Quillenの定理A
概要
Quillenの定理A（Quillen's Theorem A）とは、小さな圏の間の関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ について、$\mathcal D$ のすべての対象 $d$ でコンマ圏 $(d\downarrow F)$ の分類空間が可縮ならば、分類空間の写像 $BF$ がホモトピー同値写像になるという定理である。双対のコンマ圏 $(F\downarrow d)$ がすべて可縮な場合も同じ結論が成り立つ。随伴をもつ関手ではコンマ圏が始対象または終対象をもつので仮定が成り立ち、仮定を連結性に弱めると結論は成り立たない。証明は射の列の組からなる二重単体的集合の対角を 2 通りに射影し、二重単体的集合の実現の補題を使う。
関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ が圏の分類空間のホモトピー同値 $BF\colon B\mathcal C\to B\mathcal D$ を与えるかどうかを、圏の中で判定する定理が Quillen の定理 A である。判定に使うのは、$\mathcal D$ の各対象 $d$ について「$d$ から $F$ の像への射」を集めたコンマ圏 $(d\downarrow F)$ である。これらがすべて可縮な分類空間をもてば、$BF$ はホモトピー同値写像になる。
$F$ が左随伴をもつとき、$(d\downarrow F)$ は始対象をもち、定理は「随伴をもつ関手はホモトピー同値を与える」という事実（圏の分類空間 の系「随伴関手はホモトピー同値を与える」）に戻る。定理 A は、随伴がなくても、各 $d$ ごとの「ファイバー」が可縮であれば全体がホモトピー同値になることを主張する。単体複体の間の単体写像に当てはめると、各閉単体の逆像が可縮な単体写像はホモトピー同値写像である、という主張になる（ex-qa-poset）。証明では、$F$ を射の列の対からなる二重単体的集合で $2$ 通りに分解し、二重単体的集合の実現についての補題を使う。
主張
小さな圏の間の関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ と $\mathcal D$ の対象 $d$ に対し、共終関手 と同じ記号で、コンマ圏 $(d\downarrow F)$ を次の圏とする。対象は組 $(c,u)$（$c\in\mathcal C$、$u\colon d\to F(c)$）であり、$(c,u)$ から $(c',u')$ への射は、$F(a)\circ u=u'$ を満たす $\mathcal C$ の射 $a\colon c\to c'$ である。双対に、$(F\downarrow d)$ の対象は組 $(c,u)$（$u\colon F(c)\to d$）、射は $u'\circ F(a)=u$ を満たす $a\colon c\to c'$ である。$F=\mathrm{id}_{\mathcal D}$ のとき、$(d\downarrow\mathrm{id})$ を $d/\mathcal D$、$(\mathrm{id}\downarrow d)$ を $\mathcal D/d$ と書く（スライス圏）。
小さな圏 $\mathcal A$ は、$B\mathcal A$ が可縮空間であるとき 可縮 であるという。$B\mathcal A$ は CW 複体なので、これは $B\mathcal A$ が弱可縮であることと同値である（弱可縮空間 の定理「CW 型の空間では可縮と一致する」）。
$F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ を小さな圏の間の関手とする。$\mathcal D$ のすべての対象 $d$ についてコンマ圏 $(d\downarrow F)$ が可縮ならば、$BF\colon B\mathcal C\to B\mathcal D$ はホモトピー同値写像である。すべての $d$ について $(F\downarrow d)$ が可縮な場合も同じ結論が成り立つ。
定理は Qui73 §1 Theorem A（p. 93）である。証明は節「証明」の prf-thm-qa-main で与える。∞圏の言葉では、仮定は脈体の写像 $N(F)$ が 共終関手 の節「∞圏での共終写像」の意味で共終であることと同値であり（HTT09 Theorem 4.1.3.1, p. 236）、共終な写像は弱ホモトピー同値である（HTT09 Proposition 4.1.1.3 (3), p. 223、Corollary 4.1.3.3, p. 238。共終な写像が弱ホモトピー同値であることの証明は 右アノダイン射 の命題「右アノダインな包含は共終」の 2）。この記事では、∞圏を使わない Quillen の証明の筋をたどる。
共終関手 は「$(d\downarrow F)$ が空でなく連結」という条件で定義される。定理 A の仮定はそれより強い。連結であることは $B(d\downarrow F)$ が弧状連結であること（圏の分類空間 の命題「分類空間の弧状連結成分」）にすぎず、高次のホモトピー群が消えることまでは含まない（ex-qa-connected-not-enough）。
例
$F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ が左随伴 $L$ をもち、単位を $\eta\colon\mathrm{id}_{\mathcal D}\Rightarrow FL$ とすると、各 $d$ について $(L(d),\eta_d)$ は $(d\downarrow F)$ の始対象である。とくに $(d\downarrow F)$ は可縮であり、定理 A の仮定が成り立つ。双対に、$F$ が右随伴 $G$ と余単位 $\varepsilon\colon FG\Rightarrow\mathrm{id}_{\mathcal C}$ をもてば、$(G(d),\varepsilon_d)$ は $(F\downarrow d)$ の終対象である。
順序を保つ写像 $f\colon P\to Q$ を関手とみると、$(q\downarrow f)$ は部分順序集合 $\{p\in P\mid q\le f(p)\}$ である（射 $q\to f(p)$ は高々 1 本）。定理 A は、これらの部分順序集合の分類空間がすべての $q$ で可縮なら $BP\to BQ$ がホモトピー同値であることを述べる。単体複体の間の単体写像 $g$ については、単体の順序集合の間に誘導される写像 $f$ を考えると、$(f\downarrow\sigma)$ は閉単体 $\sigma$ の逆像に含まれる単体の順序集合である。単体複体は単体の順序集合の分類空間と同相なので（圏の分類空間 の例「順序 $[n]$ と順序集合」）、定理の双対の形から、各閉単体の逆像が可縮な単体写像はホモトピー同値写像であることが従う（Qui73 §1, p. 93 の例）。
対象 $x,y$ と平行な射 $f,g\colon x\to y$ だけをもつ圏 $\mathcal K$ から、一点圏 $[0]$ への関手 $F$ を考える。唯一の対象 $*$ について $(*\downarrow F)$ は $\mathcal K$ そのものであり、空でなく連結なので $F$ は共終関手である。しかし $B\mathcal K$ は円周と同相（圏の分類空間 の例「平行な $2$ 本の射」）で可縮でなく、$BF\colon S^1\to\mathrm{pt}$ はホモトピー同値でない。
証明
二重単体的集合と実現の補題
二重単体的集合 とは関手 $X\colon\Delta^{\mathrm{op}}\times\Delta^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ のことであり、$X_{p,q}=X([p],[q])$ と書く。$p$ を固定すると単体的集合 $X_{p,\bullet}$ が、$q$ を固定すると単体的集合 $X_{\bullet,q}$ が得られる。対角 $\operatorname{diag}(X)$ は $\operatorname{diag}(X)_n=X_{n,n}$、順序写像 $\gamma\colon[m]\to[n]$ には $X(\gamma,\gamma)$ を対応させる単体的集合である。単体的集合 $K$ は、$K_{p,q}=K_q$（$p$ の方向には恒等写像）とおいて二重単体的集合とみなせ、その対角は $K$ 自身である。単体的集合の写像 $f$ は、$\lvert f\rvert$ が弱ホモトピー同値であるとき弱ホモトピー同値という（弱ホモトピー同値 の節「単体的集合と ∞ 圏での弱ホモトピー同値」）。
二重単体的集合の写像 $f\colon X\to Y$ について、すべての $p$ で $f_{p,\bullet}\colon X_{p,\bullet}\to Y_{p,\bullet}$ が弱ホモトピー同値ならば、対角の写像 $\operatorname{diag}(f)\colon \operatorname{diag}(X)\to \operatorname{diag}(Y)$ は弱ホモトピー同値である。$p$ と $q$ の役割を入れ替えても対角は変わらないので、すべての $q$ で $f_{\bullet,q}$ が弱ホモトピー同値な場合も同じ結論が成り立つ。
証明に使う二重単体的集合
以下、射の列を $\mathbf d=(d_0\to\cdots\to d_p)$ のように書き、$i\le j$ について列の中の合成 $d_i\to d_j$ を $d_{ij}$ と書く（$d_{ii}=\mathrm{id}$）。$\mathcal C$ の列 $\mathbf c=(c_0\to\cdots\to c_q)$ についても $c_{ij}$ と書く。
$T_{p,q}$ を、$\mathcal D$ の列 $\mathbf d=(d_0\to\cdots\to d_p)$、$\mathcal D$ の射 $u\colon d_p\to F(c_0)$、$\mathcal C$ の列 $\mathbf c=(c_0\to\cdots\to c_q)$ の組 $(\mathbf d,u,\mathbf c)$ 全体の集合とする。順序写像 $\alpha\colon[p']\to[p]$ と $\beta\colon[q']\to[q]$ に対し
$$
(\alpha,\beta)^*(\mathbf d,u,\mathbf c)=\bigl(\alpha^*\mathbf d,\ F(c_{0\,\beta(0)})\circ u\circ d_{\alpha(p')\,p},\ \beta^*\mathbf c\bigr)
$$
と定める。ここで $\alpha^*\mathbf d$、$\beta^*\mathbf c$ は脈体の構造写像（列 $d_{\alpha(0)}\to\cdots\to d_{\alpha(p')}$ など）である。
$u$ を書き換える $2$ つの操作（左から $F(c_{0\,\beta(0)})$、右から $d_{\alpha(p')\,p}$ を合成する）は互いに交換し、それぞれ合成と両立する（$d_{\alpha\alpha'(p'')\,p}=d_{\alpha(p')\,p}\circ d_{\alpha\alpha'(p'')\,\alpha(p')}$ など）ので、$T$ は二重単体的集合である。$T$ から $2$ つの写像
$$
\pi_{\mathcal D}\colon T\to N(\mathcal D),\ (\mathbf d,u,\mathbf c)\mapsto\mathbf d,\qquad \pi_{\mathcal C}\colon T\to N(\mathcal C),\ (\mathbf d,u,\mathbf c)\mapsto\mathbf c
$$
がある。ここで $N(\mathcal D)$ は $q$ の方向に、$N(\mathcal C)$ は $p$ の方向に定数な二重単体的集合とみなす。
(i) $q$ と $\mathbf c\in N(\mathcal C)_q$ を固定すると、$\pi_{\mathcal C}$ の $\mathbf c$ の上の部分 $\{(\mathbf d,u,\mathbf c)\}\subset T_{\bullet,q}$ は、スライス圏 $\mathcal D/F(c_0)$ の脈体と同型な単体的集合である。
(ii) $p$ と $\mathbf d\in N(\mathcal D)_p$ を固定すると、$\pi_{\mathcal D}$ の $\mathbf d$ の上の部分 $\{(\mathbf d,u,\mathbf c)\}\subset T_{p,\bullet}$ は、コンマ圏 $(d_p\downarrow F)$ の脈体と同型な単体的集合である。
(i) $x=F(c_0)$ とおく。$\mathcal D/x$ の $p$ 単体は、対象の列 $(d_i,v_i\colon d_i\to x)$ と射 $d_{i-1}\to d_i$ で $v_i\circ d_{i-1\,i}=v_{i-1}$ を満たすもの、つまり列 $\mathbf d$ と最後の射 $v_p\colon d_p\to x$ の組（$v_i=v_p\circ d_{ip}$ で決まる）である。$(\mathbf d,u)\mapsto(\mathbf d,v_p=u)$ がこの対応を与え、$\alpha\colon[p']\to[p]$ による引き戻しは、どちらでも列を $\alpha^*\mathbf d$ に、最後の射を $u\circ d_{\alpha(p')\,p}$ に変える。$\beta=\mathrm{id}$ なので $F(c_{00})=\mathrm{id}$ であり、def-qa-bisimplicial の式と一致する。
(ii) 同様に、$(d_p\downarrow F)$ の $q$ 単体は、列 $\mathbf c$ と最初の対象の構造射 $u\colon d_p\to F(c_0)$ の組であり（$i$ 番目の構造射は $F(c_{0i})\circ u$）、$\beta\colon[q']\to[q]$ による引き戻しは列を $\beta^*\mathbf c$ に、最初の構造射を $F(c_{0\,\beta(0)})\circ u$ に変える。これも def-qa-bisimplicial の式（$\alpha=\mathrm{id}$）と一致する。$\square$
対角 $\operatorname{diag}(T)$ の $n$ 単体 $(\mathbf d,u,\mathbf c)$（$\mathbf d,\mathbf c$ はどちらも長さ $n$）に対し、$0\le i\le n$ について
$$
w_i=F(c_{0i})\circ u\circ d_{in}\colon d_i\to F(c_i)
$$
とおく。$\mathcal D$ の射を対象とし、可換な四角形を射とする圏を $\operatorname{Ar}(\mathcal D)=\operatorname{Fun}([1],\mathcal D)$、始域と終域をとる関手を $s,t\colon\operatorname{Ar}(\mathcal D)\to\mathcal D$ と書く。射 $w\colon a\to b$ そのものを成分とする自然変換 $s\Rightarrow t$ がある。
$(\mathbf d,u,\mathbf c)$ を、$\operatorname{Ar}(\mathcal D)$ の列 $w_0\to w_1\to\cdots\to w_n$（$w_{i-1}$ から $w_i$ への射は四角形 $(d_{i-1\,i},F(c_{i-1\,i}))$）へ送る写像 $\Phi\colon \operatorname{diag}(T)\to N(\operatorname{Ar}(\mathcal D))$ は単体的写像であり、
$$
N(s)\circ\Phi=\operatorname{diag}(\pi_{\mathcal D}),\qquad N(t)\circ\Phi=N(F)\circ \operatorname{diag}(\pi_{\mathcal C})
$$
を満たす。
四角形が可換であること：$F(c_{i-1\,i})\circ w_{i-1}=F(c_{0i})\circ u\circ d_{i-1\,n}$ であり、$w_i\circ d_{i-1\,i}=F(c_{0i})\circ u\circ d_{in}\circ d_{i-1\,i}=F(c_{0i})\circ u\circ d_{i-1\,n}$ なので、両者は等しい。
構造写像と両立すること：$\gamma\colon[m]\to[n]$ に対し、$\operatorname{diag}(T)$ での引き戻しは $(\gamma,\gamma)^*(\mathbf d,u,\mathbf c)=(\gamma^*\mathbf d,u',\gamma^*\mathbf c)$、$u'=F(c_{0\,\gamma(0)})\circ u\circ d_{\gamma(m)\,n}$ である。これから作る $j$ 番目の射は
$$
w'_j=F(c_{\gamma(0)\,\gamma(j)})\circ u'\circ d_{\gamma(j)\,\gamma(m)}=F(c_{0\,\gamma(j)})\circ u\circ d_{\gamma(j)\,n}=w_{\gamma(j)}
$$
であり、$w'_{j-1}\to w'_j$ の四角形は $(d_{\gamma(j-1)\,\gamma(j)},F(c_{\gamma(j-1)\,\gamma(j)}))$ で、$w_{\gamma(j-1)}\to w_{\gamma(j)}$ の合成と同じである。これは $\operatorname{Ar}(\mathcal D)$ の列 $(w_i)$ を $\gamma$ で引き戻したものにほかならない。
最後の等式は、$w_i$ の始域が $d_i$、終域が $F(c_i)$ であり、四角形の成分が $d_{i-1\,i}$ と $F(c_{i-1\,i})$ であることから従う。$\square$
定理の証明
段 1（$\pi_{\mathcal C}$）．$q$ を固定すると、lem-qa-rows (i) により $T_{\bullet,q}$ はスライス圏 $\mathcal D/F(c_0)$ の脈体の、$\mathbf c\in N(\mathcal C)_q$ にわたる非交和であり、$\pi_{\mathcal C}$ は各成分を $1$ 点 $\mathbf c$ に送る。$\mathcal D/F(c_0)$ は終対象 $(F(c_0),\mathrm{id})$ をもつので、その分類空間は可縮である（圏の分類空間 の系「終対象をもつ圏は可縮」）。幾何学的実現は非交和を保つので、$\lvert T_{\bullet,q}\rvert\to\lvert N(\mathcal C)_q\rvert$ は可縮な空間の非交和から離散空間への、各成分を $1$ 点へ送る写像であり、弱ホモトピー同値である。lem-qa-realization により $\operatorname{diag}(\pi_{\mathcal C})\colon \operatorname{diag}(T)\to N(\mathcal C)$ は弱ホモトピー同値である。
段 2（$\pi_{\mathcal D}$）．$p$ を固定すると、lem-qa-rows (ii) により $T_{p,\bullet}$ はコンマ圏 $(d_p\downarrow F)$ の脈体の、$\mathbf d\in N(\mathcal D)_p$ にわたる非交和である。仮定によりどの $(d_p\downarrow F)$ も可縮なので、段 1 と同じ理由で $\operatorname{diag}(\pi_{\mathcal D})\colon \operatorname{diag}(T)\to N(\mathcal D)$ は弱ホモトピー同値である。
段 3（$2$ つの写像をつなぐ）．lem-qa-phi と自然変換 $s\Rightarrow t$ に 圏の分類空間 の定理「自然変換と分類空間のホモトピー」を当てると、
$$
\lvert \operatorname{diag}(\pi_{\mathcal D})\rvert=Bs\circ\lvert\Phi\rvert\ \simeq\ Bt\circ\lvert\Phi\rvert=BF\circ\lvert \operatorname{diag}(\pi_{\mathcal C})\rvert
$$
である。左辺は段 2 により弱ホモトピー同値なので、ホモトピックな右辺も弱ホモトピー同値である（弱ホモトピー同値 の命題「ホモトピックな写像」）。$\lvert \operatorname{diag}(\pi_{\mathcal C})\rvert$ は段 1 により弱ホモトピー同値なので、同じ記事の定理「2 つのうち 2 つの性質」により $BF$ は弱ホモトピー同値である。$B\mathcal C$ と $B\mathcal D$ は CW 複体なので、Whitehead の定理（弱ホモトピー同値 の定理「Whitehead の定理」）により $BF$ はホモトピー同値写像である。
段 4（双対の場合）．すべての $d$ で $(F\downarrow d)$ が可縮とする。反対圏の関手 $F^{\mathrm{op}}\colon\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal D^{\mathrm{op}}$ について $(d\downarrow F^{\mathrm{op}})=(F\downarrow d)^{\mathrm{op}}$ であり、圏の分類空間 の命題「反対圏の分類空間」の同相により、これも可縮である。段 1〜3 により $B(F^{\mathrm{op}})$ はホモトピー同値写像である。同じ命題の同相写像 $\Psi$ は、作り方から $\Psi\circ B(F^{\mathrm{op}})=BF\circ\Psi$ を満たす（どちらも $[u,t]$ を $[F\circ u\circ r_n,\rho_nt]$ へ送る）ので、$BF$ もホモトピー同値写像である。$\blacksquare$
証明の筋は Qui73 pp. 94–96 と同じく、$\mathcal D$ の列と $\mathcal C$ の列を $1$ 本の射でつないだ二重単体的集合を $2$ 通りに射影し、それぞれのファイバーがスライス圏とコンマ圏になることを使う。Quillen は $2$ つの射影の比較を、恒等関手に同じ構成を当てたものとの可換図式で行っている。段 3 の自然変換 $s\Rightarrow t$ による比較は、この記事の書き方である。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $(d\downarrow F)$ が可縮（連結であることは保つ） | ex-qa-connected-not-enough の $\mathcal K\to[0]$ | $BF$ がホモトピー同値写像であること |
| すべての対象 $d$ について（一部の $d$ だけにする） | $[0]$ から $\mathcal K$ への、対象 $y$ を選ぶ関手 $F_y$ | $BF_y$ がホモトピー同値写像であること |
2 行目：$(y\downarrow F_y)$ の対象は射 $y\to y$ で、恒等射だけなので $1$ 点の圏であり、可縮である。$(x\downarrow F_y)$ の対象は射 $x\to y$ の $2$ 本 $f,g$ で、$[0]$ の射は恒等射だけなので $2$ 点の離散圏であり、連結でない。$BF_y$ は $1$ 点から円周への写像なのでホモトピー同値でない。
定理の逆は成り立たない。対象 $0$ を選ぶ関手 $F_0\colon[0]\to[1]$ では $B F_0$ は可縮な空間の間の写像でホモトピー同値だが、$(1\downarrow F_0)$ は射 $1\to0$ がないので空であり、可縮でない。一方 $(F_0\downarrow0)$ と $(F_0\downarrow1)$ はどちらも $1$ 点の圏で可縮なので、$F_0$ には定理の双対の形が当てはまる。対象 $1$ を選ぶ関手 $F_1\colon[0]\to[1]$ では逆に、$(0\downarrow F_1)$ と $(1\downarrow F_1)$ は $1$ 点の圏で可縮だが、$(F_1\downarrow0)$ は空である。したがって $2$ つの形は互いに他方を含まない。
発展
Qui73 §1 の Theorem B（p. 97）は、$(d\downarrow F)$ が可縮とは限らないが、射 $d\to d'$ が誘導する関手 $(d'\downarrow F)\to(d\downarrow F)$ がすべてホモトピー同値を与える場合に、$B(d\downarrow F)\to B\mathcal C\to B\mathcal D$ がホモトピーファイバー列になることを述べる（GJ09 Theorem IV.5.6, p. 237 にも証明がある）。定理 A はファイバーが可縮な場合にあたる。代数的 K 理論では、K 群を圏の分類空間のホモトピー群として定め、その基本性質を定理 A・B から導く。
∞圏論では、定理 A の仮定は脈体の写像が共終であることと同値になり（HTT09 Theorem 4.1.3.1）、共終な写像は余極限を保つ。どの単体的集合 $K$ についても、単体的集合の単体の圏 の脈体から $K$ への最終頂点写像は共終である（HTT09 Proposition 4.2.3.14, p. 254。最終頂点写像の共終性）。
関連項目
参考文献
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