Coxeter複体

$\Delta$ の任意の頂点はある単体に含まれ、部屋複体の条件 1 によりある部屋に含まれるので、$\Delta$ の任意の部屋 $D$ の各頂点で $f_{1}$ と $f_{2}$ が一致することを示せばよい。$C=C_{0},C_{1},\dots,C_{n}=D$ を回廊とし、$C_{i}$ の各頂点で $f_{1}=f_{2}$ であると仮定して $C_{i+1}$ についても示す。
階数が等しいので、部屋複体の射は各部屋の頂点集合を部屋の頂点集合へ 全単射 に写す（部屋の階数 $r$ の頂点集合を階数 $r$ の頂点集合に写す全射なので単射）。$F:=C_{i}\cap C_{i+1}$ は $C_{i}$ と $C_{i+1}$ の共通の切子面であり、$C_{i+1}=F\cup\{v\}$（$v\notin C_{i}$）と書ける。帰納法の仮定により $f_{1}(F)=f_{2}(F)=:F'$ であり、$F'$ は部屋 $f_{1}(C_{i})=f_{2}(C_{i})$ の切子面（$f_{1}$ が $C_{i}$ 上単射なので階数 $r-1$）、すなわち $\Sigma$ の壁面である。$f_{1}(C_{i+1})=F'\cup\{f_{1}(v)\}$ は $F'$ を含む部屋であり、非退化性により $f_{1}(C_{i+1})\neq f_{1}(C_{i})$ である。同様に $f_{2}(C_{i+1})=F'\cup\{f_{2}(v)\}$ は $F'$ を含み $f_{2}(C_{i})=f_{1}(C_{i})$ と異なる部屋である。$\Sigma$ は薄いので $F'$ を含む部屋は $f_{1}(C_{i})$ ともう一つの二つだけであり、$f_{1}(C_{i+1})=f_{2}(C_{i+1})$ である。よって $f_{1}(v)=f_{2}(v)$ であり、$C_{i+1}$ の各頂点で $f_{1}=f_{2}$ である。$\square$

1 は定義から明らかである（$A\cap B$ は $A$ の面なので単体であり、$A$ の面はすべて単体である）。
2 を示す。(b) により $P$ は最小元 $0$ を持つ（任意の $A$ に対し $P_{\le A}$ の最小元があり、(a) により二つの元の最大下界が存在するので、それらは一致する）。$P_{\le A}\cong\mathcal{P}(\{1,\dots,r\})$ において原子は一元集合に対応するので $V(A)$ は $r$ 個の元からなる有限集合であり、$\mathcal{P}(\{1,\dots,r\})$ の各元がその下にある一元集合の合併として復元されることから、$P_{\le A}$ の元 $B$ は $V(B)\subset V(A)$ から一意に定まり、$V(A)$ の任意の部分集合 $T$ に対し $V(B)=T$ となる $B\le A$ が存在する。
$A\le B\iff V(A)\subset V(B)$ を示す。$A\le B$ なら $V(A)\subset V(B)$ は明らかである。逆に $V(A)\subset V(B)$ とし、$C:=A\wedge B$ とおく。$C\le A$、$C\le B$ であり、$V(C)=V(A)\cap V(B)=V(A)$ である（原子 $v$ が $v\le A$ かつ $v\le B$ なら $v\le C$）。$C$ と $A$ はともに $P_{\le A}$ の元で $V(C)=V(A)$ なので、上で述べた一意性により $C=A$、すなわち $A\le B$ である。とくに $A\mapsto V(A)$ は単射であり、順序を両方向に保つ。
$\Delta(P)$ が単体複体であること：原子 $v$ に対し $V(v)=\{v\}$ なので条件 1 が成り立つ。$V(A)\in\Delta(P)$ と $T\subset V(A)$ に対し、$V(B)=T$ となる $B\le A$ が存在するので $T\in\Delta(P)$ であり、条件 2 が成り立つ。$\square$

1. $wW_{I}=w'W_{J}$ なら $w'\in wW_{I}$ より $w^{-1}w'\in W_{I}$ であり、$w'W_{J}=wW_{I}=w'W_{I}$ から $W_{J}=W_{I}$、よって $J=W_{J}\cap S=W_{I}\cap S=I$ である。
2. $wW_{I}\supset w'W_{J}$ なら $w'\in wW_{I}$ より $w^{-1}w'\in W_{I}$ であり、$w'W_{J}\subset wW_{I}=w'W_{I}$ から $W_{J}\subset W_{I}$、よって $J\subset I$ である。逆に $J\subset I$ かつ $w^{-1}w'\in W_{I}$ なら $w'W_{J}\subset w'W_{I}=wW_{I}$ である。
3. $u\in W_{K}\cap W_{K'}=W_{K\cap K'}$ なので共通部分について閉じている。$u$ の簡約表示に現れる文字の集合を $K_{0}$ とすると $u\in W_{K_{0}}$ であり、$u\in W_{K}$ ならば $u$ の簡約表示は $K$ の文字だけからなるので $K_{0}\subset K$ である。よって $K_{0}$ が最小元である。$\square$

1. (a)：$A=wW_{I}$、$B=w'W_{J}$ とする。$K\subset S$ が $I\cup J\subset K$ かつ $w^{-1}w'\in W_{K}$ を満たすことは、lem-coxeter-complex-coset の 2 により $wW_{K}\supset A$ かつ $wW_{K}\supset B$（$w'W_{J}\subset wW_{K}$ は $J\subset K$ かつ $w^{-1}w'\in W_{K}$ と同値）、すなわち $wW_{K}$ が $A,B$ の共通の下界（逆向きの順序で）であることと同値である。$A,B$ の任意の下界 $uW_{K}$ は $A\subset uW_{K}$ より $uW_{K}=wW_{K}$ と書けるので、下界は $wW_{K}$ の形のものに限る。lem-coxeter-complex-coset の 3 により、条件を満たす $K$ の全体は共通部分について閉じており（$I\cup J\subset K$ も共通部分で保たれる）、最小元 $K_{0}=I\cup J\cup K(w^{-1}w')$ を持つ。$wW_{K_{0}}$ は $A,B$ の下界であり、任意の下界 $wW_{K}$ に対し $K_{0}\subset K$ より $wW_{K_{0}}\subset wW_{K}$、すなわち逆向きの順序で $wW_{K}\le wW_{K_{0}}$ である。よって $wW_{K_{0}}$ が最大下界である。
   (b)：$A=wW_{I}$ の下方区間は、逆向きの順序で $A$ 以下の元、すなわち $wW_{I}$ を含む剰余類全体である。lem-coxeter-complex-coset の 2 により、それらは $wW_{K}$（$I\subset K\subset S$）の形の剰余類であり、$K$ から一意に定まる（同 1）。$wW_{K}\le wW_{K'}$（逆向きの順序）は $K\supset K'$ と同値なので、$K\mapsto S\setminus K$ により下方区間は $S\setminus I$ の部分集合全体（包含関係）と順序同型である。$|S\setminus I|=n-|I|$ なので $wW_{I}$ の階数は $n-|I|$ であり、原子（階数 $1$ の元）は $|I|=n-1$、すなわち $wW_{S\setminus\{s\}}$ の形の剰余類である。
2. 階数が最大の $n$ になるのは $I=\emptyset$ のときであり、極大元は $\{w\}$ である（$\{w\}$ より真に大きい元、すなわち $\{w\}$ に真に含まれる剰余類は存在しない）。任意の単体 $wW_{I}$ に対し $\{w\}\subset wW_{I}$ なので、逆向きの順序で $wW_{I}\le\{w\}$ であり、任意の単体はある部屋に含まれる。切子面は階数 $n-1$ の面なので、部屋 $\{w\}$ の切子面は $wW_{\{s\}}=\{w,ws\}$（$s\in S$）である。二つの部屋 $\{w\}$、$\{w'\}$ の最大下界は 1 により $wW_{K_{0}}$、$K_{0}=K(w^{-1}w')$ であり、これが両方の切子面であることは $|K_{0}|=1$、すなわち $w^{-1}w'=s\in S$ と同値である。
3. 薄さ：壁面 $wW_{\{s\}}=\{w,ws\}$ を切子面に持つ部屋は、それに含まれる一点集合 $\{w\}$ と $\{ws\}$ のちょうど二つである（$w\neq ws$）。回廊：2 により $\{w_{1}s_{1}\cdots s_{i}\}$ と $\{w_{1}s_{1}\cdots s_{i+1}\}$ は隣接するので、主張の列は長さ $h$ の回廊である。逆に $\{w_{1}\}=\{u_{0}\},\{u_{1}\},\dots,\{u_{h}\}=\{w_{2}\}$ を回廊とすると、2 により $u_{i+1}=u_{i}s_{i+1}$（$s_{i+1}\in S$）なので $w_{1}^{-1}w_{2}=s_{1}\cdots s_{h}$ であり、回廊は表示に対応する。よって回廊の長さの最小値は $\ell(w_{1}^{-1}w_{2})$ であり、$\Sigma(W,S)$ は連結（任意の二部屋が回廊で結ばれる）で、部屋複体である。$\square$

$uwW_{I}$ は剰余類なので $\Sigma(W,S)$ の元であり、$1\cdot A=A$、$u\cdot(u'\cdot A)=(uu')\cdot A$ である。包含関係は左からの掛け算で保たれ、逆元も同様なので各 $u$ は順序同型である。型は $I$ で決まり $uwW_{I}$ の型も $S\setminus I$ なので型は保たれる。$u\cdot\{w\}=\{uw\}$ なので、部屋 $\{w\}$ を $\{w'\}$ に写す $u$ は $u=w'w^{-1}$ ただ一つであり、作用は単純推移的である。$uwW_{I}=wW_{I}$ は $w^{-1}uw\in W_{I}$、すなわち $u\in wW_{I}w^{-1}$ と同値である。$\square$

1 は thm-coxeter-complex-chamber の 3 と $\ell((uw_{1})^{-1}(uw_{2}))=\ell(w_{1}^{-1}w_{2})$ から従う。
2. $W$ は有限なので長さ最大の元 $w_{0}$ が存在する。一意性を示す。$w_{0}$ が長さ最大なら任意の $s\in S$ に対し $\ell(w_{0}s)<\ell(w_{0})$ であり、Coxeter系 の記事の定理（長さと正負の判定）により $w_{0}(e_{s})<0$（$s\in S$）、よって $w_{0}$ は幾何学的表現においてすべての正ルートを負ルートに写す（正ルートは $e_{s}$ たちの $0$ 以上の係数の線形結合であり、$w_{0}$ は 線形写像 だから）。$w_{0}$ はルートの集合 $R=R^{+}\sqcup R^{-}$ の全単射で $w_{0}(R^{+})\subset R^{-}$、$w_{0}(R^{-})=-w_{0}(R^{+})\subset R^{+}$ なので $w_{0}(R^{+})=R^{-}$、$w_{0}^{-1}(R^{-})=R^{+}$ である。$w_{0}'$ も長さ最大なら同様に $w_{0}'(R^{+})=R^{-}$ であり、$w_{0}^{-1}w_{0}'$ はすべての正ルートを正ルートに写すので、同記事の命題（長さは負に写す正ルートの個数）により長さ $0$、すなわち $w_{0}=w_{0}'$ である。1 により $\{w\}$ から最も遠い部屋は $\ell(w^{-1}w')$ が最大の $\{w'\}$、すなわち $w^{-1}w'=w_{0}$ となる $\{ww_{0}\}$ ただ一つである。$\square$