凸関数

1 ⇒ 2：$t:=\frac{b-a}{c-a}$ とおくと $0< t<1$、$b=(1-t)a+tc$、$b-a=t(c-a)$、$c-b=(1-t)(c-a)$ である。凸性から $f(b)\le(1-t)f(a)+tf(c)$ である。両辺から $f(a)$ を引くと $f(b)-f(a)\le t(f(c)-f(a))$ であり、$b-a=t(c-a)$ で割ると $s(a,b)\le s(a,c)$ を得る。また両辺から $f(c)$ を引くと $f(b)-f(c)\le(1-t)(f(a)-f(c))$、すなわち $f(c)-f(b)\ge(1-t)(f(c)-f(a))$ であり、$c-b=(1-t)(c-a)$ で割ると $s(b,c)\ge s(a,c)$ を得る。
2 ⇒ 3：$u\in I$、$v_1< v_2$（$v_1,v_2\neq u$）とする。$u< v_1< v_2$ なら 2 の左の不等式（$a=u$、$b=v_1$、$c=v_2$）により $s(u,v_1)\le s(u,v_2)$ である。$v_1< v_2< u$ なら 2 の右の不等式（$a=v_1$、$b=v_2$、$c=u$）により $s(v_1,u)\le s(v_2,u)$ である。$v_1< u< v_2$ なら 2 の両端（$a=v_1$、$b=u$、$c=v_2$）により $s(v_1,u)\le s(u,v_2)$ である。$s$ は対称なので、いずれも $s(u,v_1)\le s(u,v_2)$ である。
3 ⇒ 1：$x< y$、$0< t<1$ とし、$b:=(1-t)x+ty$ とおく。$x< b< y$ であり、3 を $u=x$、$v_1=b$、$v_2=y$ に使うと $s(x,b)\le s(x,y)$ である。$b-x=t(y-x)$ を掛けると $f(b)-f(x)\le t(f(y)-f(x))$、すなわち $f(b)\le(1-t)f(x)+tf(y)$ である。$\square$

$x\in I$ とする。$I$ は開区間なので、$a< x< b$ となる $a,b\in I$ がある。
1：$0< h< b-x$ について、prop-cvxf-slopes の 3 により $h\mapsto s(x,x+h)$ は単調増加であり、同じく 3 により（$a< x+h$ なので）$s(x,a)\le s(x,x+h)$、すなわち $s(a,x)\le s(x,x+h)$ である。よって $h$ を $0$ に近づけると $s(x,x+h)$ は減少し、$s(a,x)$ で下から押さえられる。$m:=\inf_{0< h< b-x}s(x,x+h)$ とおくと（上限と下限）、任意の $\varepsilon>0$ に対し $s(x,x+h_0)< m+\varepsilon$ となる $h_0$ があり、$0< h< h_0$ なら $m\le s(x,x+h)\le s(x,x+h_0)< m+\varepsilon$ である。よって $f'_+(x)=m$ が存在する。同様に $0< h< x-a$ について $s(x-h,x)=s(x,x-h)$ は $h$ を $0$ に近づけると増加し、$s(x,b)$ で上から押さえられるので、$f'_-(x)=\sup_{h}s(x-h,x)$ が存在する。任意の $h,k>0$ について $x-h< x< x+k$ なので prop-cvxf-slopes の 2 により $s(x-h,x)\le s(x,x+k)$ であり、上限と下限をとって $f'_-(x)\le f'_+(x)$ を得る。
2：$x< y$ とし、$0< h< y-x$ とする。prop-cvxf-slopes の 3 により $s(x,x+h)\le s(x,y)$、$s(y,x)\le s(y,y-h)$ である。$h\to+0$ として $f'_+(x)\le s(x,y)\le f'_-(y)$ を得る。1 と合わせて $f'_-(x)\le f'_+(x)\le f'_-(y)\le f'_+(y)$ なので、$f'_-$ と $f'_+$ は単調増加である。
3：$0< h< b-x$ について $f(x+h)-f(x)=h\,s(x,x+h)$ であり、1 の証明から $s(a,x)\le s(x,x+h)\le s(x,b)$ なので、$|f(x+h)-f(x)|\le h\max\{|s(a,x)|,|s(x,b)|\}\to0$（$h\to+0$）である。同様に $f(x-h)-f(x)=-h\,s(x-h,x)\to0$ である。よって $f$ は $x$ で連続である。$\square$

1 ⇒ 2：$x< y$ とする。$f$ は微分可能なので $f'_+(x)=f'(x)$、$f'_-(y)=f'(y)$ であり、thm-cvxf-continuity の 2 により $f'(x)\le s(x,y)\le f'(y)$ である。
2 ⇒ 3：$y\neq x$ とする。平均値の定理 の記事の定理「平均値の定理」により、$x$ と $y$ の間の点 $\xi$（$\xi\neq x$）で $f(y)-f(x)=f'(\xi)(y-x)$ となるものがある。$y>x$ なら $\xi>x$ なので $f'(\xi)\ge f'(x)$ であり、$y-x>0$ を掛けて $f(y)-f(x)\ge f'(x)(y-x)$ を得る。$y< x$ なら $\xi< x$ なので $f'(\xi)\le f'(x)$ であり、$y-x<0$ を掛けると不等号の向きが変わって同じ不等式を得る。$y=x$ では等号である。
3 ⇒ 1：$x,y\in I$、$0\le t\le1$、$z:=(1-t)x+ty$ とする。3 を点 $z$ で使うと
$$ f(x)\ge f(z)+f'(z)(x-z),\qquad f(y)\ge f(z)+f'(z)(y-z) $$
である。第 1 式に $1-t$、第 2 式に $t$ を掛けて加えると、$(1-t)(x-z)+t(y-z)=(1-t)x+ty-z=0$ なので、$(1-t)f(x)+tf(y)\ge f(z)$ を得る。
最後の主張：$f'$ が狭義単調増加なら、2 ⇒ 3 の議論で $f'(\xi)>f'(x)$（$y>x$）、$f'(\xi)< f'(x)$（$y< x$）となるので、$y\neq x$ のとき $f(y)>f(x)+f'(x)(y-x)$ である。$x\neq y$、$0< t<1$ なら $z$ は $x$ とも $y$ とも異なるので、3 ⇒ 1 の 2 つの不等式はともに $>$ になり、$(1-t)f(x)+tf(y)>f(z)$ を得る。$\square$

平均値の定理 の記事の系「導関数の符号と増減」を $f'$ に使うと、$f''\ge0$ であることと $f'$ が単調増加であることは同値であり、$f''>0$ なら $f'$ は狭義単調増加である。あとは prop-cvxf-differentiable による。$\square$

1：$y\in I$ とする。$0< t\le1$ を $t|y-c|<\delta$ となるように小さくとり、$z:=(1-t)c+ty$ とおくと $|z-c|=t|y-c|<\delta$ なので、仮定と凸性により
$$ f(c)\le f(z)\le(1-t)f(c)+tf(y) $$
である。これを整理すると $tf(c)\le tf(y)$ であり、$t>0$ で割って $f(c)\le f(y)$ を得る。
2：prop-cvxf-differentiable の 3 で $x=c$ とすると、任意の $y\in I$ について $f(y)\ge f(c)+f'(c)(y-c)=f(c)$ である。$\square$

$m:=\min_ix_i$、$M:=\max_ix_i$ とすると $m\le\sum_i\lambda_ix_i\le M$ であり、$m,M\in I$ で $I$ は区間なので $\sum_i\lambda_ix_i\in I$ である。
不等式を $n$ についての数学的帰納法で示す。$n=1$ では $\lambda_1=1$ で等号である。$n\ge2$ とし、$n-1$ 個では正しいとする。$\lambda_n=1$ なら他の $\lambda_i$ はすべて $0$ で、両辺は $f(x_n)$ である。$\lambda_n<1$ なら $s:=1-\lambda_n=\lambda_1+\cdots+\lambda_{n-1}>0$ とおき、
$$ y:=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{\lambda_i}{s}x_i $$
とする。係数 $\lambda_i/s$ は $0$ 以上で和が $1$ なので、前段により $y\in I$ である。$\sum_i\lambda_ix_i=sy+\lambda_nx_n$ で $s+\lambda_n=1$ なので、凸性と帰納法の仮定により
$$ f\Bigl(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\Bigr)=f(sy+\lambda_nx_n)\le sf(y)+\lambda_nf(x_n)\le s\sum_{i=1}^{n-1}\frac{\lambda_i}{s}f(x_i)+\lambda_nf(x_n)=\sum_{i=1}^n\lambda_if(x_i) $$
である。
等号の条件：$f$ は狭義凸で、すべての $\lambda_i>0$ とする。$x_1=\cdots=x_n$ なら両辺は $f(x_1)$ で等しい。逆を $n$ についての帰納法で示す。$n=1$ では明らかである。$n\ge2$ なら $0<\lambda_n<1$、$0< s<1$ であり、全体が等号なら上の 2 つの $\le$ はともに等号である。2 つ目の等号は $f(y)=\sum_{i< n}(\lambda_i/s)f(x_i)$ を意味し、係数 $\lambda_i/s$ はすべて正なので、帰納法の仮定により $x_1=\cdots=x_{n-1}$、したがって $y=x_1$ である。1 つ目の等号 $f(sy+\lambda_nx_n)=sf(y)+\lambda_nf(x_n)$ は、狭義凸性（$0<\lambda_n<1$）により $y=x_n$ を意味する。よって $x_1=\cdots=x_n$ である。$\square$

$\lambda_i>0$ となる $i$ だけを残しても両辺は変わらない（$a_i^0=1$）ので、すべての $\lambda_i>0$ としてよい。ex-cvxf-second-derivative の 2 により $-\log$ は $(0,\infty)$ 上の狭義凸関数なので、thm-cvxf-jensen により
$$ -\log\Bigl(\sum_i\lambda_ia_i\Bigr)\le-\sum_i\lambda_i\log a_i,\quad\text{すなわち}\quad\sum_i\lambda_i\log a_i\le\log\Bigl(\sum_i\lambda_ia_i\Bigr) $$
であり、等号は $a_1=\cdots=a_n$ のときに限る。$a_i^{\lambda_i}=e^{\lambda_i\log a_i}$ なので左辺は $\log\bigl(\prod_ia_i^{\lambda_i}\bigr)$ であり、$e^x$ は狭義単調増加なので、両辺の指数をとって結論を得る。$\square$

$a=0$ または $b=0$ なら左辺は $0$ で右辺は $0$ 以上である。$a,b>0$ なら、cor-cvxf-weighted-am-gm を $a_1=a^p$、$a_2=b^q$、$\lambda_1=\frac1p$、$\lambda_2=\frac1q$ に使うと、$(a^p)^{1/p}=e^{\frac1p\cdot p\log a}=a$、$(b^q)^{1/q}=b$ なので
$$ ab=(a^p)^{1/p}(b^q)^{1/q}\le\frac1pa^p+\frac1qb^q $$
であり、等号は $a^p=b^q$ のときに限る。$\square$

$A:=(\sum_ia_i^p)^{1/p}$、$B:=(\sum_ib_i^q)^{1/q}$ とおく。$A=0$ ならすべての $a_i$ が $0$ で両辺は $0$ であり、$B=0$ でも同じである。$A,B>0$ とし、各 $i$ について cor-cvxf-young を $a_i/A$、$b_i/B$ に使って $i$ について加えると
$$ \frac{1}{AB}\sum_ia_ib_i\le\frac1p\cdot\frac{\sum_ia_i^p}{A^p}+\frac1q\cdot\frac{\sum_ib_i^q}{B^q}=\frac1p+\frac1q=1 $$
であり、$AB$ を掛けて結論を得る。$\square$