優秀環

$A$ 自身は新しい生成元を要しない有限型 $A$ 代数なので、J-2 の量化で $B=A$ とすれば J-1 を得る。J-1 で正則点集合が非空なら、その集合自身が非空開集合であるから J-0 である。
$C$ を有限型 $A$ 代数、$D$ を有限型 $C$ 代数とする。$C$ の有限個の $A$ 代数生成元と、$D$ の有限個の $C$ 代数生成元の像を合わせると、$D$ は有限型 $A$ 代数である。従って $A$ が J-2 なら $\operatorname{Reg}(D)$ は開であり、$C$ は J-2 となる。これらの環のNoether性は、Noether環上の有限変数多項式環とその商がNoetherであることによる。任意の商 $A/I$ は有限型 $A$ 代数であり、$A[1/f]\simeq A[U]/(fU-1)$ も有限型だから、二つの特殊例が従う。この証明は G 条件や普遍鎖状性の保存を用いない。$\square$

$\mathfrak p\in D(f)$ に対応する局所化環の素イデアルを $\mathfrak p'$ とすると、分数の普遍性から $(A[1/f])_{\mathfrak p'}\simeq A_{\mathfrak p}$ である。正則性を判定する局所環が同じだから集合の等式を得る。$\operatorname{Reg}(A)$ が開ならその $D(f)$ との交差も開である。逆に各 $\operatorname{Reg}(A)\cap D(f_i)$ が $D(f_i)$ 内で開なら、$D(f_i)$ 自体も全スペクトル内で開なので、その交差は全スペクトル内で開である。それらの和は $\operatorname{Reg}(A)$ となり、J-1 を得る。これは同一の局所環と開集合の比較であり、一般の正則点集合が常に開であるという主張ではない。$\square$

$B$ の素イデアルは冪零元 $x$ を含み、$B/(x)=k[y]$ なので $\operatorname{Spec}B$ の点は $k[y]$ の素イデアルと対応する。$y$ を逆にした環では $xy=0$ から $x=0$ となるため
$$B[1/y]=k[y,1/y].$$
その局所環は、体または一変数多項式環の高さ一の局所環であり正則である。
$y$ を含む点は $\mathfrak m=(x,y)$ だけである。$B_{\mathfrak m}$ の次元は $k[y]_{(y)}$ と同じ $1$。定義関係は $(x,y)^2$ に入るので $x,y$ の像は $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ の基底となり、埋込次元は $2$ である。従ってこの点は正則でない。
また $x$ の像はこの局所環で非零である。もし $s\notin(x,y)$ に対して $sx\in(x^2,xy)$ なら、多項式整域内で $x$ を約分して $s\in(x,y)$ となり矛盾する。極大イデアルの元はすべてこの非零元 $x$ を殺すので、極大イデアル内には非零因子がなく、深さは $0$。次元 $1$ と一致しない。
以上により $\operatorname{Reg}(B)=D(y)$ は開である。優秀性はこの一つの開集合だけで判定したのではなく、体上有限型環の基本定理を別に用いた。ここで証明したのは、この環の正則点集合と非 CM 性の具体的計算である。$\square$

$n=\dim A$ とする。鎖状なら、$0$ から $\mathfrak m$ までの飽和鎖はすべて最大長 $n$ をもつ。$\mathfrak p$ を通る鎖を連結すれば、高さと商の次元を加えた式を得る。逆方向には、以下の二つの素イデアル構成を使う。その証明も記す。
高さ一の跳躍は有限個。 固定した素イデアル $\mathfrak p$ の高さを $h$ とする。$\operatorname{ht}(\mathfrak q/\mathfrak p)=1$ かつ $\operatorname{ht}\mathfrak q>h+1$ となる $\mathfrak q$ は有限個である。まず $\mathfrak p$ 内に $h$ 個の元 $a_1,\ldots,a_h$ を取り、各前半のイデアルの最小素因子の高さがちょうどその長さとなるように選ぶ。帰納段階では有限個の最小素因子を素回避で避け、高さ定理で上限を与える。$I=(a_1,\ldots,a_h)$ の最小素因子の一つは $\mathfrak p$ である。
相異なる高さ一の $\mathfrak q/\mathfrak p$ が無限個あれば、その交差は $\mathfrak p$ である。交差が真に大きいなら、Noether 環の根基イデアルの有限最小素分解から、その各最小素を高さ一の $\mathfrak q$ が含む。高さ一なので両者は等しくなり、無限族が有限個になるという矛盾が生じる。
跳躍する $\mathfrak q$ が無限個あると仮定する。$I$ の $\mathfrak p$ 以外の最小素因子からそれぞれ $\mathfrak p$ 外の元を選んで積 $t$ を取る。交差が $\mathfrak p$ なので、$t$ を含まない跳躍素 $\mathfrak q_0$ がある。$b\in\mathfrak q_0\setminus\mathfrak p$ を選ぶと、$\mathfrak q_0$ 以下で $I+(b)$ を含む素は $\mathfrak q_0$ だけである。従って $\mathfrak q_0$ は $h+1$ 元生成イデアルの最小素因子となり、高さ定理で $\operatorname{ht}\mathfrak q_0\le h+1$。矛盾する。
高さと余高さを保つ無限族。 Noether 局所整域 $(C,\mathfrak n)$ の高さ一素イデアル $\mathfrak r$ が $d=\dim(C/\mathfrak r)>0$ を満たすなら、高さ一、余高さ $d$ の素イデアルが無限個ある。非零 $a\in\mathfrak r$ を選び、$(a)$ の $\mathfrak r$ 準素成分を $Q$ とする。他の準素成分に入り、$\mathfrak n\setminus\mathfrak r$ にある元 $y$ を選べる。必要な冪を取れば $(a):y^v=Q$ が全 $v\ge1$ で成立する。
$z=a/y$、$D=C[z]\subset\operatorname{Frac}C$、$I=zD$ と置く。$c\in I\cap C$ なら $y^Nc\in(a)$ となる $N$ があり、従って $c\in(a):y^N=Q$ である。逆に $c\in Q=(a):y$ なら $yc=ab$ と書け、$c=zb\in I$ である。よって $I\cap C=Q$。また $D=C+I$ なので $D/I=C/Q$ となる。$\mathfrak rD+I=\mathfrak rC[1/y]\cap D$ は高さ一の素イデアルであり、$\mathfrak N=\mathfrak nD+I$ は極大イデアルである。$D_{\mathfrak N}/I$ の次元は $d$。一元で割る次元不等式と鎖の連結から $\dim D_{\mathfrak N}=d+1$ を得る。
$v\ge1$ に対して $(z-y^v)$ の最小素因子 $\mathfrak Q_v\subset\mathfrak N$ を、$\dim(D_{\mathfrak N}/\mathfrak Q_vD_{\mathfrak N})$ が最大となるよう選ぶ。その次元は少なくとも $d$ である。$I+(y)$ の最小素因子の高さは $2$ なので、主イデアルの最小素因子 $\mathfrak Q_v$ は $y$ を含まない。$C[1/y]=D[1/y]$ の素鎖対応で $\mathfrak r_v=\mathfrak Q_v\cap C$ と $\mathfrak Q_v$ は同じ高さをもつ。一方 $a-y^{v+1}\in\mathfrak r_v$ は非零だから高さは少なくとも $1$。主イデアル定理による上限と合わせ高さは $1$、鎖の連結で余高さは $d$ となる。
$v< w$ なら $\mathfrak Q_v+\mathfrak Q_w$ は $y^v(1-y^{w-v})$ を含む。$D_{\mathfrak N}$ で後者の括弧は単元なので、もし二つの素が同じなら $I+(y)$ を含むことになり、高さ $1$ と $2$ が矛盾する。従って $\mathfrak r_v$ は相異なる無限族である。
今、高さの式を全 $\mathfrak p$ で仮定する。鎖状でなければ、隣接する $\mathfrak p\subsetneq\mathfrak P$ で $\operatorname{ht}\mathfrak P>\operatorname{ht}\mathfrak p+1$ となるものがある。$\mathfrak P=\mathfrak m$ なら商の次元が $1$ なので仮定式に直ちに反する。従って $d=\dim(A/\mathfrak P)>0$。$C=A/\mathfrak p$ の高さ一素 $\mathfrak P/\mathfrak p$ に第二の構成を適用すると、余高さ $d$ の無限族 $\mathfrak P_v/\mathfrak p$ を得る。仮定式からすべての $\operatorname{ht}\mathfrak P_v=n-d=\operatorname{ht}\mathfrak P$ となり、第一の有限性に矛盾する。従って全隣接対の高さ差は $1$ であり、全飽和鎖の長さは端点の高さ差となる。$n=0$ は体の一つの点で直接成立する。$\square$

$r=\operatorname{ht}\mathfrak p$ とする。弱 Jacobian 条件から $f_1,\ldots,f_r\in\mathfrak p$ と導分 $D_1,\ldots,D_r$ を取り、$h=\det(D_i f_j)\notin\mathfrak p$ にできる。導分は $D(a/s)=D(a)/s-aD(s)/s^2$ で局所化に延長する。
$S_{\mathfrak p}$ の極大イデアルを $\mathfrak q$ とする。$\sum c_jf_j\in\mathfrak q^2$ へ $D_i$ を施して剰余体へ落とすと、可逆行列から全 $c_j$ が $\mathfrak q$ に入る。従って $f_j$ は $r$ 次元の余接空間の基底であり、Nakayama により $\mathfrak pS_{\mathfrak p}=(f_1,\ldots,f_r)$。$\widehat S_{\mathfrak P}$ では $S\setminus\mathfrak p$ が単元になるので、同じ生成元が $\mathfrak p\widehat S_{\mathfrak P}$ を生成する。
導分は $D(\mathfrak m^N)\subset\mathfrak m^{N-1}$ により連続で、完成へ延長し、さらに $\widehat S_{\mathfrak P}$ へ局所化できる。$h$ は $\mathfrak P$ の外にあるため、同じ行列がその極大イデアルの余接空間でも $f_j$ の独立性を示す。正則局所環 $\widehat S_{\mathfrak P}$ では、これらは正則パラメータの一部であり、それで割った商は正則局所環である。完成で伸ばしたイデアル $\mathfrak p\widehat S$ が素であるとの先取りは用いない。$r=0$ の空行列・空列でも同じ結論となる。$\square$

二つの有限係数体の合成体も有限なので $A$ は環である。各 $c\in k$ は $c^p\in k^p$ を満たすため $k\subset A$。非零 $f\in A$ は $x^n u$ と書ける。$u$ とその逆級数の係数は同じ有限体 $l$ 内にあるので $u$ は $A$ の単元である。
非零イデアルの元の $x$ 付値は非負整数である。その最小値 $n$ の元から単元を除けば $x^n$ を得、全イデアルは $x^nA$ となる。従って $A$ は局所 PID、極大イデアルは $(x)$、素イデアルは $0,(x)$、次元と埋込次元はともに $1$ である。ゆえに Noether 正則局所環、実際には DVR である。有限係数の多項式はすべて $A$ に入り、$x^n$ で割っても係数体は変わらないので $A/x^nA=k[x]/(x^n)$。全段階を合わせて $\widehat A=R$ を得る。
$K=\operatorname{Frac}A$、$F=k((x))$ と置く。$K\cap R=A$ である。$g/h\in R$ に対して $h=x^n u$、$u^{-1}\in A$ と書けば、非負付値の条件から $g/x^n\in A$ となるからである。
帰納的に $b_n\in k\setminus k^p(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を選び、$f=\sum b_nx^n\in R$ とする。係数体の次数は各段階で真に増えるので有限にはならず、$f\notin A$。先の交叉式により $f\notin K$ でもある。一方 $f^p\in k^p[\![x]\!]\subset A$ である。$a=f^p$、$L=K(f)$ は次数 $p$ の有限純非分離拡大となる。
$A$ の生成点の形式ファイバーは $F$。その有限体拡大 $L/K$ による基底変換は
$$F\otimes_K L=F[T]/(T^p-a)=F[T]/((T-f)^p).$$
これは非零冪零元を持つ零次元局所環で、正則でない。形式ファイバーが体であることだけでは幾何学的正則性は保証されない。G 条件が失敗するので $A$ は準優秀でも優秀でもない。$\square$

有限支持列のイデアルを $J$、$i$ 成分だけが $1$ の列を $e_i$ とする。$J$ が有限個で生成されるなら、その支持の和集合の外では生成されるすべての列が零になる。しかしその外の $e_j$ も $J$ に入るので矛盾する。従って $E$ は Noether でない。
素イデアル $P$ である $e_i$ が外にあれば $e_i(1-e_i)=0$ より $1-e_i\in P$ となり、$P$ は $i$ 成分の評価の核である。全 $e_i$ が $P$ に入れば $J\subset P$ であり、$E/J=\mathbb Q$ なので $P=J$ である。前者の局所化では $e_i=1$ となって全元が $i$ 成分に等しい。後者では各列とその最終値との差を、対応する有限支持集合を避ける $1-\sum e_i\notin J$ で殺せる。どちらの局所環も $\mathbb Q$ となる。
従って、全局所環が零次元正則体であるというだけでは環全体の Noether 性は出ない。優秀環の定義は初めから Noether 条件を含む。正則環という語を Noether 条件なしの局所的な用法へ拡張した場合、その広い条件から優秀性を結論してはいけない。$\square$