Schauderの不動点定理

コンパクト集合は閉集合で、$f(K)\subset K$ は相対コンパクトなので、thm-schauder-main を $C=K$ に当てればよい。$\square$

要点：存在はコンパクト性、一意性は中点が真に近いこと、Lipschitz 性は変分不等式 $\langle z-r(z),q-r(z)\rangle\le0$（$q\in Q$）から従う。

$m=\dim E$ とする。$m=0$ なら $Q$ は 1 点で明らかなので $m\ge1$ とする。基底を 1 つとって線形同型 $\Phi\colon E\to\mathbb{R}^m$ をつくる。有限次元では線形写像は連続なので $\Phi$ は同相写像であり、$Q':=\Phi(Q)$ はコンパクト凸集合、$g':=\Phi\circ g\circ\Phi^{-1}\colon Q'\to Q'$ は連続である。$Q'$ を含む閉球 $D=\{z\mid|z|\le R\}$ をとり、lem-schauder-projection の $r$ を使って
$$ h:=g'\circ r\colon D\to Q'\subset D $$
とおく。$D$ は閉単位球と同相なので、Brouwerの不動点定理（記事の命題「同相な空間への移し替え」とともに）により $h(z)=z$ となる $z\in D$ がある。$z=h(z)\in Q'$ なので $r(z)=z$、したがって $g'(z)=z$ であり、$x:=\Phi^{-1}(z)$ が $g$ の不動点である。$\square$

$K$ を $F(C)$ の閉包とする。$K$ の各点は $F(C)$ の点から距離 $\varepsilon$ 未満にあるので、開球 $B(y,\varepsilon)$（$y\in F(C)$）は $K$ を覆う。$K$ はコンパクトなので有限個 $B(y_1,\varepsilon),\dots,B(y_n,\varepsilon)$ で覆える。$x\in C$ について
$$ m_i(x):=\max\{\varepsilon-\|F(x)-y_i\|,\,0\},\qquad F_\varepsilon(x):=\frac{\sum_{i=1}^nm_i(x)\,y_i}{\sum_{i=1}^nm_i(x)} $$
とおく。$F(x)\in K$ はある $B(y_i,\varepsilon)$ に入るので分母は正であり、$m_i$ は連続なので $F_\varepsilon$ は連続である。$F_\varepsilon(x)$ は $y_i$ の凸結合なので $Q_\varepsilon$ に属する。$m_i(x)>0$ となるのは $\|F(x)-y_i\|<\varepsilon$ のときだけなので、
$$ \|F_\varepsilon(x)-F(x)\|=\Bigl\|\frac{\sum_im_i(x)\,(y_i-F(x))}{\sum_im_i(x)}\Bigr\|\le\frac{\sum_im_i(x)\,\|y_i-F(x)\|}{\sum_im_i(x)}<\varepsilon $$
である。$\square$

$k=1,2,\dots$ について $\varepsilon=1/k$ として lem-schauder-approx の $F_{1/k}$ と $Q_k:=Q_{1/k}$ をとる。$Q_k$ は $y_1,\dots,y_n$ の張る有限次元部分空間 $E_k$ に含まれる空でないコンパクト凸集合で（有限個の点の凸包は、単体からの連続写像の像なのでコンパクト）、$Q_k\subset C$ だから $F_{1/k}$ を $Q_k$ に制限した $Q_k\to Q_k$ は連続である。prop-schauder-brouwer-convex により $F_{1/k}(x_k)=x_k$ となる $x_k\in Q_k\subset C$ があり、
$$ \|F(x_k)-x_k\|=\|F(x_k)-F_{1/k}(x_k)\|<\frac1k $$
である。$F(x_k)$ はコンパクト集合 $K$（$F(C)$ の閉包）の点列なので、収束する部分列 $F(x_{k_j})\to x\in K$ がある。$C$ は閉集合で $F(C)\subset C$ なので $K\subset C$、とくに $x\in C$ である。上の評価から $x_{k_j}\to x$ でもあり、$F$ の連続性から $F(x)=\lim_jF(x_{k_j})=x$ である。$\square$

$X:=C(I_0;\mathbb{R}^n)$ に最大値ノルム $\|x\|_\infty$ を入れ、
$$ C:=\{x\in X\mid |x(t)-x_0|\le\delta\ (t\in I_0)\},\qquad F(x)(t):=x_0+\int_{t_0}^tf(s,x(s))\,ds $$
とおく。$C$ は定数関数 $x_0$ を含む閉凸集合である。$x\in C$ なら $|F(x)(t)-x_0|\le M|t-t_0|\le MT_0\le\delta$ なので $F(C)\subset C$ である。$f$ はコンパクト集合 $V$ 上で一様連続なので、$\varepsilon>0$ に対し $|y-z|<\eta$ なら $|f(s,y)-f(s,z)|<\varepsilon$ となる $\eta>0$ があり、$\|x-z\|_\infty<\eta$ なら $\|F(x)-F(z)\|_\infty\le T_0\varepsilon$ である。よって $F$ は連続である。
$F(C)$ の元はすべて $|F(x)(t)|\le|x_0|+\delta$、$|F(x)(t)-F(x)(s)|\le M|t-s|$ をみたすので、$F(C)$ の点列は各点有界かつ同程度連続であり、Arzelà–Ascoliの定理により一様収束する部分列をもつ。距離空間では、これから $F(C)$ の閉包の点列も収束する部分列をもつことが従い（閉包の点列 $z_k$ に $\|z_k-w_k\|_\infty<1/k$ となる $w_k\in F(C)$ をとる）、閉包はコンパクトである。
thm-schauder-main により $F(x)=x$ となる $x\in C$ がある。$x(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(s,x(s))\,ds$ の右辺は微積分学の基本定理により $C^1$ 級で、微分すると $x'(t)=f(t,x(t))$、また $x(t_0)=x_0$ である。$\square$

$X=C([0,1])$（最大値ノルム）、右辺を $F(x)(t)$ とし、$R:=L\max|k|$、$C:=\{x\in X\mid\|x\|_\infty\le R\}$ とおく。$|F(x)(t)|\le\int_0^1|k||g|\,ds\le R$ なので $F(X)\subset C$ である。$g$ は $[0,1]\times[-R,R]$ 上で一様連続なので、prf-schauder-peano と同じく $F\colon C\to C$ は連続である。$k$ は一様連続なので、$\varepsilon>0$ に対し $|t-t'|<\eta$ なら $|k(t,s)-k(t',s)|<\varepsilon$（すべての $s$）となる $\eta$ があり、そのとき $|F(x)(t)-F(x)(t')|\le L\varepsilon$ である。よって $F(C)$ は一様有界かつ同程度連続で、Arzelà–Ascoliの定理により相対コンパクトである。thm-schauder-main から不動点 $x=F(x)$ が解である。$\square$