Banach–Saksの定理

$f\in X^*$ を固定し、$a_n=f(x_n)-f(x)$ とおくと $a_n\to0$ で、$f(\sigma_N)-f(x)=\frac1N\sum_{n\le N}a_n$ である。$\varepsilon>0$ に対し、$n>m$ なら $|a_n|<\varepsilon$ となる $m$ をとり、$A=\sum_{n\le m}|a_n|$ とおくと、$N>m$ について
$$ \Bigl|\frac1N\sum_{n\le N}a_n\Bigr|\le\frac AN+\frac{N-m}N\varepsilon<\frac AN+\varepsilon $$
である。$N\to\infty$ で上極限は $\varepsilon$ 以下となり、$\varepsilon$ は任意なので $f(\sigma_N)\to f(x)$ である。部分列 $(x_{n_k})$ も $x$ に弱収束するので、その Cesàro 平均も $x$ に弱収束する。ノルムで収束すれば弱収束もするので、極限は弱極限の一意性（弱位相の Hausdorff 性）から $x$ に等しい。

$y_n=x_n-x$ とおくと $y_n\rightharpoonup0$ であり、$\frac1N\sum_k x_{n_k}-x=\frac1N\sum_ky_{n_k}$ なので、$y_n$ について示せばよい。$M=\sup_n\|y_n\|$ は有限である（弱収束列の有界性）。
部分列を帰納的に選ぶ。$n_1=1$ とする。$n_1<\dots< n_{k-1}$ まで決まったとき、各 $j< k$ について $y\mapsto\langle y,y_{n_j}\rangle$ は $H$ 上の連続線形汎関数だから、$y_m\rightharpoonup0$ より $\langle y_m,y_{n_j}\rangle\to0$（$m\to\infty$）である。有限個の $j$ について同時に成り立つように、$n_k>n_{k-1}$ を
$$ |\langle y_{n_k},y_{n_j}\rangle|\le2^{-k}\qquad(1\le j< k) $$
となるように選べる。$s_N=\sum_{k=1}^Ny_{n_k}$ とおくと、内積を展開して
$$ \|s_N\|^2=\sum_{k=1}^N\|y_{n_k}\|^2+2\operatorname{Re}\sum_{k=2}^N\sum_{j< k}\langle y_{n_k},y_{n_j}\rangle\le NM^2+2\sum_{k=2}^N(k-1)2^{-k}\le NM^2+2 $$
である（$\sum_{k\ge2}(k-1)2^{-k}=1$）。したがって
$$ \Bigl\|\frac{s_N}N\Bigr\|^2\le\frac{M^2}N+\frac2{N^2}\to0 $$
となる。

Hilbert 空間は反射的なので（反射的Banach空間 の命題「Hilbert 空間は反射的」）、有界な点列は弱収束する部分列をもつ（同記事の定理「有界列の弱収束部分列」）。その部分列に thm-bs-hilbert を使い、部分列の部分列をとればよい。

一様凸な Banach 空間は反射的なので（一様凸Banach空間 の定理「Milman–Pettisの定理」）、有界な点列は弱収束する部分列をもつ（反射的Banach空間 の定理「有界列の弱収束部分列」）。その部分列に thm-bs-kakutani を使えばよい。$L^p(\Omega)$ が一様凸であることは、$p\ge2$ では 一様凸Banach空間 の命題「$p\ge2$ の $L^p$ 空間」、$1< p<2$ では Clarksonの不等式 の系「$L^p$ の一様凸性」による。

同値なノルムは同じ有界集合、同じノルム収束の点列、同じ開集合をもつ（ノルム空間 の命題「同値なノルムが共有するもの」）。開集合が同じなので連続な線形汎関数も同じであり、連続双対が一致する。連続双対が同じなので弱収束も同じである。Banach–Saks 性と弱 Banach–Saks 性の定義は、有界性・弱収束・ノルム収束だけで書かれているので、両方のノルムで同時に成り立つか同時に成り立たない。

$L=\liminf_n\varphi(x_n)$ とし、$L<+\infty$ としてよい。$\varphi(x_{m_j})\to L$ となる部分列をとる（$L=-\infty$ なら $\varphi(x_{m_j})\to-\infty$）。$x_{m_j}\rightharpoonup x$ なので、thm-bs-hilbert によりさらに部分列 $z_k=x_{m_{j_k}}$ を選んで $\sigma_N=\frac1N\sum_{k\le N}z_k\to x$（ノルムで）とできる。凸性から
$$ \varphi(\sigma_N)\le\frac1N\sum_{k=1}^N\varphi(z_k) $$
であり、右辺は収束する数列 $\varphi(z_k)\to L$ の Cesàro 平均なので $L$ に近づく（$L=-\infty$ のときは $-\infty$ に発散する）。左辺は $\varphi$ の連続性により $\varphi(x)$ に近づく。$\varphi(x)$ は実数なので $L=-\infty$ はありえず、$\varphi(x)\le L$ である。