Noetherの公式

$K^2$。 曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の定理「爆発と交点形式」の 3 である。
$e$。 $P$ のまわりの正則な座標 $(z_1,z_2)$ で、開球 $B=\{|z|< 1\}$ をとる。$\pi^{-1}(B)$ は
$$ V:=\{(z,\ell)\in B\times\mathbb{P}^1: z\in\ell\} $$
（$\ell$ は原点を通る複素直線）と同一視でき、$E=\{0\}\times\mathbb{P}^1$ である（BHPV04 I §9, p. 34 の局所的な構成）。$H_s(z,\ell)=(sz,\ell)$（$0\le s\le1$）は $V$ から $E$ への変形レトラクトなので $e(V)=e(\mathbb{P}^1)=2$ である。$U:=\tilde X\setminus E$ は $X\setminus\{P\}$ に同相で、$U\cap V=V\setminus E$ は $B\setminus\{0\}$ に同相で $S^3$ にホモトピー同値だから $e(U\cap V)=0$ である。まず $X=(X\setminus\{P\})\cup B$ の Mayer–Vietoris完全列 で、$X$・$B$・$B\setminus\{0\}$ のホモロジーは有限次元だから $X\setminus\{P\}$ のホモロジーも有限次元である。したがって開被覆 $\tilde X=U\cup V$ の Mayer–Vietoris 完全列は有限次元の空間の長完全列なので、Euler 標数は $e(\tilde X)=e(U)+e(V)-e(U\cap V)=e(X\setminus\{P\})+2$ をみたす。同じ議論を $X=(X\setminus\{P\})\cup B$ に当てると、$B$ は可縮なので $e(X)=e(X\setminus\{P\})+1$ である。よって $e(\tilde X)=e(X)+1$ である。
$\chi(\mathcal{O})$。 $p=1,2$ について、微分形式の引き戻し $\pi^*\colon H^0(X,\Omega^p_X)\to H^0(\tilde X,\Omega^p_{\tilde X})$ が同型であることを示す。$\pi$ は稠密な開集合 $\tilde X\setminus E$ の上で同型であり、整なスキームの上の局所自由層の切断は稠密な開集合への制限で決まるので、$\pi^*$ は単射である。全射であること：$\eta\in H^0(\tilde X,\Omega^p_{\tilde X})$ を $\tilde X\setminus E\cong X\setminus\{P\}$ に制限すると、$X\setminus\{P\}$ の上の $p$ 次微分形式 $\omega'$ を得る。$P$ の近くで $\Omega^p_X$ は自由なので、$\omega'$ は基底の係数となる $P$ の外で正則な関数の組で表される。$\mathcal{O}_{X,P}$ は 2 次元の正規な Noether 整域で、$P$ の外で正則な関数は高さ $1$ のすべての素イデアルでの局所化に属するので、$\mathcal{O}_{X,P}$ に属する（代数的 Hartogs の補題、Vak25 Lemma 13.5.19, p. 383）。こうして $\omega'$ は $X$ の上の形式 $\omega$ に延び、$\pi^*\omega$ と $\eta$ は $\tilde X\setminus E$ で一致するので等しい。
$p=2$ の場合から $p_g(\tilde X)=h^0(\omega_{\tilde X})=h^0(\omega_X)=p_g(X)$、$p=1$ の場合と Hodge 対称性 $q=h^0(\Omega^1)$ から $q(\tilde X)=q(X)$ を得る。よって $\chi(\mathcal{O}_{\tilde X})=1-q+p_g=\chi(\mathcal{O}_X)$ である。
最後に、$K_{\tilde X}^2+e(\tilde X)=(K_X^2-1)+(e(X)+1)=K_X^2+e(X)$ で、左辺の $12\chi(\mathcal{O})$ も変わらないので、公式の成否は $X$ と $\tilde X$ で同じである。$\square$

$p_1\colon X\to C$、$p_2\colon X\to D$ を射影とする。
$\chi(\mathcal{O})$。 Künneth の公式（Stacks Tag 0BED）により $H^n(X,\mathcal{O}_X)\cong\bigoplus_{i+j=n}H^i(C,\mathcal{O}_C)\otimes H^j(D,\mathcal{O}_D)$ なので、$\chi(\mathcal{O}_X)=\chi(\mathcal{O}_C)\chi(\mathcal{O}_D)=(1-g)(1-h)$ である。
$K^2$。 微分形式の層は $\Omega^1_X\cong p_1^*\Omega^1_C\oplus p_2^*\Omega^1_D$ と分解する（Stacks Tag 01V1）。階数 $1$ の 2 つの層の直和の行列式はテンソル積なので $\omega_X\cong p_1^*\omega_C\otimes p_2^*\omega_D$、すなわち $K_X\sim p_1^*K_C+p_2^*K_D$ である。$C$ の点 $a$ について $p_1^*a=\{a\}\times D$ であり、$a\ne a'$ ならこれらは交わらないので $p_1^*a\cdot p_1^*a'=0$、$\{a\}\times D$ と $C\times\{b\}$ は点 $(a,b)$ で横断的に交わるので $p_1^*a\cdot p_2^*b=1$ である（曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の定理「交点形式」の 3）。双線形性により、$C$ の因子 $A$ と $D$ の因子 $B$ について
$$ p_1^*A\cdot p_1^*A'=0,\qquad p_2^*B\cdot p_2^*B'=0,\qquad p_1^*A\cdot p_2^*B=\deg A\cdot\deg B $$
である（$a=a'$ の場合：$F=\{a\}\times D$ は滑らかな曲線で、$\mathcal{O}_X(p_1^*a)|_F\cong(p_1|_F)^*\mathcal{O}_C(a)$ は定値写像による引き戻しなので自明である。曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の定理「交点形式」の 2 により $(p_1^*a)^2=\deg\mathcal{O}_F=0$ である。$p_2^*b$ も同様）。$\deg K_C=2g-2$、$\deg K_D=2h-2$ なので
$$ K_X^2=2\deg K_C\deg K_D=2(2g-2)(2h-2)=8(g-1)(h-1) $$
である。
$e$。 滑らかな射影曲線の複素点の全体は、代数的な種数と同じ種数の向き付けられた閉曲面である（BHPV04 I, p. 26 の $n=1$ の場合の注意）。種数 の系「種数のEuler標数による式」により $e(C)=2-2g$、$e(D)=2-2h$ で、Euler標数 の定理「直積と和集合の Euler 標数」により $e(X)=e(C)e(D)=4(g-1)(h-1)$ である。
以上から $K_X^2+e(X)=12(g-1)(h-1)=12\chi(\mathcal{O}_X)$ である。$\square$

爆発の回数についての帰納法による。0 回のときは ex-noether-p2 と thm-noether-product、帰納の段は prop-noether-blowup である。$\square$

Hodge指数定理 の記事の系「Kähler 曲面の符号数」により $\tau(X)=2+2p_g-h^{1,1}$ であり、「設定と記号」で見たとおり $e(X)=2-4q+2p_g+h^{1,1}$ である。足すと $\tau+e=4-4q+4p_g=4\chi(\mathcal{O}_X)$ である。Noether の公式の $\chi(\mathcal{O}_X)=\frac1{12}(K_X^2+e)$ を代入すると $\tau=\frac13(K_X^2+e)-e=\frac13(K_X^2-2e)$ となる。$\square$