表現論

1 と 2 の対応は 群環 の命題「群環上の加群と群の表現」である（$g$ の作用を $K[G]$ の元の作用に線形に延ばす）。

1 と 3：関手 $F$ はただ 1 つの対象 $\ast$ をベクトル空間 $V:=F(\ast)$ に、射 $g$ を線形写像 $F(g)\colon V\to V$ に送り、$F(gh)=F(g)\circ F(h)$、$F(1)=\mathrm{id}_V$ を満たす。すると $F(g)\circ F(g^{-1})=F(1)=\mathrm{id}_V$ なので $F(g)$ は可逆で、$g\mapsto F(g)$ は群準同型 $G\to\mathrm{GL}(V)$ である。逆に群準同型 $\rho$ は同じ式で関手を定める。関手 $F,F'$ の間の自然変換はただ 1 つの成分 $f\colon F(\ast)\to F'(\ast)$ からなり、自然性はすべての射 $g$ について下の四角形が可換であること、すなわち $f\circ F(g)=F'(g)\circ f$ である。
$$ \xymatrix{ F(\ast) \ar[r]^{f} \ar[d]_{F(g)} & F'(\ast) \ar[d]^{F'(g)} \\ F(\ast) \ar[r]_{f} & F'(\ast) } $$
これは表現の射の条件そのものである。$\square$

$\iota_i\colon V_i\to V$ を包含、$\pi_i\colon V\to V_i$ を直和分解に沿った射影とすると、どちらも表現の射である。$f\mapsto(\pi_i\circ f)_i$ は線形同型
$$ \operatorname{Hom}_G(W,V)\cong\operatorname{Hom}_G(W,V_1)\oplus\cdots\oplus\operatorname{Hom}_G(W,V_m) $$
を与える（逆写像は $(f_i)_i\mapsto\sum_i\iota_i\circ f_i$）。既約表現 の定理「Schur の補題」により、$\operatorname{Hom}_G(W,V_i)$ は $V_i$ が $W$ と同値でなければ $0$ であり、同値なら同型 $\varphi\colon W\to V_i$ を 1 つ選ぶと $\operatorname{Hom}_G(W,V_i)=\{\varphi\circ c\mid c\in\operatorname{End}_G(W)\}=K\varphi$ で $1$ 次元である（$\operatorname{End}_G(W)=K\,\mathrm{id}_W$）。次元を足せば主張を得る。$\square$

表現は生成元 $1$ の行き先 $A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ で決まり、逆にどの可逆行列 $A$ についても $k\mapsto A^k$ は $\mathbb{Z}$ からの群準同型である。$\rho,\sigma$ が $A,B$ に対応するとき、同値であるとは $P\rho(k)P^{-1}=\sigma(k)$（すべての $k$）となる可逆行列 $P$ があることで、$k=1$ の場合から $PAP^{-1}=B$ であり、逆に $PAP^{-1}=B$ ならすべての $k$ で $PA^kP^{-1}=B^k$ である。相似類は Jordan 標準形で分類される（Jordan標準形 の定理「Jordan標準形の存在」「Jordan標準形の一意性」）。$A$ は可逆なので固有値は $0$ でない。

不変部分空間は $A$ で保たれる部分空間（$A^{-1}$ も $A$ の多項式なので $A^{-1}$ でも保たれる）であり、Jordan 標準形の細胞への分解は不変部分空間の直和分解なので、直既約なら細胞は 1 つである。逆に細胞 1 つの $A=J_n(\lambda)$ を考え、$N:=A-\lambda I$ とおく。$A$ で保たれる $d$ 次元の部分空間 $U$ は $N$ でも保たれ、$N|_U$ は冪零なので $N^dU=0$、すなわち $U\subset\ker N^d$ であり、$\dim\ker N^d=d$ なので $U=\ker N^d$ である。よって不変部分空間は $\ker N^j$（$0\le j\le n$）だけで互いに包含関係にあり、$0$ でない 2 つの不変部分空間の直和には分かれない。$\mathbb{C}$ は代数閉体なので $A$ は固有ベクトルをもち、その張る直線は不変である。よって既約なら $n=1$ である。$\square$