局所系

1. $x\in X$ における $M_X$ の茎は $M$ であり、芽 $s_x$ は値 $s(x)\in M$ に対応する。したがって集合として $\coprod_x(M_X)_x=X\times M$ である。位相を比べる。$s\in M_X(U)$ に対する基本開集合 $\{s_y\mid y\in U\}$ は、$M$ の各元 $m$ について $s^{-1}(m)$ が $U$ の開集合であるから、$\bigcup_{m\in M}s^{-1}(m)\times\{m\}$ であり、$X\times M$ の積位相（積位相）で開である。逆に積位相の基本開集合 $U\times\{m\}$ は、定数関数 $m\in M_X(U)$ に対する基本開集合である。よって二つの位相は一致する。
2. $\mathcal{F}|_U\cong M_U$ なら、同型な層のエタール空間は $U$ 上同相なので、1 により $\pi^{-1}(U)\cong U\times M$（$U$ 上の同相）であり、$U\times M=\bigcup_{m}U\times\{m\}$ は互いに交わらない開集合の和で各 $U\times\{m\}\to U$ は同相である。逆に $\pi^{-1}(U)=\bigcup_\alpha V_\alpha$ が主張の形なら、$V_\alpha\to U$ の逆写像 $\sigma_\alpha$ により $(y,\alpha)\mapsto\sigma_\alpha(y)$ は $U$ 上の同相 $U\times\{\alpha\}\to\pi^{-1}(U)$ を与え、$\pi^{-1}(U)$ は $\mathcal{F}|_U$ のエタール空間なので、層とエタール空間の圏同値により $\mathcal{F}|_U\cong M_U$（$M$ は添字集合）である。被覆写像は全射としているので（被覆空間の定義）、茎がすべて空でなければ前半の主張は被覆写像の定義そのものである。後半は、$p$ が局所同相なので $p$ の切断の層 $\mathcal{S}$ の $x$ での茎は $p^{-1}(x)$ と同一視され、そのエタール空間が $E'$ 自身であることから、前半により従う。$\square$

$E$ をエタール空間とする。$v,w\in\mathcal{L}_x$ に対し、$t\mapsto\tilde\gamma_v(t)+\tilde\gamma_w(t)$ は、加法 $E\times_XE\to E$ が連続なので $[0,1]$ から $E$ への連続写像であり、$\pi$ と合成すると $\gamma$、$t=0$ で $v+w$ である。持ち上げの一意性により、これは $\tilde\gamma_{v+w}$ に等しく、$t=1$ で $T_\gamma(v)+T_\gamma(w)=T_\gamma(v+w)$ を得る。スカラー倍 $E\to E$ も連続なので、同様に $T_\gamma(av)=aT_\gamma(v)$ である。全単射性は定義の直後に述べた。$\square$

1. lem-local-system-etale-covering により、エタール空間をとる関手は、茎が空でない局所定数層の圏から $X$ の被覆空間の圏 $\mathsf{Cov}(X)$ への圏同値である（層の射は $X$ 上の連続写像に対応し、これは被覆の射である）。$x$ 上のファイバーは $\mathcal{L}_x$ であり、def-local-system-monodromy のモノドロミー作用は、被覆空間の記事で定義された $\pi_1(X,x)$ のファイバーへの右作用（$e\cdot[\gamma]$ を $e$ を始点とする持ち上げの終点とする）と一致する。仮定のもとでファイバー関手 $\mathsf{Cov}(X)\to\mathsf{Set}^{\pi_1(X,x)}$ は圏同値である（被覆空間の記事の定理「被覆の圏と基本群が作用する集合」、Hat02 §1.3）。二つの圏同値の合成が主張の関手である。
2. まず、二つの局所定数層 $\mathcal{L},\mathcal{L}'$ の積 $\mathcal{L}\times\mathcal{L}'$ は局所定数である。実際 $\mathcal{L}|_U\cong M_U$、$\mathcal{L}'|_U\cong N_U$ なら、エタール空間は $U\times M$ と $U\times N$ の $U$ 上のファイバー積 $U\times(M\times N)$ であり、lem-local-system-etale-covering の 1 により $(\mathcal{L}\times\mathcal{L}')|_U\cong(M\times N)_U$ である。1 の圏同値は有限の極限(圏論)を保つので、$\mathcal{L}\times\mathcal{L}'$（茎 $\mathcal{L}_x\times\mathcal{L}'_x$）は対角作用をもつ積に、一点集合の定数層（終対象）は自明な作用をもつ一点集合に対応する。
   局所定数な $A$ 加群の層とは、局所定数な集合の層 $\mathcal{L}$ に、層の射 $+\colon\mathcal{L}\times\mathcal{L}\to\mathcal{L}$、$0\colon\{\ast\}_X\to\mathcal{L}$、$a\cdot\colon\mathcal{L}\to\mathcal{L}$（$a\in A$）で加群の公理（可換図式で表される等式）を満たすものを与えたものであり、射はこれらと可換な集合の層の射である。ただし、$A$ 加群の層が集合の層として局所定数なら $A$ 加群の層としても局所定数であることに注意する。集合の層の同型 $\mathcal{L}|_U\cong M_U$ で $U$ が連結なもの（$X$ は局所弧状連結）をとると、加法はエタール空間の上で $U$ 上の連続写像 $U\times(M\times M)\to U\times M$、$(y,m,m')\mapsto(y,\phi_y(m,m'))$ を与えるが、$U\times\{(m,m')\}$ は連結で $M$ は離散なので $\phi_y(m,m')$ は $y$ に依らない。スカラー倍も同様なので、$M$ に $\mathcal{L}_x$ の加群構造を入れれば上の同型は $A$ 加群の層の同型である。
   よって 1 により、$\mathcal{L}$ の加群構造は、$\pi_1(X,x)$ 集合 $\mathcal{L}_x$ 上の同変写像 $\mathcal{L}_x\times\mathcal{L}_x\to\mathcal{L}_x$、$\{\ast\}\to\mathcal{L}_x$、$\mathcal{L}_x\to\mathcal{L}_x$ で加群の公理を満たすもの、すなわち作用が $(v+w)\cdot g=v\cdot g+w\cdot g$、$(av)\cdot g=a(v\cdot g)$ を満たす $A$ 加群構造（$A$ 線型な右作用）に一対一に対応し、射も対応する。$\mathcal{L}|_U\cong M_U$ なら $U$ 上の茎は $M\cong\mathcal{L}_x$ なので、$\mathcal{L}_x$ が有限生成（$\cong A^r$）であることは $\mathcal{L}$ が局所系（階数 $r$）であることと同値である。
3. $X$ が単連結なら $\pi_1(X,x)$ は自明群なので、すべてのループは定値ループにホモトピックであり $X$ は半局所単連結である。1 により、茎が空でない局所定数層 $\mathcal{L}$ は、自明な作用をもつ集合 $\mathcal{L}_x$ に対応する定数層 $(\mathcal{L}_x)_X$ と同型である（定数層 $M_X$ のモノドロミー作用は、エタール空間 $X\times M$ の持ち上げが $t\mapsto(\gamma(t),m)$ なので自明である）。茎が空の点があれば、lem-local-system-etale-covering により茎が空である点の集合は開かつ閉で、$X$ が連結なので $\mathcal{L}$ は空集合の定数層である。$\square$

$\pi\colon E\to X$ をエタール空間とし、大域切断 $s$ を連続写像 $s\colon X\to E$（$\pi\circ s=\mathrm{id}$）と同一視する。
単射性。$s,s'\in\Gamma(X,\mathcal{L})$ が $s_x=s'_x$ を満たすとし、$Z:=\{y\in X\mid s(y)=s'(y)\}$ とおく。$Z$ は開である（芽が一致すれば近傍で一致する）。$Z$ は閉でもある。実際 $y\notin Z$ なら、$y$ の開近傍 $U$ で $\pi^{-1}(U)$ がシートに分かれるものをとると、$s(y)\ne s'(y)$ は異なるシート $V_\alpha$、$V_\beta$ に属し、$s$、$s'$ の連続性により $y$ の近傍で $s$ は $V_\alpha$ に、$s'$ は $V_\beta$ に値をとるから、その近傍は $Z$ と交わらない。$X$ は連結で $x\in Z$ なので $Z=X$、すなわち $s=s'$ である。
像が不変部分に含まれること。$s$ を大域切断、$\gamma$ を $x$ を基点とするループとすると、$t\mapsto s(\gamma(t))$ は $\gamma$ の持ち上げで始点が $s_x$ なので、一意性により $\tilde\gamma_{s_x}$ に等しく、$s_x\cdot[\gamma]=s(\gamma(1))=s_x$ である。
不変な元が大域切断から来ること。$v\in\mathcal{L}_x$ を不変な元とする。$y\in X$ に対し $x$ から $y$ への道 $\gamma$ をとり（弧状連結性）、$s(y):=T_\gamma(v)$ とおく。$\gamma'$ を別の道とすると $\gamma\cdot\bar{\gamma'}$ は $x$ を基点とするループで、$v=v\cdot[\gamma\cdot\bar{\gamma'}]=T_{\bar{\gamma'}}(T_\gamma(v))$、したがって $T_{\gamma'}(v)=T_\gamma(v)$ であり、$s(y)$ は道の取り方に依らない。$s$ の連続性を示す。$y\in X$ の弧状連結な開近傍 $U$ で $\pi^{-1}(U)$ がシートに分かれるものをとり（局所弧状連結性）、$s(y)$ を含むシートを $V$、$\sigma\colon U\to V$ を $\pi|_V$ の逆写像とする。$z\in U$ に対し $U$ 内の $y$ から $z$ への道 $\delta$ をとると、$t\mapsto\sigma(\delta(t))$ は $\delta$ の持ち上げで始点が $s(y)$ なので $T_\delta(s(y))=\sigma(z)$ であり、$s(z)=T_{\gamma\cdot\delta}(v)=T_\delta(T_\gamma(v))=T_\delta(s(y))=\sigma(z)$ である。よって $s|_U=\sigma$ は連続であり、$s$ は大域切断で $s_x=T_{c_x}(v)=v$ である。$\square$

1. 条件は局所的なので $\mathcal{L}_a$ は $\mathcal{O}_X$ の部分層であり、$\mathbb{C}$ 線型結合で閉じているから $\mathbb{C}$ ベクトル空間の層である。$U\subset X$ を単連結な開集合（たとえば $X$ に含まれる開円板（開円板）、または $X$ から原点を端点とする半直線を除いた領域）とし、$U$ 上の $\log z$ の分枝 $\ell$ を固定する（解析接続により存在し、$U$ 上の分枝はすべて $\ell+2\pi ik$、$k\in\mathbb{Z}$ である）。開集合 $V\subset U$ 上の局所定数関数 $c$ に $c\exp(a\ell)|_V\in\mathcal{L}_a(V)$ を対応させる射 $\mathbb{C}_U\to\mathcal{L}_a|_U$ が同型であることを示す。$f\in\mathcal{L}_a(V)$ とすると、$V$ の各点の近傍で $f=c\exp(a\ell')$、$\ell'=\ell+2\pi ik$ なので、$g:=f\exp(-a\ell)$ はその近傍で定数 $c\,e^{2\pi iak}$、すなわち $V$ 上の局所定数関数であり、$f=g\exp(a\ell)$ である。$\exp(a\ell)$ は零点をもたないので $g$ は $f$ から一意に決まる。よって $\mathcal{L}_a|_U\cong\mathbb{C}_U$ であり、単連結な開集合は $X$ の開基をなすので、$\mathcal{L}_a$ は階数 $1$ の局所系である。
2. $\pi_1(\mathbb{C}^\times,1)\cong\mathbb{Z}$ が $[\gamma]$ で生成されることは基本群の記事の円周の基本群の定理と、$\mathbb{C}^\times$ が単位円周（単位円周）を変位レトラクト（変位レトラクト）にもつことによる。$\mathcal{L}_a$ のエタール空間は $\mathcal{O}_X$ のエタール空間（正則関数の芽の空間）の部分空間であり、道 $\gamma$ の持ち上げとは各 $\gamma(\theta)$ における芽の連続な族、すなわち芽の $\gamma$ に沿う解析接続である。$(\mathcal{L}_a)_1=\mathbb{C}\,\exp(a\ell_0)$（$\ell_0$ は $\ell_0(1)=0$ なる分枝の芽）の元 $\exp(a\ell_0)$ を $\gamma$ に沿って解析接続すると、$\ell_0$ の解析接続は $\gamma(\theta)$ で値 $i\theta$ をとる分枝の芽であり、$\theta=2\pi$ で点 $1$ に戻ったときの芽は $\ell_0+2\pi i$ である。したがって $\exp(a\ell_0)$ は $e^{2\pi ia}\exp(a\ell_0)$ に移り、$T_\gamma$ は $e^{2\pi ia}$ 倍である。
3. thm-local-system-representation により、$\mathbb{C}^\times$ 上の階数 $1$ の局所系の同型類は $\pi_1\cong\mathbb{Z}$ の $1$ 次元表現、すなわち生成元の像 $\lambda\in\mathbb{C}^\times$ で決まる。$\mathcal{L}_a$ については $\lambda=e^{2\pi ia}$ なので、$\mathcal{L}_a\cong\mathcal{L}_b$ と $a-b\in\mathbb{Z}$ とは同値である。$\mathcal{L}_0=\mathbb{C}_X$ なので定数層との同型の判定が従い、$a\notin\mathbb{Z}$ なら不変部分は $0$ で、prop-local-system-global-sections により $\Gamma(X,\mathcal{L}_a)=0$ である（$z^a$ は $\mathbb{C}^\times$ 上で一価でない）。$\square$

$U\subset X$ を被覆近傍とし、$p^{-1}(U)=\bigcup_{i=1}^nV_i$（互いに交わらない開集合、$p|_{V_i}\colon V_i\to U$ は同相）とする。開集合 $W\subset U$ に対し $p^{-1}(W)=\bigcup_i(V_i\cap p^{-1}(W))$ は互いに交わらない開集合の和なので、
$$ (p_*A_E)(W)=A_E(p^{-1}(W))=\prod_{i=1}^nA_E(V_i\cap p^{-1}(W))\cong\prod_{i=1}^nA_U(W)=(A^n)_U(W) $$
であり（$V_i\cap p^{-1}(W)\to W$ は同相なので、その上の局所定数関数は $W$ 上の局所定数関数と同一視される）、この同型は制限写像と両立する。よって $(p_*A_E)|_U\cong(A^n)_U$ であり、$p_*A_E$ は階数 $n$ の局所系である。同じ計算により $x\in U$ での茎は $\prod_i(A_E)_{\sigma_i(x)}=\bigoplus_{e\in p^{-1}(x)}A\,e$ である。ここで $\sigma_i$ は $p|_{V_i}$ の逆写像で、$e=\sigma_i(x)$ に対応する基底元は、$V_i$ 上 $1$、他の $V_j$ 上 $0$ となる切断 $\chi_i\in(p_*A_E)(U)$ の芽である。
モノドロミーを計算する。$x$ を基点とするループ $\gamma$ に対し、$0=t_0< t_1<\dots< t_m=1$ を各 $\gamma([t_{k-1},t_k])$ が被覆近傍 $U_k$ に含まれるようにとる（Lebesgue 数）。$U_k$ 上では $p_*A_E\cong(A^n)_{U_k}$ で平行移動は上の同一視のもとで恒等写像だから、$\gamma|_{[t_{k-1},t_k]}$ に沿う平行移動は、基底元 $e\in p^{-1}(\gamma(t_{k-1}))$ を、$e$ を含む $U_k$ 上のシートと $\gamma(t_k)$ の交点、すなわち $e$ を始点とする $\gamma|_{[t_{k-1},t_k]}$ の持ち上げの終点に対応する基底元に送る。$k=1,\dots,m$ について合成すると、$T_\gamma(e)$ は $e$ を始点とする $\gamma$ の持ち上げの終点 $e\cdot[\gamma]$ に対応する基底元であり、$T_\gamma$ はファイバーへの作用から誘導される置換で基底を並べ替える写像である。$\square$

$x\in X$ を固定し、$Z:=\{y\in X\mid\mathcal{L}_y\cong\mathcal{L}_x\}$ とおく。$y\in Z$ なら、$y$ の開近傍 $U$ で $\mathcal{L}|_U\cong M_U$ となるものをとると $U$ 上の茎はすべて $M\cong\mathcal{L}_y\cong\mathcal{L}_x$ なので $U\subset Z$ であり、$Z$ は開である。$y\notin Z$ についても同じ $U$ をとれば $U\cap Z=\emptyset$ なので $Z$ は閉である。よって $Z$ は $x$ を含む開かつ閉集合であり、$x$ の連結成分を含む。$\square$

いずれも局所的な主張なので、$X$ の開集合 $U$ 上で $\mathcal{L}|_U\cong M_U$、$\mathcal{L}'|_U\cong N_U$（$M,N$ は有限生成 $A$ 加群）としてよい。

1. 逆像はエタール空間の底変換で与えられ（God58 II §1.12。$f^{-1}\mathcal{F}$ のエタール空間は $Y\times_XE$）、$U\times M$ の $f^{-1}(U)$ への底変換は $f^{-1}(U)\times M$ なので、lem-local-system-etale-covering の 1 により $(f^{-1}\mathcal{L})|_{f^{-1}(U)}\cong M_{f^{-1}(U)}$ であり、茎は $(f^{-1}\mathcal{L})_y=\mathcal{L}_{f(y)}$ である。$Y$ の道 $\delta$ の $Y\times_XE$ への持ち上げは $t\mapsto(\delta(t),\tilde{(f\circ\delta)}(t))$ なので、$\delta$ に沿う平行移動は $f\circ\delta$ に沿う平行移動であり、モノドロミー作用の主張が従う。
2. $M_U\otimes_{A_U}N_U$ は前層 $V\mapsto M_U(V)\otimes_AN_U(V)$ の層化で、$x$ での茎は $M\otimes_AN$ である。自然な射 $(M\otimes_AN)_U\to M_U\otimes_{A_U}N_U$ は各茎で同型なので層の同型であり、有限生成加群のテンソル積は有限生成なので、テンソル積は局所系である。$U$ 上の同一視のもとで平行移動は $M\otimes N$ の恒等写像なので、prf-local-system-pushforward-covering と同じく道を分割して $T_\gamma(v\otimes w)=T_\gamma(v)\otimes T_\gamma(w)$ が従う。
3. $\mathcal{H}om_{A_U}(M_U,N_U)(V)=\operatorname{Hom}_{A_V}(M_V,N_V)$ であり、$V$ が連結なら射 $M_V\to N_V$ は定数切断 $m\in M$ の像で決まる $A$ 線型写像 $M\to N$ に一対一に対応する（両立性は制限で保たれる）ので、$\mathcal{H}om(M_U,N_U)|_V\cong\operatorname{Hom}_A(M,N)_V$ である。$U$ の連結な開集合は開基をなすから $\mathcal{H}om(\mathcal{L},\mathcal{L}')$ は局所定数であり、$A$ が Noether なら $\operatorname{Hom}_A(M,N)$ は有限生成である（$M$ の生成元 $m_1,\dots,m_k$ による単射 $\operatorname{Hom}_A(M,N)\to N^k$ と $N^k$ の Noether 性）。モノドロミーの式は、$U$ 上の同一視で平行移動が恒等写像であることを分割した道に沿って合成すると、$\varphi$ が $v\mapsto T_\gamma(\varphi(T_\gamma^{-1}v))$ に運ばれることによる。
4. $A$ が体なら $M,N$ は有限次元ベクトル空間で、3 により $\varphi|_U$ は連結な $U$ 上で線型写像 $\phi\colon M\to N$ で与えられ、$\ker(\varphi|_U)=(\ker\phi)_U$、$\operatorname{im}(\varphi|_U)=(\operatorname{im}\phi)_U$、$\operatorname{coker}(\varphi|_U)=(\operatorname{coker}\phi)_U$ である（定数層からの自然な射が各茎で同型になる）。$\ker\phi$ などは有限次元なので核・像・余核は局所系であり、$\mathsf{LocSys}(X,A)$ は $A_X$ 加群の層のアーベル圏の充満部分圏で核・余核・有限直和で閉じているのでアーベル圏である。$\square$

$S^1$ を二つの開弧 $U_1,U_2$ で覆い、$U_1\cap U_2$ が二つの開弧 $W_1,W_2$ の非交和になるようにする。$U_1,U_2,W_1,W_2$ は可縮（可縮空間）で局所可縮なので、局所系はそれらの上で定数層と同型であり（thm-local-system-representation の 3）、可縮な多様体上の定数層の高次コホモロジーは消える（Bre97 III §1、God58 II §5.12：パラコンパクトで局所可縮な空間の定数層のコホモロジーは特異コホモロジーと一致する）。したがって $\{U_1,U_2\}$ は $\mathcal{L}$ の Leray 被覆で、Čechコホモロジー（Čechコホモロジー）が層コホモロジーを計算する（God58 II §5.4）。Čech 複体は
$$ \mathcal{L}(U_1)\oplus\mathcal{L}(U_2)\xrightarrow{\ d\ }\mathcal{L}(W_1)\oplus\mathcal{L}(W_2),\qquad d(s_1,s_2)=(s_1|_{W_1}-s_2|_{W_1},\ s_1|_{W_2}-s_2|_{W_2}) $$
で、三重の交わりが無いので $2$ 次以上は $0$ である。$x\in W_1$、$x'\in W_2$ とし、$V:=\mathcal{L}_x$、$\alpha$ を $U_1$ 内の、$\beta$ を $U_2$ 内の $x$ から $x'$ への道とする。$U_1$、$U_2$、$W_1$、$W_2$ は連結なので、prop-local-system-global-sections により各切断はその上の一点の芽で決まり、$s\in\mathcal{L}(U_i)$、$\mathcal{L}(W_1)$ には $x$ での芽 $s_x\in V$ を、$s\in\mathcal{L}(W_2)$ には $T_{\bar\alpha}(s_{x'})\in V$ を対応させて、四つの切断の加群をすべて $V$ と同一視する。切断の芽は道に沿う平行移動で移り合う（prf-local-system-global-sections）ので、$s_1\in\mathcal{L}(U_1)$ の $W_2$ への制限は $T_{\bar\alpha}T_\alpha(s_1)=s_1$ に、$s_2\in\mathcal{L}(U_2)$ の $W_2$ への制限は $T_{\bar\alpha}T_\beta(s_2)=T_{\beta\cdot\bar\alpha}(s_2)$ に対応する。$\beta\cdot\bar\alpha$ は $S^1$ を一周するループなので、生成元 $[\gamma]$ の向きをこれに合わせれば $T_{\beta\cdot\bar\alpha}=T$ であり、$d(s_1,s_2)=(s_1-s_2,\ s_1-Ts_2)$ となる（逆向きなら $T$ を $T^{-1}$ に取り替えるだけで、$\ker(T-1)$ と $\operatorname{coker}(T-1)$ は変わらない）。核は $s_1=s_2$、$Ts_2=s_2$ なので $\ker(T-1)$ である。余核を求める。$(u,w)\in V\oplus V$ に対し $s_2:=s_1-u$ とおくと $d(s_1,s_2)=(u,\ s_1-Ts_1+Tu)$ であり、$s_1$ を動かすと第 2 成分は $Tu+(1-T)V$ の全体を動く。よって余核は $V/(T-1)V$ に同型で、同型は $(u,w)\mapsto w-Tu$ で与えられる。$\mathbb{C}^\times$ は $S^1$ を変位レトラクトにもち、$\mathcal{L}_a$ は $S^1$ への制限のレトラクションによる逆像と同型なので（thm-local-system-representation によりモノドロミーが等しい局所系は同型）、ホモトピー不変性（Bre97 II §11）により $H^i(\mathbb{C}^\times,\mathcal{L}_a)\cong H^i(S^1,\mathcal{L}_a|_{S^1})$ であり、$T=e^{2\pi ia}$ なので主張が従う。$\square$