随伴行列
概要
随伴行列（conjugate transpose）とは、複素数を成分とする行列 $A=(a_{ij})$ を転置して各成分を複素共役にした行列 $A^{*}=\overline{A}^{\top}$ であり、共役転置ともいう。$\mathbb{C}^n$ の標準内積について $\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^{*}y\rangle$ を満たす行列としてただ 1 つに定まり、正規直交基底での随伴写像の行列になる。$(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$、$\ker A^{*}=(\operatorname{im}A)^{\perp}$、$\operatorname{rank}A^{*}A=\operatorname{rank}A$ などが成り立ち、Hermite 行列・ユニタリ行列・正規行列はこれで定まる。余因子行列を随伴行列と呼ぶ流儀もあるが、別物である。
複素数を成分とする行列 $A$ を転置し、さらに各成分を複素共役で置き換えた行列を $A$ の 随伴行列（共役転置、conjugate transpose）といい、$A^{*}$ と書く。$\mathbb{C}^n$ の標準内積について
$$
\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^{*}y\rangle
$$
が成り立ち、随伴行列はこの等式で特徴づけられる。つまり $A^{*}$ は、内積の片側に掛かっている $A$ をもう一方の側へ移すための行列である。実数を成分とする行列では $A^{*}$ は転置行列 $A^{\top}$ に一致するが、複素数の行列では転置だけでは上の等式が成り立たず、複素共役を合わせる必要がある。
随伴行列は、複素数の行列の重要な族を定める言葉になる。$A^{*}=A$ を満たす Hermite行列、$A^{*}A=I$ を満たす ユニタリ行列、$A^{*}A=AA^{*}$ を満たす 正規行列 はどれも随伴行列で定義され、それぞれ実数、絶対値 $1$ の複素数、複素数一般にあたる役割を行列の中で果たす。また $A^{*}A$ はつねに半正定値の Hermite 行列で、$A$ と同じ核をもつ。
名前の注意：日本語の線形代数の本や可換環論の文献では、余因子を並べた行列 $\operatorname{adj}A$ を「随伴行列」と呼ぶことがある。この記事の随伴行列はそれとは別のもので、$\operatorname{adj}A$ は記事 余因子行列 で扱う。随伴行列は $A^{\mathrm{H}}$、$A^{\dagger}$（物理学）とも書かれ、Hermite 共役とも呼ばれる。
| 結果 | 内容 |
|---|---|
| prop-cjt-rules | $(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$、$\det A^{*}=\overline{\det A}$、$A^{*}$ の固有値は $A$ の固有値の共役 など |
| thm-cjt-adjoint | $\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^{*}y\rangle$ で $A^{*}$ が一意に決まる |
| prop-cjt-operator | 正規直交基底に関する随伴写像の行列は随伴行列 |
| thm-cjt-kernel | $\ker A^{*}=(\operatorname{im}A)^{\perp}$、$\operatorname{rank}A^{*}A=\operatorname{rank}A$ |
| prop-cjt-norm | $A^{*}$ の作用素ノルムは $A$ のものに等しく、$A^{*}A$ の作用素ノルムはその 2 乗 |
定義
$M_{m,n}(\mathbb{C})$ で複素数を成分とする $m\times n$ 行列の全体を表し、$\mathbb{C}^n$ の元は列ベクトルとする。行列 $A=(a_{ij})$ の各成分を複素共役で置き換えた行列を $\overline{A}=(\overline{a_{ij}})$ と書く。
$A=(a_{ij})\in M_{m,n}(\mathbb{C})$ に対し、$(i,j)$ 成分が $\overline{a_{ji}}$ である $n\times m$ 行列
$$
A^{*}:=\overline{A}^{\top}=\bigl(\overline{a_{ji}}\bigr)_{1\le i\le n,\ 1\le j\le m}
$$
を $A$ の 随伴行列（共役転置、conjugate transpose）という。
$\overline{A}^{\top}=\overline{A^{\top}}$ なので、転置と複素共役はどちらを先に行ってもよい。$A$ が実数を成分とする行列なら $A^{*}=A^{\top}$ である。列ベクトル $x\in\mathbb{C}^n$ について $x^{*}$ は成分を共役にした行ベクトルである。
$\mathbb{C}^n$ の 標準内積 を
$$
\langle x,y\rangle:=\sum_{i=1}^{n}x_i\overline{y_i}=y^{*}x\qquad(x,y\in\mathbb{C}^n)
$$
と定め、$\lvert x\rvert:=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ と書く。第 1 変数について線形、第 2 変数について共役線形とする約束は 内積 の記事と同じである。$x^{*}x=\sum_i\lvert x_i\rvert^2=\lvert x\rvert^2$ である。
直感
$1\times1$ 行列 $(z)$ の随伴行列は $(\overline{z})$ なので、随伴行列は複素共役 $z\mapsto\overline{z}$ の行列への拡張とみなせる。この見方で、$A^{*}=A$（Hermite 行列）は実数、$A^{*}A=I$（ユニタリ行列）は $\lvert z\rvert=1$ の複素数、$A^{*}A$ は $\lvert z\rvert^2=\overline{z}z\ge0$ にあたる。ただし行列の積は可換でないので、$A^{*}A$ と $AA^{*}$ は一般に異なり、等しいもの（正規行列）が特に扱いやすい。
一方、随伴行列の本質は内積との関係 $\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^{*}y\rangle$ にある。転置 $A^{\top}$ は双線形な $x^{\top}y$ について $(Ax)^{\top}y=x^{\top}(A^{\top}y)$ を満たすが、複素数の内積は第 2 変数について共役線形なので、移すときに複素共役が付く。
例
$$
A=\begin{pmatrix}1&i&0\\2-i&3&-i\end{pmatrix}\quad\text{のとき}\quad A^{*}=\begin{pmatrix}1&2+i\\-i&3\\0&i\end{pmatrix}
$$
である。$2\times3$ 行列の随伴行列は $3\times2$ 行列になり、$(1,2)$ 成分 $i$ は $(2,1)$ 成分 $-i$ に移る。また
$$
A^{*}A=\begin{pmatrix}6&6+4i&1-2i\\6-4i&10&-3i\\1+2i&3i&1\end{pmatrix}
$$
は対角成分が実数で、$(i,j)$ 成分と $(j,i)$ 成分が互いに共役な Hermite 行列である（thm-cjt-kernel の 3）。たとえば $(1,1)$ 成分は $A$ の第 1 列の長さの 2 乗 $\lvert1\rvert^2+\lvert2-i\rvert^2=6$ である。
$v\in\mathbb{C}^n$ を $\lvert v\rvert=1$ の列ベクトルとすると、$v^{*}v=1$ であり、$n\times n$ 行列 $P:=vv^{*}$ は
$$
P^{*}=(v^{*})^{*}v^{*}=vv^{*}=P,\qquad P^2=v(v^{*}v)v^{*}=P
$$
を満たす（prop-cjt-rules の 2・3 を使った）。$Px=v(v^{*}x)=\langle x,v\rangle v$ なので、$P$ は $v$ が張る直線への直交射影である。たとえば $v=\frac{1}{\sqrt2}{}^{t}(1,i)$ なら $P=\frac12\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}$ である。
$A=(i)\in M_1(\mathbb{C})$ とする。$A^{\top}=(i)$ であるが、$x=y=1$ について
$$
\langle Ax,y\rangle=i,\qquad\langle x,A^{\top}y\rangle=1\cdot\overline{i}=-i
$$
なので $\langle Ax,y\rangle\ne\langle x,A^{\top}y\rangle$ である。$A^{*}=(-i)$ を使えば $\langle x,A^{*}y\rangle=\overline{-i}=i$ となって等式が成り立つ。$A$ は「正方行列である」を満たすが「実数を成分とする」を満たさず、実行列についての $\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^{\top}y\rangle$ は複素行列には成り立たない。
$A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$ とすると $A^{*}=B$、$B^{*}=A$ であり、
$$
(AB)^{*}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=B^{*}A^{*},\qquad A^{*}B^{*}=BA=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}
$$
なので $(AB)^{*}\ne A^{*}B^{*}$ である。この $A$ は $A^{*}A=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=AA^{*}$ も満たすので正規行列でない。さらに $e_1={}^{t}(1,0)$ は $Ae_1=0$ を満たす $A$ の固有ベクトルだが、$A^{*}e_1=e_2$ は $e_1$ の定数倍でないので $A^{*}$ の固有ベクトルでない。$A^{*}$ の固有値は $A$ の固有値の共役になるが（prop-cjt-rules の 6）、固有ベクトルは共有されるとは限らない。
$G=\operatorname{diag}(1,2)$ とし、$\mathbb{C}^2$ に内積 $\langle x,y\rangle_G:=y^{*}Gx=x_1\overline{y_1}+2x_2\overline{y_2}$ を入れる。行列 $A$ に対し、すべての $x,y$ で $\langle Ax,y\rangle_G=\langle x,A^{\sharp}y\rangle_G$ を満たす行列は $A^{\sharp}=G^{-1}A^{*}G$ である（$\langle x,A^{\sharp}y\rangle_G=y^{*}(A^{\sharp})^{*}Gx$ が $y^{*}GAx$ に等しくなる条件 $(A^{\sharp})^{*}G=GA$ を解けばよい。一意性は thm-cjt-adjoint の証明と同じ）。$A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ では
$$
A^{\sharp}=\begin{pmatrix}1&0\\0&\tfrac12\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\\tfrac12&0\end{pmatrix}\ne A^{*}
$$
である。これは「内積が標準内積である」（基底でいえば「基底が正規直交である」）の条件を外すと、随伴写像の行列が共役転置にならないことを示す（prop-cjt-operator の仮定）。
性質
計算の規則
行列の積・和は意味をもつ大きさのものとし、$c\in\mathbb{C}$ とする。
- $(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}$、$(cA)^{*}=\overline{c}\,A^{*}$。
- $(A^{*})^{*}=A$。
- $(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$。
- 正方行列 $A$ が正則ならば $A^{*}$ も正則で、$(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}$。
- 正方行列 $A$ について $\det A^{*}=\overline{\det A}$、$\operatorname{tr}A^{*}=\overline{\operatorname{tr}A}$。
- $n$ 次正方行列 $A$ の固有多項式 $\chi_A(t)=\det(tI_n-A)$ について $\chi_{A^{*}}(t)=\overline{\chi_A(\overline{t})}$ である。したがって $A^{*}$ の固有値は、$A$ の固有値の複素共役を重複度もこめて並べたものである。
1・2 は成分で見れば $\overline{a_{ji}+b_{ji}}=\overline{a_{ji}}+\overline{b_{ji}}$、$\overline{ca_{ji}}=\overline{c}\,\overline{a_{ji}}$、$\overline{\overline{a_{ij}}}=a_{ij}$ である。
3：$A$ を $l\times m$、$B$ を $m\times n$ とすると、$(AB)^{*}$ の $(i,j)$ 成分は
$$
\overline{(AB)_{ji}}=\overline{\sum_{k=1}^{m}a_{jk}b_{ki}}=\sum_{k=1}^{m}\overline{b_{ki}}\,\overline{a_{jk}}=\sum_{k=1}^{m}(B^{*})_{ik}(A^{*})_{kj}=(B^{*}A^{*})_{ij}
$$
である。複素数の積が可換であることを使って因子の順序を入れ替えた。
4：$AA^{-1}=A^{-1}A=I$ の両辺の随伴をとると、3 と $I^{*}=I$ から $(A^{-1})^{*}A^{*}=A^{*}(A^{-1})^{*}=I$ である。
5：複素共役 $z\mapsto\overline{z}$ は和と積を保つ（$\mathbb{C}$ の環の自己同型である）。行列式は Leibniz の公式により成分の整数係数の多項式なので $\det\overline{A}=\overline{\det A}$ であり、転置しても行列式は変わらない（行列式 の記事の命題「転置と行列式」）から $\det A^{*}=\det\overline{A}^{\top}=\overline{\det A}$ である。跡については $\operatorname{tr}A^{*}=\sum_i\overline{a_{ii}}=\overline{\operatorname{tr}A}$。
6：1・2 から $(\overline{t}I_n-A)^{*}=tI_n-A^{*}$ なので、5 により
$$
\chi_{A^{*}}(t)=\det\bigl((\overline{t}I_n-A)^{*}\bigr)=\overline{\det(\overline{t}I_n-A)}=\overline{\chi_A(\overline{t})}
$$
である。$\chi_A(t)=\prod_k(t-\lambda_k)$ と 1 次式の積に分解すると（代数学の基本定理）、$\overline{\chi_A(\overline{t})}=\prod_k(t-\overline{\lambda_k})$ である。$\square$
規則 1〜4 は Axl24 7.5（p. 230）の随伴写像の性質を行列で述べたものにあたる。行列式については Axl24 9.56（p. 360）にもある。
内積による特徴づけ
$A\in M_{m,n}(\mathbb{C})$ とする。
- すべての $x\in\mathbb{C}^n$、$y\in\mathbb{C}^m$ について $\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^{*}y\rangle$ が成り立つ。
- 逆に、$B\in M_{n,m}(\mathbb{C})$ がすべての $x\in\mathbb{C}^n$、$y\in\mathbb{C}^m$ について $\langle Ax,y\rangle=\langle x,By\rangle$ を満たすならば、$B=A^{*}$ である。
1：$\langle u,v\rangle=v^{*}u$ と prop-cjt-rules の 2・3 から
$$
\langle x,A^{*}y\rangle=(A^{*}y)^{*}x=y^{*}(A^{*})^{*}x=y^{*}Ax=\langle Ax,y\rangle
$$
である。
2：$e_j$ を $\mathbb{C}^n$ の、$f_i$ を $\mathbb{C}^m$ の標準基底の元とする。$x=e_j$、$y=f_i$ を代入すると、左辺は $\langle Ae_j,f_i\rangle=a_{ij}$、右辺は $\langle e_j,Bf_i\rangle=\overline{b_{ji}}$ である。よって $b_{ji}=\overline{a_{ij}}$ がすべての $i,j$ で成り立ち、$B=A^{*}$ である。$\square$
この定理により、$A^{*}$ は線形写像 $x\mapsto Ax$ の、標準内積に関する随伴写像（随伴作用素）の行列である。より一般に、正規直交基底を使えば同じことが任意の有限次元の内積空間で成り立つ。
$V$、$W$ を有限次元の複素内積空間、$e_1,\dots,e_n$ を $V$ の、$f_1,\dots,f_m$ を $W$ の正規直交基底とする。線形写像 $T\colon V\to W$ の随伴写像 $T^{*}\colon W\to V$（すべての $v\in V$、$w\in W$ で $\langle Tv,w\rangle=\langle v,T^{*}w\rangle$ を満たす線形写像）について、$T^{*}$ のこれらの基底に関する表現行列は、$T$ の表現行列の随伴行列である。
正規直交基底について、$w\in W$ は $w=\sum_i\langle w,f_i\rangle f_i$ と展開される（正規直交基底）。したがって $T$ の表現行列 $M$ の $(i,j)$ 成分は $M_{ij}=\langle Te_j,f_i\rangle$ であり、同様に $T^{*}$ の表現行列 $N$ の $(i,j)$ 成分は $N_{ij}=\langle T^{*}f_j,e_i\rangle$ である。内積の共役対称性と随伴写像の定義から
$$
N_{ij}=\overline{\langle e_i,T^{*}f_j\rangle}=\overline{\langle Te_i,f_j\rangle}=\overline{M_{ji}}
$$
であり、$N=M^{*}$ である。$\square$
この主張は Axl24 7.9（p. 232）にある。基底が正規直交でないときは成り立たない（ex-cjt-weighted）。
核・像と $A^{*}A$
$U\subset\mathbb{C}^k$ に対し $U^{\perp}:=\{y\in\mathbb{C}^k\mid\text{すべての }u\in U\text{ で }\langle u,y\rangle=0\}$ を直交補空間とする。部分空間 $U$ について $(U^{\perp})^{\perp}=U$ が成り立つ（有限次元）。
$A\in M_{m,n}(\mathbb{C})$ とし、$\ker A=\{x\in\mathbb{C}^n\mid Ax=0\}$、$\operatorname{im}A=\{Ax\mid x\in\mathbb{C}^n\}$ とする。
- $\ker A^{*}=(\operatorname{im}A)^{\perp}$、$\operatorname{im}A^{*}=(\ker A)^{\perp}$。
- $\ker(A^{*}A)=\ker A$ であり、$\operatorname{rank}(A^{*}A)=\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}A^{*}$。
- $A^{*}A$ は Hermite 行列で、すべての $x\in\mathbb{C}^n$ について $x^{*}A^{*}Ax=\lvert Ax\rvert^2\ge0$ である。$x^{*}A^{*}Ax>0$ がすべての $x\ne0$ で成り立つ（$A^{*}A$ が正定値行列である）ことは、$A$ の列が線形独立であることと同値である。
1：$y\in\mathbb{C}^m$ について
$$
A^{*}y=0\iff\text{すべての }x\text{ で }\langle x,A^{*}y\rangle=0\iff\text{すべての }x\text{ で }\langle Ax,y\rangle=0\iff y\in(\operatorname{im}A)^{\perp}
$$
である。最初の同値は $x=A^{*}y$ とおけば分かり、2 つ目は thm-cjt-adjoint による。後半は、前半を $A^{*}$ に当てて $(A^{*})^{*}=A$ を使うと $\ker A=(\operatorname{im}A^{*})^{\perp}$ であり、両辺の直交補空間をとると $(\ker A)^{\perp}=\operatorname{im}A^{*}$ を得る。
2：$Ax=0$ なら $A^{*}Ax=0$ である。逆に $A^{*}Ax=0$ なら
$$
0=\langle A^{*}Ax,x\rangle=\langle Ax,Ax\rangle=\lvert Ax\rvert^2
$$
なので $Ax=0$ である。よって $\ker(A^{*}A)=\ker A$ であり、次元定理から $\operatorname{rank}(A^{*}A)=n-\dim\ker A=\operatorname{rank}A$ である。また 1 から $\operatorname{rank}A^{*}=\dim(\ker A)^{\perp}=n-\dim\ker A=\operatorname{rank}A$ である。
3：prop-cjt-rules の 2・3 から $(A^{*}A)^{*}=A^{*}(A^{*})^{*}=A^{*}A$。また $x^{*}A^{*}Ax=(Ax)^{*}(Ax)=\lvert Ax\rvert^2$ であり、これがすべての $x\ne0$ で正であることは $\ker A=\{0\}$、すなわち $A$ の列が線形独立であることと同値である。$\square$
2 の $\operatorname{rank}(A^{*}A)=\operatorname{rank}A$ は、複素行列で $A^{*}$ の代わりに転置 $A^{\top}$ を使うと成り立たない。たとえば $A={}^{t}(1,i)$ では $A^{\top}A=1+i^2=0$ だが $A^{*}A=2$ である（階数(線形代数) の記事にも同じ趣旨の反例がある）。1 は Axl24 7.6（p. 231）の行列での形である。
ノルム
行列 $A\in M_{m,n}(\mathbb{C})$ の（標準内積の長さに関する）作用素ノルムを
$$
\| A\|:=\sup\{\lvert Ax\rvert\mid x\in\mathbb{C}^n,\ \lvert x\rvert\le1\}
$$
と定める。Cauchy–Schwarz の不等式から $\lvert Ax\rvert^2\le\bigl(\sum_{i,j}\lvert a_{ij}\rvert^2\bigr)\lvert x\rvert^2$ なので有限であり、$\lvert Ax\rvert\le\| A\|\,\lvert x\rvert$、$\| AB\|\le\| A\|\,\| B\|$ を満たす（前者は Axl24 7.86・7.89、pp. 280–282。後者は前者から $\lvert ABx\rvert\le\| A\|\,\lvert Bx\rvert\le\| A\|\,\| B\|\,\lvert x\rvert$ として従う）。
$A\in M_{m,n}(\mathbb{C})$ について
$$
\| A^{*}\|=\| A\|,\qquad\| A^{*}A\|=\| A\|^{2},\qquad\operatorname{tr}(A^{*}A)=\sum_{i,j}\lvert a_{ij}\rvert^{2}
$$
が成り立つ。
$\lvert x\rvert\le1$ とすると、thm-cjt-adjoint と Cauchy–Schwarz の不等式から
$$
\lvert Ax\rvert^{2}=\langle A^{*}Ax,x\rangle\le\lvert A^{*}Ax\rvert\,\lvert x\rvert\le\| A^{*}A\|
$$
である。よって $\| A\|^{2}\le\| A^{*}A\|\le\| A^{*}\|\,\| A\|$ であり、$A\ne O$ なら $\| A\|\le\| A^{*}\|$ を得る（$A=O$ なら明らか）。同じ不等式を $A^{*}$ に当てて $(A^{*})^{*}=A$ を使うと $\| A^{*}\|\le\| A\|$ なので $\| A^{*}\|=\| A\|$ である。すると $\| A^{*}A\|\le\| A^{*}\|\,\| A\|=\| A\|^{2}$ となり、最初の不等式と合わせて $\| A^{*}A\|=\| A\|^{2}$ である。最後の等式は $(A^{*}A)_{jj}=\sum_i\overline{a_{ij}}a_{ij}$ を $j$ について足せばよい。$\square$
$\| A^{*}A\|=\| A\|^{2}$ は、ノルムと随伴の両方をもつ代数（C*-環）の公理になる等式である。$\| A^{*}\|=\| A\|$ は Axl24 7.91（p. 283）にある。
随伴行列で定まる行列の族
| 条件 | 名前 | 複素数での類比 | 固有値 |
|---|---|---|---|
| $A^{*}=A$ | Hermite行列 | 実数 | 実数 |
| $A^{*}=-A$ | 歪 Hermite 行列 | 純虚数 | 純虚数（$0$ を含む） |
| $A^{*}A=I$ | ユニタリ行列 | 絶対値 $1$ の数 | 絶対値 $1$ |
| $A^{*}A=AA^{*}$ | 正規行列 | 複素数一般 | 制限なし |
| $A=B^{*}B$ となる $B$ がある | 半正定値 Hermite 行列 | $\lvert z\rvert^{2}\ge0$ | $0$ 以上の実数 |
固有値の列は次のように確かめられる。$Av=\lambda v$、$v\ne0$ とすると $\lambda\lvert v\rvert^2=\langle Av,v\rangle$ である。$A^{*}=\pm A$ なら $\langle Av,v\rangle=\langle v,A^{*}v\rangle=\pm\overline{\langle Av,v\rangle}$ なので $\lambda$ は実数（$+$）または純虚数（$-$）である。$A^{*}A=I$ なら $\lvert Av\rvert^2=\langle A^{*}Av,v\rangle=\lvert v\rvert^2$ なので $\lvert\lambda\rvert=1$ である。$A=B^{*}B$ なら $\langle Av,v\rangle=\lvert Bv\rvert^2\ge0$ なので $\lambda\ge0$ である。逆に、すべての $x$ で $x^{*}Ax\ge0$ となる Hermite 行列 $A$ が $B^{*}B$ の形に書けることは、スペクトル定理で $A$ をユニタリ行列により対角化し、固有値の平方根をとれば分かる。正規行列がちょうどユニタリ行列で対角化できる行列であることはスペクトル定理の内容である（正規行列 の記事）。
補足
Hilbert 空間の上の有界線形作用素 $T$ にも、$\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^{*}y\rangle$ を満たす作用素 $T^{*}$ がただ 1 つあり、随伴作用素 という。随伴行列は、$\mathbb{C}^n$ に標準内積を入れたときの随伴作用素を行列で表したものである。thm-cjt-kernel の 1 の前半 $\ker T^{*}=(\operatorname{im}T)^{\perp}$ と、prop-cjt-norm の $\| T^{*}\|=\| T\|$、$\| T^{*}T\|=\| T\|^{2}$ は随伴作用素でも成り立つが、無限次元では像が閉じているとは限らないので、$\operatorname{im}T^{*}$ は $(\ker T)^{\perp}$ の稠密な部分空間になる（等号には閉包が要る）。
随伴行列は $A^{*}$ のほか、数値計算などでは $A^{\mathrm{H}}$、物理学では $A^{\dagger}$ と書かれる。英語では conjugate transpose、Hermitian transpose、Hermitian adjoint、Hermitian conjugate などと呼ばれる。定義と内積との関係は Axl24 の 7.1（随伴写像、p. 228）、7.7（共役転置、p. 231）、7.9（p. 232）にある。冒頭の注意のとおり、余因子を並べた行列 $\operatorname{adj}A$ を随伴行列と呼ぶ文献もあるので、文脈で区別する。
関連項目
参考文献
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