平坦性のイデアル判定

（1 $\Rightarrow$ 2）包含 $I\hookrightarrow A$ は単射なので、平坦性の定義から $M\otimes I\to M\otimes A\cong M$ は単射であり、これは $\mu_I$ と同一視される。
（2 $\Rightarrow$ 3）有限生成イデアルはイデアルである。
（3 $\Leftrightarrow$ 4）Tor関手 の命題「巡回加群との一次の Tor」により $\operatorname{Tor}_1^A(M,A/I)\cong\ker\mu_I$ である。
（3 $\Rightarrow$ 2）任意のイデアル $I$ と $z\in\ker\mu_I$ をとる。$z=\sum_{j=1}^s a_j\otimes m_j$（$a_j\in I$）と書き、$I_0=(a_1,\dots,a_s)\subset I$ とおく。同じ式は $I_0\otimes M$ の元 $z_0$ を定め、$\mu_{I_0}(z_0)=\sum_ja_jm_j=\mu_I(z)=0$ である。3 により $z_0=0$ であり、$z$ は $z_0$ の像なので $z=0$ である。
（2 $\Rightarrow$ 5）2 と（3 $\Leftrightarrow$ 4）と同じ同型により、すべてのイデアル $J$ について $\operatorname{Tor}_1^A(M,A/J)=0$ である。有限生成加群 $N$ の生成元の個数 $n$ についての帰納法で $\operatorname{Tor}_1^A(M,N)=0$ を示す。$n=0$ なら $N=0$ である。$n\ge1$ とし、生成元 $\omega_1,\dots,\omega_n$ のうち $\omega_1,\dots,\omega_{n-1}$ が生成する部分加群を $N_0$ とする。$J=\{a\in A\mid a\omega_n\in N_0\}$ はイデアルであり、$a\mapsto a\omega_n$ は同型 $A/J\cong N/N_0$ を誘導する。短完全列 $0\to N_0\to N\to A/J\to0$ の長完全列の一部
$$ \operatorname{Tor}_1^A(M,N_0)\longrightarrow\operatorname{Tor}_1^A(M,N)\longrightarrow\operatorname{Tor}_1^A(M,A/J) $$
は完全であり、左端は帰納法の仮定により、右端は上で見たことにより $0$ である。従って $\operatorname{Tor}_1^A(M,N)=0$ である。ここで $J$ は有限生成とは限らないので、2 を経由したことが効いている。
（5 $\Rightarrow$ 1）単射 $N'\to N$ をとり、$N'$ をその像と同一視して部分加群とみなす。$z\in M\otimes N'$ の $M\otimes N$ での像が $0$ であるとする。lem-ideal-flat-finite の 1 により、$z$ はある有限生成部分加群 $N_0\subset N'$ について $z_0\in M\otimes N_0$ の像である。$z_0$ の $M\otimes N$ での像は $0$ なので、lem-ideal-flat-finite の 2 により、有限生成部分加群 $N_0\subset N_1\subset N$ で $z_0$ の $M\otimes N_1$ での像が $0$ となるものがある。短完全列 $0\to N_0\to N_1\to N_1/N_0\to0$ の長完全列
$$ \operatorname{Tor}_1^A(M,N_1/N_0)\longrightarrow M\otimes N_0\longrightarrow M\otimes N_1 $$
において、$N_1/N_0$ は有限生成なので 5 により左端は $0$ であり、$M\otimes N_0\to M\otimes N_1$ は単射である。よって $z_0=0$、従って $z=0$ である。$\square$

平坦なら、Tor関手 の命題「平坦加群に対する消滅」によりすべての $N$ で $\operatorname{Tor}_1^A(M,N)=0$ である。逆は thm-ideal-flat-criterion の 5 $\Rightarrow$ 1 による。$\square$

（1 $\Rightarrow$ 2）線形写像 $\varphi\colon A^n\to A$ を $\varphi(c_1,\dots,c_n)=\sum_ja_jc_j$ で定め、$K=\ker\varphi$ とおく。列 $K\to A^n\xrightarrow{\varphi}A$ は $A^n$ で完全であり、$M$ が平坦なので、平坦加群 の命題「完全関手としての言い換え」により $M\otimes K\to M\otimes A^n\to M\otimes A$ も中央で完全である。$M\otimes A^n\cong M^n$、$M\otimes A\cong M$ と同一視すると、中央の写像は $(x_j)_j\mapsto\sum_ja_jx_j$ である。仮定から $(x_j)_j$ はこの核に入るので、$M\otimes K$ の元 $\sum_{k=1}^s y_k\otimes\beta_k$（$\beta_k=(b_{1k},\dots,b_{nk})\in K$、$y_k\in M$）の像である。$\beta_k\in K$ は $\sum_ja_jb_{jk}=0$ を意味し、像が $(x_j)_j$ であることは $x_j=\sum_kb_{jk}y_k$ を意味する。
（2 $\Rightarrow$ 1）thm-ideal-flat-criterion の条件 3 を示す。$I=(a_1,\dots,a_n)$ を有限生成イデアルとし、$z\in I\otimes M$ が $\mu_I(z)=0$ を満たすとする。$I$ の元は $\sum_jr_ja_j$ と書けるので、$c\otimes m=\sum_ja_j\otimes r_jm$ により $z$ は $z=\sum_ja_j\otimes x_j$（$x_j\in M$）の形に書ける。$\mu_I(z)=\sum_ja_jx_j=0$ なので、2 の $b_{jk},y_k$ をとると、$a_jb_{jk}\in I$ に注意して
$$ z=\sum_ja_j\otimes\sum_kb_{jk}y_k=\sum_k\Bigl(\sum_ja_jb_{jk}\Bigr)\otimes y_k=\sum_k0\otimes y_k=0 $$
である。従って $\mu_I$ は単射であり、$M$ は平坦である。$\square$

平坦なら、thm-ideal-flat-equational の後の注意のとおり捩れをもたない（平坦加群 の命題「平坦加群は捩れをもたない」でもある）。逆に $M$ が捩れをもたないとし、thm-ideal-flat-criterion の条件 3 を確かめる。有限生成イデアルは仮定により $I=aA$ と書ける。$a=0$ なら $I\otimes M=0$ である。$a\ne0$ なら、$A$ は整域なので $t\colon A\to I$、$r\mapsto ar$ は同型であり、$t\otimes\mathrm{id}_M\colon M\cong A\otimes M\to I\otimes M$ も同型である。合成 $\mu_I\circ(t\otimes\mathrm{id}_M)$ は $m\mapsto a\otimes m\mapsto am$、すなわち $a$ 倍写像であり、捩れをもたないので単射である。よって $\mu_I$ は単射である。$\square$

$\mu_{\mathfrak m}$ が同型 $\mathfrak m\otimes\mathfrak m\cong\mathfrak m^2$ であると仮定して矛盾を導く。同型の両辺に $-\otimes_Ak$（$k=A/\mathfrak m$）を施すと、$k$ ベクトル空間の同型
$$ (\mathfrak m\otimes_A\mathfrak m)\otimes_Ak\cong\mathfrak m^2\otimes_Ak $$
を得る。一般に $A$ 加群 $X$ と $k$ ベクトル空間 $W$ について $X\otimes_AW\cong(X\otimes_Ak)\otimes_kW$ であり（$W=k\otimes_kW$ と書いてテンソル積の結合則を使う）、$X\otimes_Ak\cong X/\mathfrak mX$ である。左辺は結合則により $\mathfrak m\otimes_A(\mathfrak m\otimes_Ak)$ であり、$W=\mathfrak m\otimes_Ak\cong\mathfrak m/\mathfrak m^2$ に上のことを当てると
$$ (\mathfrak m/\mathfrak m^2)\otimes_k(\mathfrak m/\mathfrak m^2) $$
と同型である。$\mathfrak m/\mathfrak m^2$ は $\bar x,\bar y$ を基底とする 2 次元の空間なので、左辺は 4 次元である。一方、右辺は $\mathfrak m^2/\mathfrak m^3$ であり、$\overline{x^2},\overline{xy},\overline{y^2}$ を基底とする 3 次元の空間である（$\mathfrak m^n$ は $n$ 次以上の項だけからなる多項式の全体なので、$\mathfrak m^2/\mathfrak m^3$ は 2 次斉次式の空間と同型である）。$4\ne3$ なので矛盾であり、$\mu_{\mathfrak m}$ は単射でない。thm-ideal-flat-criterion の 1 $\Rightarrow$ 2 により $\mathfrak m$ は平坦でない。$\square$