双圏

同義語：bicategory弱2圏weak 2-category

概要

前提知識: 2圏, モノイダル圏, 自然変換, 引き戻し(圏論)

双圏（bicategory）とは、対象・1射・2射をもち、1射の合成が結合法則と単位法則を等式としてではなく、指定された可逆な 2射を除いて満たす構造のことである。2圏では $(hg)f=h(gf)$ が等式として成り立つが、双圏ではその代わりに可逆な 2射 $\mathsf a_{h,g,f}\colon(hg)f\Rightarrow h(gf)$ が与えられ、これにモノイダル圏と同じ五角形と三角形の等式を課す。対象が 1 つの双圏はモノイダル圏にほかならない。
この緩め方が要るのは、自然な例の多くで合成が同型を除いてしか決まらないからである。環と両側加群では合成がテンソル積であり、$(A\otimes B)\otimes C$ と $A\otimes(B\otimes C)$ は集合として異なる。引き戻しをもつ圏のスパンでは合成が引き戻しで、引き戻しは同型を除いてしか決まらない。この記事では、双圏の定義と主な例を述べ、スパンが双圏をなすことを証明する。さらに、双圏の間の擬関手を導入し、擬関手が同値を同値に写すことから、両側加群の双圏の中の同値が環の森田同値を与えることを示す。最後に、どの双圏もある 2圏と双同値になるというコヒーレンス定理を述べる。

定義

双圏

双圏 $\mathcal B$ は次のデータからなる。

対象の集まり。
対象の組 $(a,b)$ ごとの圏 $\mathcal B(a,b)$。その対象 $f\colon a\to b$ を 1射、射 $\theta\colon f\Rightarrow f'$ を 2射、$\mathcal B(a,b)$ の中の合成 $\theta'\cdot\theta$ を 垂直合成 という。
対象の 3 つ組 $(a,b,c)$ ごとの関手 $\circ\colon\mathcal B(b,c)\times\mathcal B(a,b)\to\mathcal B(a,c)$。1射については $(g,f)\mapsto gf$、2射については $(\kappa,\theta)\mapsto\kappa*\theta$ と書き、水平合成 という。
対象 $a$ ごとの 1射 $1_a\colon a\to a$（恒等 1射）。
1射 $f\colon a\to b$、$g\colon b\to c$、$h\colon c\to d$ ごとの可逆な 2射
$$ \mathsf a_{h,g,f}\colon(hg)f\Rightarrow h(gf),\qquad\mathsf l_f\colon1_bf\Rightarrow f,\qquad\mathsf r_f\colon f1_a\Rightarrow f $$
で、$f,g,h$ について自然なもの（結合 2射 と左右の 単位 2射）。
これらは、1射 $f\colon a\to b$、$g\colon b\to c$、$h\colon c\to d$、$k\colon d\to e$ について 五角形の等式
$$ \mathsf a_{k,h,gf}\cdot\mathsf a_{kh,g,f}=(k\,\mathsf a_{h,g,f})\cdot\mathsf a_{k,hg,f}\cdot(\mathsf a_{k,h,g}\,f) $$
と、三角形の等式 $(g\,\mathsf l_f)\cdot\mathsf a_{g,1_b,f}=\mathsf r_g\,f$ を満たすとする。ここで $k\,\theta:=1_k*\theta$、$\theta\,f:=\theta*1_f$ は ひげ付け である。

$\mathsf a,\mathsf l,\mathsf r$ がすべて恒等 2射である双圏が 2圏である。$\mathsf a$ の自然性は、2射 $\theta\colon f\Rightarrow f'$、$\kappa\colon g\Rightarrow g'$、$\mu\colon h\Rightarrow h'$ について $\mathsf a_{h',g',f'}\cdot((\mu*\kappa)*\theta)=(\mu*(\kappa*\theta))\cdot\mathsf a_{h,g,f}$ が成り立つことである。水平合成が関手であることは、2圏の場合と同じく交換法則 $(\kappa'\cdot\kappa)*(\theta'\cdot\theta)=(\kappa'*\theta')\cdot(\kappa*\theta)$ と $1_g*1_f=1_{gf}$ を意味する。この定義は JY20 定義 2.1.3（pp. 25–26）と同じで、MacL98 §XII.6（pp. 281–283）では結合 2射を $h(gf)\Rightarrow(hg)f$ の向きにとっている。

Hom 圏はモノイダル圏

双圏 $\mathcal B$ の各対象 $a$ について、$\mathcal B(a,a)$ は、合成 $\circ$ をテンソル積、$1_a$ を単位対象、$\mathsf a,\mathsf l,\mathsf r$ を結合同型と左右の単位同型とするモノイダル圏である。
逆に、モノイダル圏 $(\mathcal M,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)$ から、対象を 1 つとし、その Hom 圏を $\mathcal M$、合成を $\otimes$、恒等 1射を $I$、$\mathsf a,\mathsf l,\mathsf r$ を $\alpha,\lambda,\rho$ とする双圏が得られる。1 と 2 は、対象が 1 つの双圏とモノイダル圏の一対一の対応を与える。
とくに、どの対象 $a$ についても $\mathsf l_{1_a}=\mathsf r_{1_a}$ である。

$g\otimes f:=gf$ とおくと、合成関手は双関手 $\mathcal B(a,a)\times\mathcal B(a,a)\to\mathcal B(a,a)$ である。五角形の等式で $(k,h,g,f)$ を $(W,X,Y,Z)$ と読むと
$$ \alpha_{W,X,Y\otimes Z}\circ\alpha_{W\otimes X,Y,Z}=(1_W\otimes\alpha_{X,Y,Z})\circ\alpha_{W,X\otimes Y,Z}\circ(\alpha_{W,X,Y}\otimes1_Z) $$
となり、モノイダル圏の五角形公理と同じ式である。三角形の等式も同じく三角形公理 $(1_X\otimes\lambda_Y)\circ\alpha_{X,I,Y}=\rho_X\otimes1_Y$ になる。よって 1 が成り立つ。2 は同じ読みかえを逆にたどればよい。1 と 2 の構成が互いに逆であることは、データをそのまま写していることから分かる。3 は 1 とモノイダル圏の命題「Kelly の等式」の第 2 式 $\lambda_I=\rho_I$ から従う。$\square$

対象が 2 つ以上あるときも、$\mathsf l_{gf}\cdot\mathsf a_{1,g,f}=\mathsf l_g\,f$ などモノイダル圏と同じ形の等式が成り立つ（JY20 命題 2.2.4、p. 37。この記事では証明しない）。3 の等式は同命題 2.2.6（p. 38）にもある。

例

双圏の例

2圏：2圏は、$\mathsf a,\mathsf l,\mathsf r$ を恒等 2射とする双圏である。圏 $\mathcal C$ は、2射が恒等 2射だけの双圏とみなせる。
モノイダル圏：prop-bic-hom-monoidal の 2 により、モノイダル圏は対象が 1 つの双圏である。
両側加群：環（単位元をもつ）を対象とし、$R$ から $S$ への 1射を $(R,S)$-両側加群（左 $R$ 加群かつ右 $S$ 加群で、作用が可換なもの）、2射を両側加群の準同型とする。$A\colon R\to S$、$B\colon S\to T$ の合成を $BA:=A\otimes_SB$（$(R,T)$-両側加群）、恒等 1射 $1_R$ を $R$ 自身とする。$C\colon T\to U$ について、結合 2射 $\mathsf a_{C,B,A}\colon(CB)A=A\otimes_S(B\otimes_TC)\Rightarrow C(BA)=(A\otimes_SB)\otimes_TC$ は $a\otimes(b\otimes c)\mapsto(a\otimes b)\otimes c$、単位 2射 $\mathsf l_A\colon1_SA=A\otimes_SS\Rightarrow A$ は $a\otimes s\mapsto as$、$\mathsf r_A\colon A1_R=R\otimes_RA\Rightarrow A$ は $r\otimes a\mapsto ra$ である。テンソル積は元 $a\otimes b$ の形の和で生成されるので、五角形と三角形の等式は、両辺がこの形の元を同じ元に写すことから従う。この双圏を $\mathbf{Bimod}$ と書く（JY20 例 2.1.26、p. 32）。$(A\otimes_SB)\otimes_TC$ と $A\otimes_S(B\otimes_TC)$ は同型だが集合として異なるので、$\mathbf{Bimod}$ は 2圏ではない。
スパン：引き戻しをもつ圏のスパンは双圏をなす（prop-bic-span）。

両側加群の左右の向きの規約は文献によって異なる。2圏の例では $R$ から $S$ への 1射を $(S,R)$-両側加群とし、合成を $B\otimes_SA$ と書いている。どちらの規約でも双圏になる。この記事では、次節の擬関手が右加群の圏に共変に働くように上の規約をとる。
引き戻しをもつ圏 $\mathcal C$ を考え、$\mathcal C$ の余スパン $x\xrightarrow{t}b\xleftarrow{p}y$ ごとに引き戻し $x\times_by$ と射影 $\pi_1,\pi_2$ を一つずつ選んでおく。対象 $a,b$ の間の スパン $f=(x;s,t)\colon a\to b$ とは、対象 $x$ と射 $s\colon x\to a$、$t\colon x\to b$ の組である。

スパンの双圏

引き戻しをもつ圏 $\mathcal C$ について、次のデータは双圏 $\mathbf{Span}(\mathcal C)$ をなす。

対象は $\mathcal C$ の対象、$a$ から $b$ への 1射はスパン $(x;s,t)$ である。
$(x;s,t)$ から $(x';s',t')$ への 2射は、$s'\theta=s$、$t'\theta=t$ を満たす $\mathcal C$ の射 $\theta\colon x\to x'$ で、垂直合成は $\mathcal C$ の合成である。
$f=(x;s,t)\colon a\to b$ と $g=(y;p,q)\colon b\to c$ の合成は $gf=(x\times_by;\,s\pi_1,\,q\pi_2)$ である。2射 $\theta\colon f\Rightarrow f'$、$\kappa\colon g\Rightarrow g'$ の水平合成 $\kappa*\theta\colon x\times_by\to x'\times_by'$ は、$\pi_1(\kappa*\theta)=\theta\pi_1$、$\pi_2(\kappa*\theta)=\kappa\pi_2$ を満たすただ一つの射である。
恒等 1射は $1_a=(a;1_a,1_a)$ である。$\mathsf a,\mathsf l,\mathsf r$ は、下の証明で述べる、射影と両立するただ一つの同型である。

要点は、どの括弧の付け方で合成しても、合成の頂点は「スパンの頂点と脚が並んだジグザグの図式」の極限になることである。極限への射は各頂点への射影との合成で決まるので、結合 2射・単位 2射は射影と両立する同型としてただ一つに決まり、五角形と三角形の等式もこの一意性から従う。

証明を開く

ジグザグの極限．スパン $f_i=(x_i;s_i,t_i)\colon a_{i-1}\to a_i$（$i=1,\dots,m$）の列について、図式 $D\colon x_1\xrightarrow{t_1}a_1\xleftarrow{s_2}x_2\xrightarrow{t_2}a_2\leftarrow\cdots\leftarrow x_m$ の上の錐とは、対象 $w$ と射 $u_i\colon w\to x_i$ の組で $t_iu_i=s_{i+1}u_{i+1}$ を満たすものをいう。合成 $f_m\cdots f_1$ を任意の括弧の付け方で作ると、その頂点 $P$ と、射影を合成して得る射 $P\to x_i$ は $D$ の上の錐であり、しかも極限の錐である（任意の錐 $(w,u_i)$ から $P$ への射 $v$ で、射影との合成が $u_i$ になるものがただ一つある）。これは括弧の付け方についての帰納法で分かる。$P=P'\times_{a_j}P''$ で $P'$、$P''$ がそれぞれ前半と後半のジグザグの極限なら、錐 $(w,u_i)$ の前半から $v'\colon w\to P'$、後半から $v''\colon w\to P''$ が一意に決まり、$t_jv'$ と $s_{j+1}v''$ はともに $t_ju_j=s_{j+1}u_{j+1}$ に等しいので、引き戻しの普遍性から $v$ が一意に決まる。恒等 1射 $(a;1_a,1_a)$ を挟んでも、その頂点への射影は隣の射影と $t$ または $s$ で決まるので、同じ議論が通る。

水平合成と結合 2射．3 の $\kappa*\theta$ は、$t'\theta\pi_1=t\pi_1=p\pi_2=p'\kappa\pi_2$ なので引き戻しの普遍性で定まり、脚を保つので 2射である。恒等射と合成を保つことは一意性から従う。$h=(z;m,n)\colon c\to d$ について、$(hg)f$ と $h(gf)$ の頂点はどちらも $x\to b\leftarrow y\to c\leftarrow z$ の極限なので、$x,y,z$ への射影と両立する同型 $\mathsf a_{h,g,f}$ がただ一つある。$x$ と $z$ への射影を保つので、脚 $s$ と $n$ を保ち、2射になる。$1_bf$ の頂点 $x\times_bb$ は、恒等射の引き戻しなので $\pi_1$ が同型であり、$\mathsf l_f:=\pi_1$ とする。$\mathsf r_f$ も同様に $f1_a$ の頂点から $x$ への射影とする。

自然性と等式．上で現れる 2射（$\mathsf a,\mathsf l,\mathsf r$、それらのひげ付け、2射の水平合成）はどれも、関係する頂点 $x_i$ への射影と両立する（$\theta$ のような 2射に対しては、射影の後に $\theta$ を合成したものに等しい）。$\mathsf a$ の自然性の両辺、五角形の等式の両辺、三角形の等式の両辺は、それぞれ同じ 2 つの頂点の間の射で、射影との合成が同じになる。終域の頂点はジグザグの極限なので、射影との合成で射は決まり、両辺は等しい。$\square$

JY20 例 2.1.22（pp. 30–32）と MacL98 §XII.7（pp. 283–285）も、結合 2射と単位 2射を引き戻しの普遍性で定め、等式がそこから従うと述べている。

擬関手

ゆるい関手と擬関手

双圏 $\mathcal B,\mathcal C$ の間の ゆるい関手（lax functor）$F\colon\mathcal B\to\mathcal C$ は、対象の対応 $a\mapsto Fa$、関手 $F\colon\mathcal B(a,b)\to\mathcal C(Fa,Fb)$ と、2射
$$ F_{g,f}\colon Fg\,Ff\Rightarrow F(gf),\qquad F_a\colon1_{Fa}\Rightarrow F(1_a) $$
からなる。$F_{g,f}$ は $f,g$ について自然であり、次の 3 つの等式を満たすとする（$f\colon a\to b$、$g\colon b\to c$、$h\colon c\to d$）。
$$ F(\mathsf a_{h,g,f})\cdot F_{hg,f}\cdot(F_{h,g}\,Ff)=F_{h,gf}\cdot(Fh\,F_{g,f})\cdot\mathsf a_{Fh,Fg,Ff}, $$
$$ F(\mathsf l_f)\cdot F_{1_b,f}\cdot(F_b\,Ff)=\mathsf l_{Ff},\qquad F(\mathsf r_f)\cdot F_{f,1_a}\cdot(Ff\,F_a)=\mathsf r_{Ff}. $$
$F_{g,f}$ と $F_a$ がすべて可逆なとき 擬関手（pseudofunctor）、すべて恒等 2射のとき 厳密な関手 という。

この定義は JY20 定義 4.1.2（pp. 103–104）と同じ向きである。対象が 1 つの双圏の間では、ゆるい関手はモノイダル関手の定義「ゆるいモノイダル関手と余ゆるいモノイダル関手」のゆるいモノイダル関手、擬関手は強モノイダル関手にあたる。2圏の間の厳密な関手は 2圏の定義「2関手と2自然変換」の 2関手である。

加群の圏への擬関手

環 $R$ に右 $R$ 加群の圏 $\mathbf{Mod}\text{-}R$ を、$(R,S)$-両側加群 $A$ に関手 $-\otimes_RA\colon\mathbf{Mod}\text{-}R\to\mathbf{Mod}\text{-}S$ を、準同型 $\varphi\colon A\to A'$ に $1\otimes\varphi$ を対応させる。構造の 2射を
$$ M_{B,A}\colon(-\otimes_RA)\otimes_SB\Rightarrow-\otimes_R(A\otimes_SB),\quad(m\otimes a)\otimes b\mapsto m\otimes(a\otimes b);\qquad M_R\colon\mathrm{Id}\Rightarrow-\otimes_RR,\quad m\mapsto m\otimes1 $$
とすると、擬関手 $\mathcal M\colon\mathbf{Bimod}\to\mathbf{Cat}$ が得られる（$\mathbf{Cat}$ は圏・関手・自然変換の 2圏で、ここでは大きさを気にしない）。$M_{B,A}$ と $M_R$ はテンソル積の標準的な同型である。3 つの等式は、どの辺も元 $((m\otimes a)\otimes b)\otimes c$ や $m\otimes a$ を同じ元に写すことから従う。

終双圏からのゆるい関手はモナド

$\mathbf 1$ を対象・1射・2射がそれぞれ 1 つだけの双圏とする。ゆるい関手 $F\colon\mathbf 1\to\mathbf{Cat}$ を与えることは、圏 $\mathcal X$ の上のモナド $(T,\mu,\eta)$ を与えることと同じである。対応は $\mathcal X=F(*)$、$T=F(1_*)$、$\mu=F_{1,1}\colon TT\Rightarrow T$、$\eta=F_*\colon\mathrm{Id}\Rightarrow T$ で与えられる。

$\mathbf 1$ の構造の 2射はすべて恒等 2射で、$\mathbf{Cat}$ は 2圏なので、ゆるい関手の 3 つの等式はそれぞれ $\mu\cdot(\mu T)=\mu\cdot(T\mu)$、$\mu\cdot(\eta T)=1_T$、$\mu\cdot(T\eta)=1_T$ になる。これはモナドの結合律と単位律そのものである。$\mathbf 1(*,*)$ の射は恒等射だけなので、$F$ の関手の部分と $\mu$ の自然性は条件にならない。$\square$

双圏の中の同値

双圏 $\mathcal B$ の 1射 $f\colon a\to b$ が同値であるとは、1射 $g\colon b\to a$ と可逆な 2射 $\eta\colon1_a\Rightarrow gf$、$\varepsilon\colon fg\Rightarrow1_b$ があることをいう。このとき $a$ と $b$ は同値であるという。

$\mathbf{Cat}$ の同値は圏同値そのものである。2圏の定理「同値は随伴同値に取り替えられる」と同じく、双圏でも同値は三角恒等式を満たす随伴同値に取りかえられる（JY20 命題 6.2.4、p. 182。この記事では証明しない）。

擬関手は同値を保つ

$F\colon\mathcal B\to\mathcal C$ を擬関手、$(f,g,\eta,\varepsilon)$ を $\mathcal B$ の同値の組とする。このとき $Ff$ は $\mathcal C$ の同値であり、
$$ \eta'=F_{g,f}^{-1}\cdot F(\eta)\cdot F_a\colon1_{Fa}\Rightarrow Fg\,Ff,\qquad\varepsilon'=F_b^{-1}\cdot F(\varepsilon)\cdot F_{f,g}\colon Ff\,Fg\Rightarrow1_{Fb} $$
が可逆な 2射を与える。

$F\colon\mathcal B(a,a)\to\mathcal C(Fa,Fa)$ は関手なので、可逆な $\eta$ を可逆な $F(\eta)\colon F(1_a)\Rightarrow F(gf)$ に写す。$F$ が擬関手なので $F_a$ と $F_{g,f}$ は可逆であり、$\eta'$ は可逆な 2射の垂直合成として可逆である。$\varepsilon'$ も同様である。よって $(Ff,Fg,\eta',\varepsilon')$ は同値の組である。$\square$

両側加群の同値と森田同値

環 $R,S$ について、$\mathbf{Bimod}$ の中で $R$ と $S$ が同値なら、$R$ と $S$ は森田同値である。具体的には、$(R,S)$-両側加群 $A$ と $(S,R)$-両側加群 $B$ と両側加群の同型 $R\cong A\otimes_SB$、$B\otimes_RA\cong S$ があれば、$-\otimes_RA\colon\mathbf{Mod}\text{-}R\to\mathbf{Mod}\text{-}S$ は圏同値で、$-\otimes_SB$ がその逆を与える。

$\mathbf{Bimod}$ の合成の規約では $BA=A\otimes_SB$、$AB=B\otimes_RA$ なので、仮定の同型は可逆な 2射 $1_R\Rightarrow BA$、$AB\Rightarrow1_S$ であり、$A$ は $\mathbf{Bimod}$ の同値である。ex-bic-module-pseudofunctor の擬関手 $\mathcal M$ に prop-bic-pseudofunctor-equivalence を当てると、$\mathcal M(A)=-\otimes_RA$ は $\mathbf{Cat}$ の同値、すなわち圏同値であり、$\mathcal M(B)=-\otimes_SB$ との合成が恒等関手と自然に同型になる。$\square$

逆に $R$ と $S$ が森田同値なら、圏同値を与える両側加群 $A$ がとれ、その逆を与える両側加群 $B$ と同型 $A\otimes_SB\cong R$、$B\otimes_RA\cong S$ がある（Sch04 定理 2.2 とその後の注意、p. 3。この記事では証明しない）。したがって森田同値は、双圏 $\mathbf{Bimod}$ の中で同値であることと同じである。森田同値の例「環と行列環」の $R$ と $M_n(R)$ では、行ベクトルのなす $(R,M_n(R))$-両側加群と列ベクトルのなす $(M_n(R),R)$-両側加群が、この同値を与える。

行ベクトルと列ベクトル

$A=R^{1\times n}$（行ベクトル）、$B=R^{n\times1}$（列ベクトル）とし、$A\otimes_{M_n(R)}B\to R$、$a\otimes b\mapsto ab$ と $B\otimes_RA\to M_n(R)$、$b\otimes a\mapsto ba$ を考える。どちらも両側加群の同型である。

確かめを開く

どちらも行列の積の結合法則から両側加群の準同型として矛盾なく定まる。$e_j$ を第 $j$ 成分だけが $1$ の行ベクトル、$e_j^{\top}$ をその転置とする。$B$ は右 $R$ 加群として $e_1^{\top},\dots,e_n^{\top}$ を基底とする自由加群、$A$ は左 $R$ 加群として $e_1,\dots,e_n$ を基底とする自由加群なので、$B\otimes_RA$ の元は $\sum_{i,j}e_i^{\top}\otimes r_{ij}e_j$（$r_{ij}\in R$）の形にただ一通りに書ける。これは行列 $\sum_{i,j}e_i^{\top}r_{ij}e_j=(r_{ij})$ に写るので、2 つめの写像は同型である。1 つめについて、行ベクトル $a$ を第 1 行にもち他の行が $0$ の行列を $X_a$ とすると $a=e_1X_a$ であり、$X_ab=(ab)e_1^{\top}$ なので $a\otimes b=e_1\otimes X_ab=e_1\otimes e_1^{\top}(ab)$ である。よって $A\otimes_{M_n(R)}B$ の元はすべて $e_1\otimes e_1^{\top}r$ の形で、これは $r$ に写る。したがって写像は単射であり、$e_1\otimes e_1^{\top}r\mapsto r$ から全射でもある。$\square$

双同値とコヒーレンス定理

双圏どうしを比べるときは、擬関手が同型を除いて逆をもつことを求める。擬関手 $F\colon\mathcal B\to\mathcal C$ が 双同値（biequivalence）であるとは、擬関手 $G\colon\mathcal C\to\mathcal B$ と、$\mathrm{Id}_{\mathcal B}$ と $GF$、$FG$ と $\mathrm{Id}_{\mathcal C}$ のそれぞれの間の同値があることをいう。ここでの同値は、擬関手を対象、擬自然変換を 1射、修正を 2射とする双圏の中での同値である（JY20 定義 6.2.8、p. 183）。次の判定法により、双同値は局所的な条件で確かめられる。

双同値の判定

擬関手 $F\colon\mathcal B\to\mathcal C$ が双同値であるための必要十分条件は、次の 2 つが成り立つことである（JY20 定理 7.4.1、p. 215。この記事では証明しない）。

$\mathcal C$ のどの対象も、ある $Fa$ と $\mathcal C$ の中で同値である。
どの対象の組 $a,b$ についても、関手 $F\colon\mathcal B(a,b)\to\mathcal C(Fa,Fb)$ が圏同値である。

双圏のコヒーレンス定理

どの双圏も、ある 2圏と双同値である（JY20 定理 8.4.1、p. 238。この記事では証明しない）。

コヒーレンス定理の意味

JY20 の証明は、双圏の米田埋め込み $\mathcal B\to\mathrm{Bicat}_{\mathrm{ps}}(\mathcal B^{\mathrm{op}},\mathbf{Cat})$ を使う。行き先は $\mathbf{Cat}$ が 2圏であることから 2圏になり、表現可能な擬関手からなる部分 2圏が $\mathcal B$ と双同値になる。対象が 1 つの場合は、モノイダル圏を厳格モノイダル圏に取りかえる定理（Mac Laneのコヒーレンス定理の定理「厳格化定理」）にあたる。
定理は、$\mathcal B$ の結合 2射が恒等 2射になると言うのではない。$\mathbf{Bimod}$ は 2圏ではないが（ex-bic-examples の 3）、ある 2圏と双同値である。また、擬関手をすべて 2関手に取りかえられるとも言っていない。

反例の表

外す条件	反例	成り立たなくなること
五角形の等式	モノイダル圏の注意「反例：五角形公理を満たさない結合同型」の構造を、対象が 1 つの構造とみたもの	$\mathcal B(a,a)$ がモノイダル圏になること（prop-bic-hom-monoidal の 1）
引き戻しの存在（prop-bic-span）	3 元の順序集合 $\{x,y,z\}$（$x\le z$、$y\le z$ だけ）を圏とみたもの	スパンの合成が定まること
擬関手の構造の 2射が可逆（prop-bic-pseudofunctor-equivalence）	リストのモナドが定める $\mathbf 1\to\mathbf{Cat}$ のゆるい関手	同値を同値に写すこと
同値の 2射 $\eta$ が可逆（thm-bic-morita）	$\mathbb Z$ から $\mathbb Q$ への $\mathbf{Bimod}$ の 1射 $A=\mathbb Q$ と、逆向きの $B=\mathbb Q$	$\mathbb Z$ と $\mathbb Q$ が森田同値であること

表の反例の確かめ

各行で、外した条件以外は成り立ち、結論が成り立たないことを確かめる。

確かめを開く

1 行目．モノイダル圏の注意で、三角形公理と自然性を満たし五角形公理だけが成り立たない構造が与えられている。対象が 1 つの構造とみると、五角形の等式以外の双圏のデータと条件はそろう。prop-bic-hom-monoidal の証明の読みかえで、$\mathcal B(a,a)$ がモノイダル圏であることは五角形公理を含むので成り立たない。

2 行目．順序集合では引き戻しは下限である。スパン $(x;1_x,x\le z)\colon x\to z$ と $(y;y\le z,1_y)\colon z\to y$ の合成には $x\to z\leftarrow y$ の引き戻しが要るが、$x$ と $y$ の両方の下にある元がないので、錐が 1 つもなく、引き戻しは存在しない。

3 行目．$T(X)$ を集合 $X$ の元の有限列（空列を含む）の集合とし、$\mu$ を列の連結、$\eta$ を長さ 1 の列とすると、モナド $(T,\mu,\eta)$ が得られる。prop-bic-monad により、これは $F(*)=\mathbf{Set}$、$F(1_*)=T$ のゆるい関手 $F\colon\mathbf 1\to\mathbf{Cat}$ を与える。$\mu$ は可逆でない（列の列 $((x),(y))$ と $((x,y))$ がどちらも $(x,y)$ に写る）。$\mathbf 1$ の $1_*$ は恒等 2射によって同値であるが、$T(X)$ は空列を含むのでつねに空でなく、空集合と同型な $T(X)$ はない。よって $T$ は本質的全射でなく、圏同値でない。

4 行目．$A$ は $(\mathbb Z,\mathbb Q)$-両側加群、$B$ は $(\mathbb Q,\mathbb Z)$-両側加群としての $\mathbb Q$ である。$BA=A\otimes_{\mathbb Q}B\cong\mathbb Q$ への $\eta\colon\mathbb Z\to\mathbb Q$ を包含とし、$\varepsilon\colon AB=B\otimes_{\mathbb Z}A=\mathbb Q\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q\to\mathbb Q$ を積 $x\otimes y\mapsto xy$ とする。$y=c/d$ について $x\otimes y=(x/d)d\otimes y=(x/d)\otimes c=(cx/d)\otimes1$ なので、$\mathbb Q\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q$ の元はすべて $q\otimes1$ の形で、$\varepsilon$ は同型である。$\eta$ は全射でないので可逆でない。$\mathbb Z$ と $\mathbb Q$ の中心は $\mathbb Z$ と $\mathbb Q$ で、環として同型でないので、森田同値の命題「中心の不変性」により森田同値でない。$\square$

補足

2圏との関係：2圏の中の随伴と同値は 2圏で扱われている。双圏の中の随伴と同値は、結合 2射と単位 2射を挟んだ形で JY20 §6.1–6.2（pp. 174–184）にある。
用語：双圏は「弱 2圏」とも呼ばれる（MacL98 §XII.7、p. 285）。
向きの規約：1射の合成の書き方、結合 2射の向き、両側加群の左右の規約は文献ごとに異なる。比べるときは、どの 2射がどの 1射からどの 1射へ向かうかで照合する。