解析接続

$T:=\{t\in[0,1]\mid D_t\cap E_t\text{ の上で }f_t=g_t\}$ とおく。$D_t\cap E_t$ は中心 $\gamma(t)$ の小さいほうの円板であり、連結である。
$0\in T$：条件 2 により $f_0$ と $g_0$ はどちらも $\gamma(0)$ のある近傍で $f$ に等しいので、$\gamma(0)$ の近傍で一致する。一致の定理により $D_0\cap E_0$ 全体で一致する。
$t\in[0,1]$ を任意にとる。条件 3 と $\gamma$ の連続性により $\delta>0$ を、$|s-t|<\delta$ ならば (a) $D_s\cap D_t$ 上で $f_s=f_t$、(b) $E_s\cap E_t$ 上で $g_s=g_t$、(c) $\gamma(s)\in D_t\cap E_t$ となるようにとる。$|s-t|<\delta$ のとき、$\gamma(s)$ は 4 つの開円板 $D_s,E_s,D_t,E_t$ のすべてに属するので、$\gamma(s)$ を中心とする小さい開円板 $B$ で 4 つすべてに含まれるものがある。$B$ の上では (a)(b) により $f_s=f_t$、$g_s=g_t$ である。
$T$ が開集合であること：$t\in T$ なら $B$ 上で $f_s=f_t=g_t=g_s$ であり、一致の定理により $D_s\cap E_s$ 全体で $f_s=g_s$、すなわち $s\in T$ である。
$T$ が閉集合であること：$t$ が $T$ の閉包に属すれば、$|s-t|<\delta$ を満たす $s\in T$ がある。$B$ 上で $f_t=f_s=g_s=g_t$ であり、一致の定理により $D_t\cap E_t$ 全体で $f_t=g_t$、すなわち $t\in T$ である。
$[0,1]$ は連結で $T$ は空でない開かつ閉の部分集合だから、$T=[0,1]$ である。

必要性：$(f_t,D_t)$ を解析接続とする。各 $\tau\in[0,1]$ について $\varepsilon_\tau>0$ を、$|s-\tau|<\varepsilon_\tau$ ならば $\gamma(s)\in D_\tau$ かつ $D_s\cap D_\tau$ 上で $f_s=f_\tau$ となるようにとる。開区間 $(\tau-\varepsilon_\tau,\tau+\varepsilon_\tau)$ たちはコンパクトな $[0,1]$ を覆うので、コンパクト距離空間の開被覆に対する Lebesgue の数の補題（細分 の定理「Lebesgue 数の存在」）により、十分細かい分点 $0=t_0<\dots< t_m=1$ をとれば、各 $[t_{k-1},t_k]$ はある $\tau_k$ の区間 $(\tau_k-\varepsilon_{\tau_k},\tau_k+\varepsilon_{\tau_k})$ に含まれる。$\Delta_k:=D_{\tau_k}$、$\varphi_k:=f_{\tau_k}$ とおく。1 は $\varepsilon_\tau$ のとり方から従う。$1\le k\le m-1$ について、$t_k$ は $\tau_k$ の区間にも $\tau_{k+1}$ の区間にも属するので、$D_{t_k}\cap\Delta_k$ 上で $f_{t_k}=\varphi_k$、$D_{t_k}\cap\Delta_{k+1}$ 上で $f_{t_k}=\varphi_{k+1}$ である。よって $\gamma(t_k)$ を含む開集合 $D_{t_k}\cap\Delta_k\cap\Delta_{k+1}$ の上で $\varphi_k=\varphi_{k+1}$ であり、一致の定理により $\Delta_k\cap\Delta_{k+1}$ 全体で 3 が成り立つ。同様に $0$ は $\tau_1$ の区間に属するので $\varphi_1=f_0$ が $\gamma(0)$ の近くで成り立ち、条件 2 と合わせて 2 を得る。$1$ は $\tau_m$ の区間に属するので $f_1=\varphi_m$ が $D_1\cap\Delta_m$ 上で成り立つ。
十分性：各 $t$ に中心 $\gamma(t)$ の開円板 $D_t$ と $f_t$ を次のように選ぶ。$t_{k-1}< t< t_k$ なら $D_t\subset\Delta_k$、$f_t:=\varphi_k|_{D_t}$。$1\le k\le m-1$ について $t=t_k$ なら、$\gamma(t_k)\in\Delta_k\cap\Delta_{k+1}$ なので $D_t\subset\Delta_k\cap\Delta_{k+1}$ ととり、$f_t:=\varphi_k|_{D_t}=\varphi_{k+1}|_{D_t}$。$t=0$ なら $D_0\subset\Delta_1$ を $\varphi_1=f$ が成り立つ近傍の中にとり $f_0:=\varphi_1|_{D_0}$、$t=1$ なら $D_1\subset\Delta_m$、$f_1:=\varphi_m|_{D_1}$。条件 1・2 は明らかである。条件 3：$t$ が開区間 $(t_{k-1},t_k)$ にあれば、近くの $s$ も同じ区間にあり、$f_s,f_t$ はどちらも $\varphi_k$ の制限なので重なりで一致する。$t=t_k$ なら、近くの $s$ に対する $f_s$ は $\varphi_k$ か $\varphi_{k+1}$ の制限であり、$f_t$ は $D_t$ 上で両方に等しいので、やはり $D_s\cap D_t$ 上で $f_s=f_t$ である。$t=0,1$ も同様である。こうして得た接続の終端の要素は $\varphi_m$ の制限であり、thm-ac-uniqueness により、ほかのどの接続の終端の要素も終点の近くで $\varphi_m$ に一致する。

$s\in[0,1]$ について、$\gamma_s$ に沿った接続の終端の要素の $b$ での一致の類を $\Phi(s)$ と書く（thm-ac-uniqueness により接続の選び方によらない）。$\Phi$ が局所的に一定であることを示す。
$s$ を固定し、$\gamma_s$ について lem-ac-chain の分点 $t_k$、円板 $\Delta_k$、関数 $\varphi_k$ をとる。各 $k$ についてコンパクト集合 $\gamma_s([t_{k-1},t_k])$ は開集合 $\Delta_k$ に含まれるので、$\Delta_k$ の補集合までの距離は正であり、その最小値を $\varepsilon>0$ とする。$H$ はコンパクトな正方形の上で一様連続なので、$\eta>0$ を、$|\sigma-s|<\eta$ ならばすべての $t$ で $|H(t,\sigma)-H(t,s)|<\varepsilon$ となるようにとる。すると $|\sigma-s|<\eta$ のとき $\gamma_\sigma([t_{k-1},t_k])\subset\Delta_k$ がすべての $k$ で成り立つ。さらに $\gamma_\sigma(0)=a=\gamma_s(0)$ なので、lem-ac-chain の条件 2・3 は $\gamma_\sigma$ に対してもそのまま成り立つ。同じ補題により、$\gamma_\sigma$ に沿った接続の終端の要素は $b$ の近くで $\varphi_m$ に一致する。これは $\gamma_s$ についても同じなので、$\Phi(\sigma)=\Phi(s)$ である。
したがって $S:=\{\sigma\in[0,1]\mid\Phi(\sigma)=\Phi(0)\}$ とその補集合はどちらも開集合であり、$0\in S$ と $[0,1]$ の連結性から $S=[0,1]$ である。特に $\Phi(1)=\Phi(0)$ である。

領域は弧状連結なので、各 $z\in W$ について $a$ から $z$ への $W$ の中の道 $\gamma$ がある。$\gamma$ に沿った接続の終端の要素を $(g,E)$ として $F(z):=g(z)$ と定める。
矛盾なく定まること：$a$ から $z$ への $W$ の中の 2 つの道は、$W$ が単連結なので、端点を止めて $W$ の中でホモトピックである（単連結空間 の記事の命題「道による特徴づけ」）。そのホモトピーの途中の道はすべて $W$ の中の $a$ から出発する道なので、仮定により接続できる。thm-ac-monodromy により 2 つの道の終端の要素は $z$ で一致し、$F(z)$ は道によらない。
正則であること：$z\in W$、道 $\gamma$、終端の要素 $(g,E)$ を上のとおりとし、$E\subset W$ としてよい（円板を小さくする）。$z'\in E$ について、$\gamma$ のあとに線分 $[z,z']$ をつないだ道（$[0,1]$ に径数を付け直す）を考える。前半は $\gamma$ に沿った接続、後半は線分上の点を中心とする $E$ の中の円板に $g$ を制限した要素とすれば、これはつないだ道に沿った解析接続であり、終端の要素は $z'$ の近くで $g$ である。よって $E$ 上で $F=g$ となり、$F$ は $E$ で正則である。
$F|_D=f$ であること：$z'\in D$ について、$a$ から $z'$ への線分は $D$ に含まれ、その上の点を中心とする $D$ の中の円板に $f$ を制限した要素が接続を与えるので、$F(z')=f(z')$ である。一意性は 一致の定理 の記事の系「解析接続の一意性」による。

$|z|<1$ なら $|z^{2^n}|\le|z|^n$ なので級数は収束し、$z=1$ では発散するから、収束半径は $1$ である。
$m\ge0$ と整数 $k$ について $\zeta:=e^{2\pi ik/2^m}$ とおく。$n\ge m$ なら $\zeta^{2^n}=e^{2\pi ik2^{n-m}}=1$ なので、$0< r<1$ について
$$ f(r\zeta)=\sum_{n< m}(r\zeta)^{2^n}+\sum_{n\ge m}r^{2^n},\qquad |f(r\zeta)|\ge\sum_{n\ge m}r^{2^n}-m $$
である。任意の $N$ について、$r\to1$ のとき $\sum_{n=m}^{m+N-1}r^{2^n}\to N$ だから、$\sum_{n\ge m}r^{2^n}\to\infty$ であり、$|f(r\zeta)|\to\infty$（$r\to1-0$）である。
単位円周の点 $\zeta_0$ が正則点だったとし、$B$、$g$ を定義のとおりとする。$B$ を小さくして $g$ が $B$ の閉包を含む開集合で正則としてよく、$g$ は閉包の上で有界、$|g|\le M$ である。$e^{2\pi ik/2^m}$ の形の点は単位円周の上で稠密なので、そのような点 $\zeta\in B$ がある。$r$ が $1$ に十分近ければ $r\zeta\in B\cap D(0,1)$ で $f(r\zeta)=g(r\zeta)$、したがって $|f(r\zeta)|\le M$ となり、$|f(r\zeta)|\to\infty$ に反する。よってどの点も正則点でない。