乗可積分な関数 $f$ について $\int\lvert\widehat f\rvert^2=\int\lvert f\rvert^2$ が成り立ち、Fourier 変換は $L^2(\mathbb{R}^n)$ のユニタリ作用素を定める。周期関数の Parsevalの等式、有限アーベル群の離散Fourier変換の定理「反転公式と Plancherel の等式」も同じ形の主張であり、群の上の関数を指標や既約表現で展開するとき、展開の係数の 2 乗和（または積分）が元の関数の $L^2$ ノルムの 2 乗に等しい、という共通の姿をもつ。
Fourier変換の定理「Plancherelの等式」は Schwartz 関数の上の等式と、そこからの延長を扱っている。この記事では、$L^1\cap L^2$ の関数について等式を直接証明し、延長した作用素が切り落とした積分の極限で計算できることを示す。次にコンパクト群の上の Plancherel の公式をコンパクト群の Peter–Weyl の定理から導き、Pontryagin双対の双対群の上の測度との関係をまとめる。

Euclid 空間の Plancherel の定理

Fourier変換の規格化に合わせ、$f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ に対して $\widehat f(\xi)=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)e^{-2\pi ix\cdot\xi}\,dx$ とする。$L^2$ の内積は $\langle f,g\rangle:=\int f\overline g\,dx$、ノルムは $\|f\|_2$ と書く。

Plancherelの定理（$\mathbb{R}^n$）

$f\in L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^n)$ なら $\widehat f\in L^2(\mathbb{R}^n)$ であり、$\|\widehat f\|_2=\|f\|_2$ である。
$L^1\cap L^2$ の上で $\mathcal Ff=\widehat f$ となる $L^2(\mathbb{R}^n)$ 上の有界線形作用素 $\mathcal F$ がただ一つあり、$\mathcal F$ はユニタリである。任意の $f\in L^2(\mathbb{R}^n)$ について
$$ \mathcal Ff=\lim_{R\to\infty}\int_{\lvert x\rvert\le R}f(x)e^{-2\pi ix\cdot\xi}\,dx\qquad(L^2\text{ での極限}) $$
である。
$\langle\mathcal Ff,\mathcal Fg\rangle=\langle f,g\rangle$ であり、逆作用素は $(\mathcal F^{-1}h)(x)=(\mathcal Fh)(-x)$ で与えられる。

1：$\tilde f(x):=\overline{f(-x)}$ とおき、$g:=f*\tilde f$ を考える。Fourier変換の命題「畳み込み定理」により $g\in L^1$ であり、$\widehat{\tilde f}=\overline{\widehat f}$ なので
$$ \widehat g=\widehat f\cdot\overline{\widehat f}=\lvert\widehat f\rvert^2 $$
である。一方 $g(x)=\int f(y)\overline{f(y-x)}\,dy$ は Cauchy–Schwarzの不等式によりすべての $x$ で定まり、$\lvert g\rvert\le\|f\|_2^2$、$g(0)=\|f\|_2^2$ である。$\lvert g(x)-g(x')\rvert\le\|f\|_2\,\|f(\cdot-x)-f(\cdot-x')\|_2$ と平行移動の $L^2$ 連続性（Kna16a Proposition 6.19、p. 237）から $g$ は連続である。
$\varepsilon>0$ に対し、Fourier変換の節「Gauss関数と反転公式」の計算により $\int e^{-\pi\varepsilon^2\lvert\xi\rvert^2}e^{-2\pi ix\cdot\xi}\,d\xi=K_\varepsilon(x):=\varepsilon^{-n}e^{-\pi\lvert x\rvert^2/\varepsilon^2}$ である。$g$ と Gauss 関数はともに積分可能なので Fubini の定理が使え、
$$ \int\lvert\widehat f(\xi)\rvert^2e^{-\pi\varepsilon^2\lvert\xi\rvert^2}\,d\xi =\int g(x)K_\varepsilon(x)\,dx =\int g(\varepsilon y)e^{-\pi\lvert y\rvert^2}\,dy $$
を得る（最後は $x=\varepsilon y$ と置き換えた）。$\varepsilon\downarrow0$ とすると、右辺は $g$ が有界連続なので優収束定理により $g(0)=\|f\|_2^2$ に収束し、左辺は単調収束定理により $\int\lvert\widehat f\rvert^2$ に収束する。よって $\|\widehat f\|_2^2=\|f\|_2^2$ である。
2：$f\in L^2$ に対し $f_R:=f\mathbf 1_{\{\lvert x\rvert\le R\}}$ は、有限測度の球の上で Cauchy–Schwarz の不等式を使うと $L^1\cap L^2$ に属し、優収束定理により $\|f-f_R\|_2\to0$ である。とくに $L^1\cap L^2$ は $L^2$ で稠密なので、1 の等長写像は $L^2$ 全体の等長作用素 $\mathcal F$ に一意に延び、$\mathcal Ff=\lim_R\widehat{f_R}$ となる。これが表示の式である。像は完備なので閉部分空間で、Schwartz 空間 $\mathcal S$ を含む（Fourier変換の節「急減少関数での反転」により $\mathcal F(\mathcal S)=\mathcal S$）。$\mathcal S$ は $L^2$ で稠密なので（$\varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$、$\varphi\ge0$、$\int\varphi=1$ をとり $\varphi_\varepsilon(x):=\varepsilon^{-n}\varphi(x/\varepsilon)$ とおくと、$\varphi_\varepsilon*f_R$ はコンパクトな台をもつ $C^\infty$ 級関数で $\mathcal S$ に属し、$\varepsilon\downarrow0$ で $L^2$ で $f_R$ に収束する。Kna16b Corollary 6.19・Theorem 6.20 (a)、pp. 349–350）、$\mathcal F$ は全射であり、全射な等長作用素なのでユニタリである。
3：内積の等式はノルムの等式から偏極恒等式で従う。$\mathcal S$ の上では $\mathcal F^{-1}h(x)=\mathcal Fh(-x)$ であり（Fourier変換の節「急減少関数での反転」）、両辺は $L^2$ 上の有界作用素なので、稠密な $\mathcal S$ の上で一致すれば全体で一致する。$\square$

$\mathcal F$ は、Fourier変換の定理「Plancherelの等式」で Schwartz 関数から延長した作用素と同じものである（どちらも有界で、$\mathcal S$ の上で一致する）。$f\in L^1\cap L^2$ では $\mathcal Ff$ は各点の積分 $\widehat f$ に等しいが、$f\in L^2\setminus L^1$ では定義の積分は一般に絶対収束せず、$\mathcal Ff$ は 2 の極限として定まる $L^2$ の元である（$n=1$ の場合の同じ定理は Axl26 Theorem 11.82・11.87、pp. 375–377 にあり、そこでは Poisson 核で証明している）。

区間の指示関数と $\int(\sin t/t)^2dt$

$f:=\mathbf 1_{[-1/2,1/2]}$ とすると、Fourier変換で計算した $1_{[-a,a]}$ の変換（$a=1/2$）により $\widehat f(\xi)=\dfrac{\sin\pi\xi}{\pi\xi}$（$\xi=0$ では $1$）である。$\widehat f$ は積分可能でないが 2 乗可積分で、thm-pl-euclid の 1 から
$$ \int_{\mathbb{R}}\left(\frac{\sin\pi\xi}{\pi\xi}\right)^2d\xi=\|f\|_2^2=1,\qquad\text{すなわち}\qquad\int_{\mathbb{R}}\frac{\sin^2t}{t^2}\,dt=\pi $$
を得る（$t=\pi\xi$ と置き換えた）。

両側指数関数と $\int(1+\xi^2)^{-2}d\xi$

$f(x):=e^{-2\pi\lvert x\rvert}$ の変換は $\widehat f(\xi)=\dfrac1{\pi(1+\xi^2)}$ である（Fourier変換の例「表の反例の確かめ」の 4 行目）。$\|f\|_2^2=\int e^{-4\pi\lvert x\rvert}\,dx=\dfrac1{2\pi}$ なので、thm-pl-euclid の 1 から $\dfrac1{\pi^2}\int\dfrac{d\xi}{(1+\xi^2)^2}=\dfrac1{2\pi}$、すなわち $\displaystyle\int_{\mathbb{R}}\frac{d\xi}{(1+\xi^2)^2}=\frac\pi2$ である。

コンパクト群の Plancherel の公式

$G$ をコンパクト群とし、コンパクト群の記号に従う：$dx$ は全体の測度 $1$ の Haar 測度、$\widehat G$ は有限次元既約ユニタリ表現の同値類の代表の集合で、各 $\pi\in\widehat G$ の表現空間 $V_\pi$（次元 $d_\pi$）に正規直交基底を固定する。$L^2(G)$ の内積は $\langle f,h\rangle:=\int_Gf\overline h\,dx$ とする。$\mu(G)=1$ なので $L^2(G)\subset L^1(G)$ である。

Fourier 係数

$f\in L^1(G)$ と $\pi\in\widehat G$ に対し、$V_\pi$ の線形写像
$$ \widehat f(\pi):=\int_Gf(x)\,\pi(x)^*\,dx $$
（行列の成分ごとの積分）を $f$ の $\pi$ における Fourier 係数という。行列 $A$ の Hilbert–Schmidt ノルムを $\|A\|_{\mathrm{HS}}^2:=\operatorname{tr}(A^*A)=\sum_{i,j}\lvert A_{ij}\rvert^2$ と書く。

コンパクト群の Plancherel の公式

$f,h\in L^2(G)$ について
$$ \|f\|_2^2=\sum_{\pi\in\widehat G}d_\pi\,\|\widehat f(\pi)\|_{\mathrm{HS}}^2,\qquad \langle f,h\rangle=\sum_{\pi\in\widehat G}d_\pi\operatorname{tr}\bigl(\widehat h(\pi)^*\widehat f(\pi)\bigr) $$
であり、$f=\sum_{\pi\in\widehat G}d_\pi\operatorname{tr}\bigl(\widehat f(\pi)\pi(\cdot)\bigr)$ が $L^2(G)$ で成り立つ（和は $\pi$ の順序によらず収束する）。逆に、$\sum_\pi d_\pi\|A_\pi\|_{\mathrm{HS}}^2<\infty$ を満たす行列の族 $(A_\pi)_{\pi\in\widehat G}$ に対し、$\widehat f(\pi)=A_\pi$ となる $f\in L^2(G)$ がただ一つある。

コンパクト群の定理「Peter–Weylの定理」の 3 により、$e_{\pi,ij}:=\sqrt{d_\pi}\,\pi_{ij}$ は $L^2(G)$ の正規直交基底である。$\pi(x)^*$ の $(j,i)$ 成分は $\overline{\pi_{ij}(x)}$ なので、展開の係数は
$$ \langle f,e_{\pi,ij}\rangle=\sqrt{d_\pi}\int_Gf(x)\overline{\pi_{ij}(x)}\,dx=\sqrt{d_\pi}\,\widehat f(\pi)_{ji} $$
である。Hilbert空間の定理「完全正規直交系の特徴づけとParsevalの等式」により $\|f\|_2^2=\sum_{\pi,i,j}d_\pi\lvert\widehat f(\pi)_{ji}\rvert^2=\sum_\pi d_\pi\|\widehat f(\pi)\|_{\mathrm{HS}}^2$ であり、内積についても同様に $\langle f,h\rangle=\sum_{\pi,i,j}d_\pi\widehat f(\pi)_{ji}\overline{\widehat h(\pi)_{ji}}$ である。展開 $f=\sum\langle f,e_{\pi,ij}\rangle e_{\pi,ij}=\sum_\pi d_\pi\sum_{i,j}\widehat f(\pi)_{ji}\pi_{ij}$ の内側の和は $\operatorname{tr}(\widehat f(\pi)\pi(x))$ である。最後の主張は、係数が 2 乗総和可能な正規直交基底の級数が収束すること（同記事の系「数列空間との同一視」）による。$\square$

$V_\pi$ の正規直交基底を取り替えると $\widehat f(\pi)$ はユニタリ行列 $U$ で $U^*\widehat f(\pi)U$ に変わり、$\|\cdot\|_{\mathrm{HS}}$ とトレースは変わらないので、公式は基底の選び方によらない（Kna16a Corollary 6.32 と p. 257 の書き換え）。

可換なコンパクト群

$G$ が可換なコンパクト群なら、$\widehat G$ は指標全体（Pontryagin双対の双対群で、離散的）であり、$\widehat f(\chi)=\int_Gf\overline\chi\,dx$ について
$$ \|f\|_2^2=\sum_{\chi\in\widehat G}\lvert\widehat f(\chi)\rvert^2 $$
が成り立つ。$f\mapsto\widehat f$ は $L^2(G)$ から $\ell^2(\widehat G)$ へのユニタリ作用素である。

要点：既約表現は $1$ 次元の指標なので、$d_\chi=1$ として thm-pl-compact を当てる。

詳しい証明を開く

コンパクト群の系「可換なコンパクト群の指標は点を分離する」により既約ユニタリ表現は $1$ 次元の指標で、同値な $1$ 次元表現は等しいので $\widehat G$ は指標全体である。$d_\chi=1$、$\|\widehat f(\chi)\|_{\mathrm{HS}}=\lvert\widehat f(\chi)\rvert$ として thm-pl-compact を当てる。全射性は定理の最後の主張である。$\square$

円周群と有限アーベル群

$G=\mathbb{T}$、$dx=d\theta/2\pi$ では、Pontryagin双対の定理「整数・円周・実数の双対群」により指標は $e^{im\theta}$（$m\in\mathbb{Z}$）であり、cor-pl-compact-abelian は $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\lvert f\rvert^2d\theta=\sum_{m\in\mathbb{Z}}\lvert c_m\rvert^2$（$c_m$ は Fourier 係数）、すなわち Parsevalの等式の $L^2$ 版になる。有限アーベル群 $G$ では $dx$ は $\lvert G\rvert^{-1}$ 倍の数え上げ測度なので、両辺に $\lvert G\rvert$ を掛けて整理すると $\sum_g\lvert f(g)\rvert^2=\lvert G\rvert^{-1}\sum_\chi\bigl\lvert\sum_gf(g)\overline{\chi(g)}\bigr\rvert^2$ となり、離散Fourier変換の定理「反転公式と Plancherel の等式」の 2 と一致する。

離散的な可換群

$\Gamma$ を可換な離散群、$K:=\widehat\Gamma$（コンパクト）に全体の測度 $1$ の Haar 測度を入れる。$f\in\ell^2(\Gamma)$ に対し $\mathcal Ff(\chi):=\sum_{\gamma\in\Gamma}f(\gamma)\overline{\chi(\gamma)}$（$L^2(K)$ での収束）と定めると、$\mathcal F\colon\ell^2(\Gamma)\to L^2(K)$ はユニタリである。

要点：双対定理により $K$ の指標は $\chi\mapsto\overline{\chi(\gamma)}$ で尽くされ、それらが $L^2(K)$ の正規直交基底になる。

詳しい証明を開く

$\gamma\in\Gamma$ について、$\chi\mapsto\overline{\chi(\gamma)}=\chi(-\gamma)$ は $K$ の指標 $\alpha_\Gamma(-\gamma)$ であり、Pontryagin双対の定理「Pontryaginの双対定理（コンパクトな群と離散的な群）」により $\gamma\mapsto\alpha_\Gamma(-\gamma)$ は $\Gamma$ から $K$ の指標全体への全単射である。cor-pl-compact-abelian の証明により $K$ の指標全体は $L^2(K)$ の正規直交基底なので、標準基底 $\delta_\gamma$ を基底 $\alpha_\Gamma(-\gamma)$ に移す $\mathcal F$ はユニタリである。$\square$

$\Gamma=\mathbb{Z}$ では $K\cong\mathbb{T}$ で、$\mathcal F$ は数列 $(c_m)$ を三角級数 $\sum c_me^{-im\theta}$ に移す写像であり、cor-pl-compact-abelian と互いに逆向きの対応になる。

双対群の測度との関係

thm-pl-euclid・cor-pl-compact-abelian・prop-pl-discrete は、群 $G$ の Haar 測度 $\mu$ に対し双対群 $\widehat G$ の Haar 測度 $\nu$ を組にして選ぶと、$\widehat f(\chi)=\int_Gf\overline\chi\,d\mu$ について $\int_{\widehat G}\lvert\widehat f\rvert^2d\nu=\int_G\lvert f\rvert^2d\mu$ となる、という同じ形をしている。ここまでに証明した組は次のとおりである。

$G$ と $\mu$	$\widehat G$ と $\nu$	根拠
$\mathbb{R}^n$、Lebesgue 測度	$\mathbb{R}^n$（$\xi\leftrightarrow e^{2\pi i\xi\cdot x}$）、Lebesgue 測度	thm-pl-euclid
コンパクトな可換群、全測度 $1$	離散群、数え上げ測度	cor-pl-compact-abelian
離散的な可換群、数え上げ測度	コンパクト群、全測度 $1$	prop-pl-discrete
有限アーベル群、数え上げ測度	双対群、$\lvert G\rvert^{-1}$ 倍の数え上げ測度	ex-pl-circle-finite

同じ形の定理は局所コンパクトな可換群へ広がる。可換でもコンパクトでもない群では、$1$ 次元の指標の代わりに無限次元を含む既約ユニタリ表現を使うことになる（局所コンパクト群のユニタリ表現の節「理論の分岐」）。

条件を外したときの反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
$f\in L^1$（thm-pl-euclid の積分表示）	$f(x)=(1+\lvert x\rvert)^{-1}$（$\mathbb{R}$ 上）	$\mathcal Ff$ を定義の積分で各点ごとに表すこと
双対側の測度の正規化（双対測度の表）	$\mathcal Gf(\xi):=\int f(x)e^{-ix\xi}\,dx$ と Lebesgue 測度	$\\|\mathcal Gf\\|_2=\\|f\\|_2$（実際は $\\|\mathcal Gf\\|_2^2=2\pi\\|f\\|_2^2$）
群の可換性（指標だけの和）	$S_3$ と $f=\delta_{(1\,2)}-\delta_{(1\,3)}$	$\\|f\\|_2^2=\sum_\chi\lvert\widehat f(\chi)\rvert^2$（左辺 $1/3$、右辺 $0$）
次元の重み $d_\pi$（thm-pl-compact）	$S_3$ と $f=\delta_e$	$\\|f\\|_2^2=\sum_\pi\\|\widehat f(\pi)\\|_{\mathrm{HS}}^2$（左辺 $1/6$、右辺 $1/9$）

反例の確かめ

1 行目：$f\in L^2\setminus L^1$ で、$\xi=0$ での定義の積分は $\int f=\infty$ となる（Fourier変換の例「表の反例の確かめ」の 2 行目）。$\mathcal Ff$ は thm-pl-euclid の 2 の極限として定まる。
2 行目：$\mathcal Gf(\xi)=\widehat f(\xi/2\pi)$ なので、変数変換で $\int\lvert\mathcal Gf\rvert^2d\xi=2\pi\int\lvert\widehat f\rvert^2d\xi=2\pi\|f\|_2^2$ である。双対側の測度を $d\xi/2\pi$ にとれば等式に戻る。
3・4 行目：$S_3$ の測度は $1/6$ 倍の数え上げ測度である。Pontryagin双対の例「反例の確かめ」の 2 行目により、$1$ 次元の表現は自明な指標と符号 $\operatorname{sgn}$ だけで、コンパクト群の例「有限群と円周群」の $\sum d_\pi^2=6$ から、残りはちょうど $1$ 個の $2$ 次元既約表現 $\sigma$ である。3 行目の $f$ は互換で $\pm1$ をとるので $\|f\|_2^2=2/6=1/3$、一方 $\widehat f(\chi)=\frac16(\chi((1\,2))-\chi((1\,3)))=0$（互換での値は等しい）である。4 行目では $\widehat{\delta_e}(\pi)=\frac16I$ なので $\|\widehat{\delta_e}(\pi)\|_{\mathrm{HS}}^2=d_\pi/36$ であり、重みなしの和は $\frac1{36}+\frac1{36}+\frac2{36}=\frac19$、重み付きの和は $\frac1{36}+\frac1{36}+\frac4{36}=\frac16=\|\delta_e\|_2^2$ である。