有理多様体

$\mathbb{P}^m_k$ は $\mathbb{A}^m_k=\operatorname{Spec}k[t_1,\dots,t_m]$ を開集合として含むので、$K(\mathbb{P}^m_k)=k(t_1,\dots,t_m)$ である。1 は 双有理写像 の定理「関数体と支配的有理写像」の 3 である。2 は同じ定理の 1 による。支配的な有理写像 $\mathbb{P}^m_k\dashrightarrow X$ と $k$ 代数の準同型 $K(X)\to k(t_1,\dots,t_m)$ が 1 対 1 に対応する（体の準同型は単射なので、これは部分体との同型を与える）。3 は 双有理写像 の命題「双有理同値と同型な開集合」の 1 による。$\mathbb{P}^n_k$ の空でない開集合 $V$ は稠密な開集合 $\mathbb{A}^n_k$ と交わり、$V\cap\mathbb{A}^n_k$ は $\mathbb{A}^n_k$ の空でない開集合である。逆に $\mathbb{A}^n_k$ の開集合は $\mathbb{P}^n_k$ の開集合である。$\square$

1． $F$ は $x_0$ について 1 次である。$F=AB$ と分解すると、$x_0$ についての次数から一方、たとえば $A$ は $x_0$ を含まず、$x_0$ の係数と定数項を比べて $G=AB_1$、$H=AB_0$（$B=x_0B_1+B_0$）となる。よって $A$ が定数でなければ $A$ は $G$ と $H$ の共通因子である。逆に定数でない共通因子 $A$ があれば、$F=A\cdot(x_0G/A+H/A)$ で、$\deg F=d$ より右の因子も定数でないから $F$ は可約である。
2． $F$ は既約なので $S:=k[x_0,\dots,x_{n+1}]/(F)$ は整域である。$d\ge2$ なので各 $x_i$ は $S$ で $0$ でなく、$X\cap D_+(x_i)$ は整域 $(S_{x_i})_0\subset S_{x_i}$ のスペクトルで空でなく、どの 2 つも空でない開集合 $X\cap D_+(x_ix_j)$ で交わる。整なアフィン開集合で覆われ、どの 2 つも交わるスキームは既約かつ被約、すなわち整である。射影的なので $k$ 上分離的かつ有限型である。次元は 3 から従う（$X$ の空でない開集合が $n$ 次元の $D_+(G)$ と同型）。
3． $U:=D_+(G)\subset\mathbb{P}^n_k$、$V:=X\cap D_+(G)$ とおく（$G$ を $x_0$ を含まない多項式として $\mathbb{P}^{n+1}_k$ でも考える）。射影空間への射は、生成的な切断の組を共通の可逆元倍の違いを除いて与えれば定まる（Har77 II, Theorem 7.1、p. 150）ので、以下の計算は射の等式として成り立つ。
(a) $\pi$ は $D_+(G)$ の上の射である。$G$ は $x_1,\dots,x_{n+1}$ の $d-1$ 次式なので、$G$ が消えない所では $x_1,\dots,x_{n+1}$ は同時には消えず、$\mathcal{O}(1)$ を生成する。$\pi(V)\subset U$ である。
(b) $\psi$ は $U$ の上の射である。$U$ の上で $G$ は消えず、$x'$ も同時には消えないので、$G(x')x_1,\dots,G(x')x_{n+1}$ が $\mathcal{O}(d)$ を生成する。
(c) $\psi(U)\subset V$ である。$\lambda:=G(x')$ とおくと、斉次性から $G(\lambda x')=\lambda^{d-1}G(x')=\lambda^d$、$H(\lambda x')=\lambda^dH(x')$ なので
$$ F(-H,\lambda x')=-H\cdot G(\lambda x')+H(\lambda x')=-\lambda^dH+\lambda^dH=0 $$
であり、$\psi$ は閉部分スキーム $X=V_+(F)$ を経由する。さらに $\psi$ の像の点で $G$ の値は $G(\lambda x')=\lambda^d$ で消えないので、$\psi$ は $V$ に入る。
(d) $U$ の上で $\pi\circ\psi=\mathrm{id}_U$ である。$\pi(\psi([x']))=[\lambda x']=[x']$（$\lambda$ は可逆）。
(e) $V$ の上で $\psi\circ\pi=\mathrm{id}_V$ である。$X$ の上では $x_0G(x')=-H(x')$ が成り立つので、$\psi(\pi([x_0:x']))=[-H(x'):G(x')x']=[G(x')x_0:G(x')x']=[x_0:x']$（$G$ は $V$ の上で可逆）。
$G\neq0$ は整域 $k[x']$ の冪零でない元なので $U\neq\emptyset$ であり、$V=\psi(U)\neq\emptyset$ である。よって $X$ の空でない開集合 $V$ は $\mathbb{P}^n_k$ の空でない開集合 $U$ と同型で、thm-rv-function-field の 3 により $X$ は有理である。$\square$

支配的な有理写像 $f\colon\mathbb{P}^m_k\dashrightarrow X$ の代表 $(W,f)$ をとる。$W$ の $k$ 有理点が $W$ で稠密であることを示す。$W'\subset W$ を空でない開集合とすると、$W'\cap\mathbb{A}^m_k$ は $\mathbb{A}^m_k$ の空でない開集合なので、$0$ でない多項式 $g$ について $D(g)\subset W'$ となる。$k$ が無限体なので、$0$ でない多項式 $g\in k[t_1,\dots,t_m]$ には $g(a)\neq0$ となる $a\in k^m$ がある（$m$ についての帰納法：$g$ を $t_m$ の多項式とみて、$0$ でない係数に帰納法の仮定を使って $a_1,\dots,a_{m-1}$ を選ぶと、$g(a_1,\dots,a_{m-1},t_m)$ は $0$ でない 1 変数多項式で根は有限個）。この $a$ が $W'$ の $k$ 有理点である。
$k$ 上の射は $k$ 有理点を $k$ 有理点に写すので $f(W(k))\subset X(k)$ である。$f$ は連続なので $f(W)=f\bigl(\overline{W(k)}\bigr)\subset\overline{f(W(k))}$（閉包は $W$ と $X$ でとる）であり、$f(W)$ は $X$ で稠密だから $X(k)$ も稠密である。$\square$

$X$ は $\mathbb{P}^n_k$ と双有理同値で、どちらも滑らかな射影多様体なので、上の不変性により $\dim H^0(X,\Omega^p_X)=\dim H^0(\mathbb{P}^n_k,\Omega^p)$ である。Euler完全列 の定理「射影空間の微分形式のコホモロジー」（$q=0$、$p\ge1$）により右辺は $0$ である。$\square$