Mittag-Lefflerの定理

$g$ も解なら、各 $a\in A$ の近くで $f-P_a$ と $g-P_a$ は $a$ に除去可能特異点をもつので、差 $g-f=(g-P_a)-(f-P_a)$ も $a$ に除去可能特異点をもつ。$A$ の外では $f,g$ はともに正則である。よって $g-f$ は $\Omega$ 上の正則関数に延びる。逆に $g=f+h$（$h$ は $\Omega$ 上で正則）なら、$g$ の極の集合と各極での主要部は $f$ と同じである。$h$ は極をもたず、$a$ の近くで $g-P_a=(f-P_a)+h$ は正則に延びるからである。

rem-ml-runge-source の取り尽くし $(K_n)$ をとる。$A_1:=A\cap K_1$、$A_n:=A\cap(K_n\setminus K_{n-1})$（$n\ge2$）とおくと、$A$ は互いに交わらない有限集合 $A_n$ の和集合である。$g_n:=\sum_{a\in A_n}P_a$ は有理関数で、$\mathbb{C}\setminus A_n$ で正則であり、$A_n\cap K_{n-1}=\emptyset$ だから $K_{n-1}$ を含む開集合の上で正則である。

$R_1:=0$ とし、$n\ge2$ では lem-ml-runge を $K=K_{n-1}$、$S=\hat{\mathbb{C}}\setminus\Omega$ に使って、極がすべて $\Omega$ の外にある有理関数 $R_n$ で $K_{n-1}$ の上で $|g_n-R_n|< 2^{-n}$ となるものをとる。$R_n$ は $\Omega$ 上で正則である。$$f:=\sum_{n\ge1}(g_n-R_n)$$とおく。$N$ を固定すると、$n>N$ では $K_N\subset K_{n-1}$ なので $K_N$ の上で $|g_n-R_n|< 2^{-n}$ であり、$\sum_{n>N}(g_n-R_n)$ は $K_N$ の上で一様に収束する。各項は $K_N$ の内部 $U_N$ で正則なので、和は $U_N$ で正則である（Leb26c Theorem 3.4.5、p. 84）。したがって $U_N$ の上で$$f=\sum_{n\le N}(g_n-R_n)+(U_N\text{ で正則な関数})$$であり、第 1 項は極を $A\cap K_N$ にもち、各 $a\in A\cap U_N$ での主要部が $P_a$ の有理型関数である（thm-ml-plane の段 3 と同じ理由）。$K_N\subset U_{N+1}$ なので $U_N$ は $\Omega$ を覆い、$f$ は $\Omega$ 上の有理型関数で、求める性質をもつ。

$K:=K_{j-1}$、$S:=S_j$ とおく。$K$ が空なら条件はなく、$S$ が空なら $u_j=0$ なので、どちらの場合も $R_j:=0$ でよい。両方とも空でないとする。Cauchy–Pompeiuの積分公式 の定義「Cauchy 変換」により $u_j(\zeta)=\frac1\pi\iint_S\frac{h_j(z)}{\zeta-z}\,dA(z)$ である。$K$ と $S$ は交わらないコンパクト集合なので、$(\zeta,z)\mapsto1/(\zeta-z)$ は $K\times S$ の上で一様連続である。$\varepsilon>0$ に対し $\delta>0$ を、$\zeta\in K$、$z,z'\in S$、$|z-z'|< \delta$ なら $|1/(\zeta-z)-1/(\zeta-z')|< \varepsilon$ となるようにとる。平面を一辺 $\delta/2$ の半開の正方形に分けて $S$ と交わらせると、$S$ は直径が $\delta$ より小さい互いに交わらない有限個の空でない Borel 集合 $E_1,\dots,E_M$ の和集合になる。$a_k\in E_k$ を選び、$c_k:=\frac1\pi\iint_{E_k}h_j\,dA$、$R_j(\zeta):=\sum_{k=1}^Mc_k/(\zeta-a_k)$ とおくと、$\zeta\in K$ で$$|u_j(\zeta)-R_j(\zeta)|\le\frac1\pi\sum_{k=1}^M\iint_{E_k}|h_j(z)|\,\Bigl|\frac1{\zeta-z}-\frac1{\zeta-a_k}\Bigr|\,dA(z)\le\frac\varepsilon\pi\iint_S|h_j|\,dA$$である。$\varepsilon$ を十分小さくとれば右辺は $2^{-j}$ より小さい。

$R_j$ の極は $S_j$ の有限個の点であり、その全体を $D$ とおく。$j\ge N+1$ なら $S_j\cap K_N=\emptyset$ なので、$D\cap K_N$ は有限集合であり、$D$ は $\Omega$ の中に集積点をもたない。$\Omega\setminus D$ の上で$$U:=\sum_{j\ge1}(u_j-R_j)$$を考える。$N$ を固定すると、$j\ge N+2$ の項は $\operatorname{int}K_{N+1}$ で正則（$u_j$ は $S_j$ の外で正則で、$S_j\cap K_{N+1}=\emptyset$）であり、$K_N$ の上で絶対値が $2^{-j}$ より小さい。よってその和は $K_N$ の上で一様に収束し、$\operatorname{int}K_N$ で正則である（Leb26c Theorem 3.4.5、p. 84）。したがって $\operatorname{int}K_N\setminus D$ の上で、$U$ は有限和 $\sum_{j\le N+1}(u_j-R_j)$ と正則関数の和であり、$C^\infty$ 級で$$\frac{\partial U}{\partial\bar z}=\sum_{j\le N+1}h_j=\psi_{N+1}h=h$$である。$N$ は任意なので、$U$ は $\Omega\setminus D$ の上で $C^\infty$ 級で $\partial U/\partial\bar z=h$ を満たす。

$U$ の $D$ での特異性を thm-ml-open で消す。$a\in D$ をとり、$a\in\operatorname{int}K_N$ となる $N$ をとる。$a$ を極にもちうる $R_j$ は $j\le N$ のものだけである。それらの $\frac1{\zeta-a}$ の係数の和を $\alpha_a$ とすると、$U(\zeta)+\frac{\alpha_a}{\zeta-a}$ は $a$ の近くで $C^\infty$ 級に延びる（残りの項は $a$ の近くで $C^\infty$ 級である）。$A:=\{a\in D\mid\alpha_a\neq0\}$ は $\Omega$ の中に集積点をもたないので、thm-ml-open により、$\Omega$ 上の有理型関数 $M$ で、極の集合が $A$、各 $a\in A$ での主要部が $-\frac{\alpha_a}{\zeta-a}$ であるものがある。$v:=U-M$ とおくと、各 $a\in D$ の近くで$$v=\Bigl(U+\frac{\alpha_a}{\zeta-a}\Bigr)-\Bigl(M+\frac{\alpha_a}{\zeta-a}\Bigr)$$であり（$\alpha_a=0$ なら $M$ は $a$ で正則）、どちらの括弧も $a$ で $C^\infty$ 級に延びる。よって $v$ は $\Omega$ 上の $C^\infty$ 級関数に延び、$\Omega\setminus D$ の上で $\partial v/\partial\bar z=\partial U/\partial\bar z=h$ である。両辺は $\Omega$ 上で連続で、$D$ は内点をもたないので、$\Omega$ 全体で $\partial v/\partial\bar z=h$ である。

段 1（正弦の式）．$|z|\le R$、$|n|\ge2R$ なら $|z-n|\ge|n|/2$ なので $\frac{1}{|z-n|^2}\le\frac{4}{n^2}$ であり、$S(z):=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{(z-n)^2}$ は $\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ のコンパクト集合の上で絶対かつ一様に収束し、$\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ で正則である（Leb26c Theorem 3.4.5、p. 84）。整数 $n$ の近くでは $n$ 番目以外の項が正則なので、$S$ の $n$ における主要部は $\frac{1}{(z-n)^2}$ である。一方 極(複素解析) の例「三角関数の極」の 3 により、$w=\pi(z-n)$ について $\frac{1}{\sin^2w}=\frac{1}{w^2}+\frac13+\cdots$ だから、$\frac{\pi^2}{\sin^2\pi z}$ の $n$ における主要部も $\frac{1}{(z-n)^2}$ である。したがって $g(z):=\frac{\pi^2}{\sin^2\pi z}-S(z)$ は整関数に延びる（prop-ml-uniqueness）。

$S(z+1)=S(z)$（絶対収束するので和の番号を 1 つずらせる）と $\sin^2\pi(z+1)=\sin^2\pi z$ により、$g(z+1)=g(z)$ である。$z=x+iy$、$0\le x\le1$、$|y|\ge1$ とする。$|\sin\pi z|^2=\sin^2\pi x+\sinh^2\pi y\ge\sinh^2\pi y$ なので $\bigl|\frac{\pi^2}{\sin^2\pi z}\bigr|\le\frac{\pi^2}{\sinh^2\pi y}$ である。また $n\le-1$ なら $|x-n|\ge|n|$、$n\ge2$ なら $|x-n|\ge n-1$ なので$$|S(z)|\le\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{(x-n)^2+y^2}\le\frac{2}{y^2}+2\sum_{m\ge1}\frac{1}{m^2+y^2}$$であり、右辺は $|y|\to\infty$ で $0$ に近づく（各項が $0$ に近づき、$\frac1{m^2+1}$ で押さえられる）。よって $|y|\to\infty$ のとき帯 $0\le x\le1$ の上で一様に $g(z)\to0$ である。$g$ は有界閉集合 $[0,1]\times[-1,1]$ の上で連続なので有界であり、周期性と合わせて $g$ は $\mathbb{C}$ 全体で有界である。Liouvilleの定理(複素解析) により $g$ は定数で、その値は極限 $0$ に等しい。

段 2（余接の式）．$\frac{2z}{z^2-n^2}=\frac1{z-n}+\frac1{z+n}$ であり、$|z|\le R$、$n\ge2R$ なら $\bigl|\frac{2z}{z^2-n^2}\bigr|\le\frac{2R}{n^2-R^2}\le\frac{8R}{3n^2}$ なので、余接の式の右辺の級数は $\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ のコンパクト集合の上で絶対かつ一様に収束する。Leb26c Theorem 3.4.5 により項別に微分でき、$\bigl(\frac1{z-n}+\frac1{z+n}\bigr)'=-\frac1{(z-n)^2}-\frac1{(z+n)^2}$、$(\pi\cot\pi z)'=-\frac{\pi^2}{\sin^2\pi z}$ である。したがって $h(z):=\pi\cot\pi z-\frac1z-\sum_{n\ge1}\frac{2z}{z^2-n^2}$ は $h'=-\frac{\pi^2}{\sin^2\pi z}+S(z)=0$ を満たし、連結な開集合 $\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ の上で定数である。各項は奇関数なので $h(-z)=-h(z)$ であり、定数 $c$ は $c=-c$ を満たすから $h=0$ である。