Hölder空間の基本事項

$x,y\in\overline\Omega$、$x\neq y$ と $|\gamma|=k$ に対して
$$ \frac{|D^\gamma u(x)-D^\gamma u(y)|}{|x-y|^\beta} =|x-y|^{\alpha-\beta} \frac{|D^\gamma u(x)-D^\gamma u(y)|}{|x-y|^\alpha} \leq d^{\alpha-\beta}[D^\gamma u]_{0,\alpha;\Omega}. $$
上限を取り、$|\gamma|=k$ について足せば半ノルムの評価を得る。一様ノルムの項は両方のノルムで同じなので、
$$ \|u\|_{k,\beta;\Omega} \leq\max\{1,d^{\alpha-\beta}\}\|u\|_{k,\alpha;\Omega} $$
も従う。

任意の $x,y\in\overline\Omega$ に対して
$$ f(x)g(x)-f(y)g(y) =f(x)(g(x)-g(y))+g(y)(f(x)-f(y)) $$
である。よって $x\neq y$ なら
$$ \frac{|f(x)g(x)-f(y)g(y)|}{|x-y|^\alpha} \leq\|f\|_\infty[g]_{0,\alpha;\Omega} +\|g\|_\infty[f]_{0,\alpha;\Omega}. $$
左辺の上限を取れば最初の評価を得る。また $\|fg\|_\infty\leq\|f\|_\infty\|g\|_\infty$ を加えると
$$ \|fg\|_{0,\alpha;\Omega} \leq\|f\|_\infty\|g\|_\infty +\|f\|_\infty[g]_{0,\alpha;\Omega} +\|g\|_\infty[f]_{0,\alpha;\Omega} \leq\|f\|_{0,\alpha;\Omega}\|g\|_{0,\alpha;\Omega} $$
となる。

Leibniz則により、$|\gamma|\leq k$ なら
$$ D^\gamma(fg)=\sum_{\delta\leq\gamma} {\gamma\choose\delta}D^\delta fD^{\gamma-\delta}g. $$
各項の一様ノルムは対応する二つの一様ノルムの積で抑えられる。$|\eta|< k$ なら、凸性により二点を結ぶ線分が $\Omega$ に含まれ、線分上で微積分学の基本定理を用いることにより
$$ [D^\eta f]_{0,1;\Omega} \leq\sum_{i=1}^n\|D^{\eta+e_i}f\|_\infty $$
を得る。したがって $d=\operatorname{diam}(\Omega)$ とおけば
$$ [D^\eta f]_{0,\alpha;\Omega} \leq d^{1-\alpha}\sum_{i=1}^n\|D^{\eta+e_i}f\|_\infty, $$
$g$ についても同様である。$|\gamma|=k$ のLeibniz展開の各積に命題「Hölder連続関数の積」を適用すると、最高階の因子には定義上のHölder評価を、低階の因子には今の評価を使える。有限個の多重指数について和を取れば、$n,k,\alpha,d$ のみに依存する定数 $C$ を得る。

$x,y\in X$ に対し、まず $f$ のHölder評価を、次に $g$ のHölder評価を用いると
$$ |f(g(x))-f(g(y))| \leq[f]_{0,\alpha;V}d_Y(g(x),g(y))^\alpha \leq[f]_{0,\alpha;V}[g]_{0,\beta;X}^\alpha d_X(x,y)^{\alpha\beta}. $$
$x\neq y$ について商の上限を取れば結論を得る。

$(u_j)$ を $C^{k,\alpha}(\overline\Omega)$ のCauchy列とする。各 $|\gamma|\leq k$ について
$$ \|D^\gamma u_j-D^\gamma u_\ell\|_\infty \leq\|u_j-u_\ell\|_{k,\alpha;\Omega} $$
なので、$D^\gamma u_j$ は $C(\overline\Omega)$ の一様ノルムでCauchy列である。よってある連続関数 $v_\gamma$ に一様収束する。
これらの極限が互いに微分として両立することを確かめる。$|\gamma|< k$、$x\in\Omega$ とし、$x$ を中心とする閉球が $\Omega$ に含まれるよう半径を取る。十分小さい $t$ と座標方向 $e_i$ に対し、微積分学の基本定理から
$$ D^\gamma u_j(x+te_i)-D^\gamma u_j(x) =\int_0^t D^{\gamma+e_i}u_j(x+se_i)\,ds $$
である。一様収束により $j\to\infty$ とでき、
$$ v_\gamma(x+te_i)-v_\gamma(x) =\int_0^t v_{\gamma+e_i}(x+se_i)\,ds $$
を得る。したがって $\partial_i v_\gamma=v_{\gamma+e_i}$ である。これを帰納的に用いれば、$u:=v_0$ は $C^k(\Omega)$ に属し、$D^\gamma u=v_\gamma$ である。
残るのはHölder半ノルムでの収束である。$\varepsilon>0$ を取り、$j,\ell\geq N$ なら $\|u_j-u_\ell\|_{k,\alpha;\Omega}<\varepsilon$ となるようにする。$|\gamma|=k$ と $x\neq y$ に対して $\ell\to\infty$ とすれば
$$ \frac{|(D^\gamma u_j-D^\gamma u)(x)-(D^\gamma u_j-D^\gamma u)(y)|}{|x-y|^\alpha} \leq\varepsilon. $$
上限を取り、有限個の最高階多重指数について、初めから各項の和を用いて同じ極限を取れば
$$ [u_j-u]_{k,\alpha;\Omega}\leq\varepsilon $$
を得る。一様ノルムの各項も $0$ に収束するので、$\|u_j-u\|_{k,\alpha;\Omega}\to0$ である。ゆえに空間は完備である。

$C^{k,\alpha}$ の有界列 $(u_j)$ を取る。すべての $|\gamma|\leq k$ について $D^\gamma u_j$ は一様有界である。$|\gamma|=k$ の族は一様に指数 $\alpha$ のHölder連続である。$|\gamma|< k$ の族は、凸性と線分上の微積分学の基本定理により、その一階上の導関数の一様ノルムをLipschitz定数としてもつ。したがって、すべての導関数族は一様同程度連続である。コンパクトな $\overline\Omega$ 上でArzelà–Ascoliの定理を適用し、有限回の部分列抽出を行うと、すべての $|\gamma|\leq k$ について $D^\gamma u_j$ が一様収束する部分列を得る。
指数の改善には、任意の有界関数 $h$ に対する補間評価
$$ [h]_{0,\beta;\Omega} \leq 2^{1-\beta/\alpha} \|h\|_\infty^{1-\beta/\alpha} [h]_{0,\alpha;\Omega}^{\beta/\alpha} $$
を使う。この評価は、$|h(x)-h(y)|$ を $2\|h\|_\infty$ と $[h]_{0,\alpha}|x-y|^\alpha$ の小さい方で抑え、二つが釣り合う尺度で場合分けすれば得られる。最高階導関数の差に適用すると、一様収束と一様な $\alpha$-Hölder評価から $\beta$-Hölder半ノルムでの収束が従う。よって選んだ部分列は $C^{k,\beta}$ で収束する。