Weylテンソル

1．定義の 4 項で $h$ と $k$ を入れ替えると、第 1 項と第 2 項、第 3 項と第 4 項が入れ替わるので $h\odot k=k\odot h$ である。条件 1・2・4 は定義から直接わかる（4 は $h,k$ の対称性を使う）。条件 3 は、$(y,z,w)$ を巡回させた 3 つの値の和の 12 項が、$h,k$ の対称性によって 2 項ずつ打ち消し合うことからわかる。

1．$\mathrm{Rm}$ と $P\odot g$（lem-weyl-kn の 1）はどちらも代数的曲率テンソルなので、差 $W$ もそうである。$\operatorname{tr}_gP=\frac1{n-2}\bigl(S-\frac{nS}{2(n-1)}\bigr)=\frac S{2(n-1)}$ なので、lem-weyl-kn の 2 から
$$ c(P\odot g)=(n-2)P+\frac S{2(n-1)}\,g=\mathrm{Ric} $$
であり、$c(W)=c(\mathrm{Rm})-c(P\odot g)=\mathrm{Ric}-\mathrm{Ric}=0$ である。他の縮約は $0$ か $\pm c(W)$ なので $0$ である。
2．前半は定義である。$\mathrm{Rm}=W'+h\odot g$ とすると、縮約して $\mathrm{Ric}=(n-2)h+(\operatorname{tr}_gh)g$、さらに跡をとって $S=2(n-1)\operatorname{tr}_gh$ である。よって $\operatorname{tr}_gh=\frac S{2(n-1)}$、$h=\frac1{n-2}\bigl(\mathrm{Ric}-\frac S{2(n-1)}g\bigr)=P$ で、$W'=\mathrm{Rm}-P\odot g=W$ である。
3．$P=\frac1{n-2}\mathrm{Ric}_0+\frac S{n-2}\bigl(\frac1n-\frac1{2(n-1)}\bigr)g=\frac1{n-2}\mathrm{Ric}_0+\frac S{2n(n-1)}g$ を 2 に代入すればよい。$\square$

3 次元の代数的曲率テンソル $T$ で $c(T)=0$ となるものは $0$ であることを示せばよい（thm-weyl-decomposition の 1 を $T=W$ に使う）。$T_{ijkl}:=T(e_i,e_j,e_k,e_l)$ と書く。条件 1・2 から、$i=j$ または $k=l$ なら $T_{ijkl}=0$ である。
$\{i,j\}=\{k,l\}$ の成分． $a_{ij}:=T_{ijij}$（$i\ne j$）は条件 1・2 から $i,j$ について対称で、$\{i,j\}=\{k,l\}$ の成分は $\pm a_{ij}$ である。$b_{ij}:=\varepsilon_i\varepsilon_ja_{ij}$ とおくと、$\varepsilon_jc(T)(e_j,e_j)=\varepsilon_j\sum_{i\ne j}\varepsilon_ia_{ij}=\sum_{i\ne j}b_{ij}$ なので、$c(T)=0$ から
$$ b_{12}+b_{13}=0,\qquad b_{12}+b_{23}=0,\qquad b_{13}+b_{23}=0 $$
である。3 式を足して $b_{12}+b_{13}+b_{23}=0$ となり、各式と比べてすべての $b_{ij}$、したがって $a_{ij}$ が $0$ である。
$\{i,j\}\ne\{k,l\}$ の成分． 添字は 3 つしかないので、2 元集合 $\{i,j\}$ と $\{k,l\}$ はちょうど 1 つの元 $m$ を共有し、$\{i,j\}=\{m,a\}$、$\{k,l\}=\{m,b\}$（$a\ne b$）と書ける。条件 1・2 からこの成分は $\pm T(e_m,e_a,e_m,e_b)$ である。一方 $c(T)(e_a,e_b)=\sum_i\varepsilon_iT(e_i,e_a,e_i,e_b)$ で、$i=a$ の項は条件 2、$i=b$ の項は条件 1 で消えるので、$c(T)(e_a,e_b)=\varepsilon_mT(e_m,e_a,e_m,e_b)$ である。よってこの成分も $0$ である。
したがって $T=0$ である。最後の式は $n=3$ で $P=\mathrm{Ric}-\frac S4g$ であることによる。$\square$

段 1． 共形変換 の命題「共形変換によるリーマン接続の変化」により、$\tilde\nabla_XY=\nabla_XY+D(X,Y)$、$D(X,Y):=(X\rho)Y+(Y\rho)X-g(X,Y)G$ である。$D$ は対称な $C^\infty(M)$ 双線形写像である。このとき
$$ \tilde R(X,Y)Z=R(X,Y)Z+(\nabla_XD)(Y,Z)-(\nabla_YD)(X,Z)+D(X,D(Y,Z))-D(Y,D(X,Z)) $$
が成り立つ。

prop-weyl-conformal-curvature と $\mathrm{Rm}=W+P\odot g$ から、$e^{2\rho}(h\odot g)=h\odot\tilde g$ を使って
$$ \widetilde{\mathrm{Rm}}=e^{2\rho}W+e^{2\rho}(P-A)\odot g=e^{2\rho}W+(P-A)\odot\tilde g $$
である。$e^{2\rho}W$ は代数的曲率テンソルである。$\tilde g$ の正規直交基底として $\tilde e_i:=e^{-\rho}e_i$ をとると、$\tilde g$ に関する縮約は $\tilde c(T)=e^{-2\rho}c(T)$ なので、$\tilde c(e^{2\rho}W)=c(W)=0$ である。$\tilde g$ についての thm-weyl-decomposition の 2（分解の一意性）から $\tilde W=e^{2\rho}W$、$\tilde P=P-A$ である。最後に $\tilde g(\tilde W^\sharp(Z,U)Y,X)=\tilde W(X,Y,Z,U)=e^{2\rho}g(W^\sharp(Z,U)Y,X)=\tilde g(W^\sharp(Z,U)Y,X)$ なので $\tilde W^\sharp=W^\sharp$ である。$\square$

$p\in M$ の近傍 $U$ と $U$ 上の $\rho$ で $\tilde g=e^{2\rho}g$ が平坦なものをとる。$\widetilde{\mathrm{Rm}}=0=0+0\odot\tilde g$ なので、分解の一意性から $\tilde W=0$ であり、thm-weyl-conformal から $U$ の上で $W=e^{-2\rho}\tilde W=0$ である。$\square$

$S=n\lambda$ なので $P=\frac1{n-2}\bigl(\lambda-\frac{n\lambda}{2(n-1)}\bigr)g=\frac\lambda{2(n-1)}g$ で、$\mathrm{Rm}=W+P\odot g$ から最初の式を得る。$W=0$ なら $\mathrm{Rm}=\frac K2g\odot g$（$K=\frac\lambda{n-1}$）で、$\mathrm{Rm}(X,Y,X,Y)=K\bigl(g(X,X)g(Y,Y)-g(X,Y)^2\bigr)$ から断面曲率は $K$ である。逆に断面曲率が定数 $K$ なら ex-weyl-constant-curvature から $\mathrm{Rm}=\frac K2g\odot g=0+\frac K2g\odot g$ で、分解の一意性から $W=0$ である。$\square$