2次関数

$A$ は対称なので $p^{\top}Ax=(p^{\top}Ax)^{\top}=x^{\top}Ap$ である。よって
$$ (x-p)^{\top}A(x-p)=x^{\top}Ax-2p^{\top}Ax+p^{\top}Ap $$
である。$2Ap=-b$ の転置をとると $2p^{\top}A=-b^{\top}$（$A^{\top}=A$）なので、$-2p^{\top}Ax=b^{\top}x$ であり、
$$ (x-p)^{\top}A(x-p)=x^{\top}Ax+b^{\top}x+p^{\top}Ap=f(x)-c+p^{\top}Ap $$
となる。$x=p$ を代入すると左辺は $0$ なので $f(p)=c-p^{\top}Ap$ であり、これを代入すれば主張の式になる。$A$ が正則なら $2Ap=-b$ の解は $p=-\frac12A^{-1}b$ だけで、$p^{\top}Ap=\frac14b^{\top}A^{-1}AA^{-1}b=\frac14b^{\top}A^{-1}b$ である（$(A^{-1})^{\top}=A^{-1}$ を使った）。$\square$

平行移動 $(x,y)\mapsto(x-p,\,y-r)$ は距離を変えず、グラフ・$F$・$\ell$ をそれぞれ $y=ax^2$、$(0,\frac1{4a})$、$y=-\frac1{4a}$ に移すので、$p=r=0$ としてよい。$h:=\frac1{4a}$ とおく。点 $P=(x,y)$ について、$F$ までの距離の 2 乗は $x^2+(y-h)^2$、$\ell$ までの距離の 2 乗は $(y+h)^2$ である。両者が等しいことは
$$ x^2+y^2-2hy+h^2=y^2+2hy+h^2\iff x^2=4hy=\frac{y}{a}\iff y=ax^2 $$
と同値である。距離は $0$ 以上なので、2 乗が等しいことと距離が等しいことは同値である。$\square$

1：$z=Ax\in\operatorname{Im}A$、$y\in\operatorname{Ker}A$ なら $y^{\top}z=y^{\top}Ax=(Ay)^{\top}x=0$ なので $\operatorname{Im}A\subset(\operatorname{Ker}A)^{\perp}$ である。次元を比べる。$k=\dim\operatorname{Ker}A$ とし、$\operatorname{Ker}A$ の基底 $w_1,\dots,w_k$ を行に並べた $k\times n$ 行列を $W$ とすると、$(\operatorname{Ker}A)^{\perp}=\operatorname{Ker}W$ である。$W$ の階数は $k$ なので、次元公式により $\dim(\operatorname{Ker}A)^{\perp}=n-k$ である。一方、$A$ についての次元公式から $\dim\operatorname{Im}A=n-k$ である。包含関係にある同じ次元の部分空間なので等しい。
2：任意の $w\in\mathbb{R}^n$ と実数 $s$ について、半正定値性から
$$ 0\le(v+sw)^{\top}A(v+sw)=2s\,w^{\top}Av+s^2\,w^{\top}Aw $$
である（$v^{\top}Av=0$ と $A$ の対称性を使った）。$w^{\top}Av\neq0$ なら、$s$ を $w^{\top}Av$ と逆の符号で絶対値を十分小さくとると右辺が負になるので、$w^{\top}Av=0$ である。$w=Av$ とすれば $\|Av\|^2=0$、すなわち $Av=0$ である。$\square$

$A$ が半正定値でない場合。 $v^{\top}Av<0$ となる $v$ がある。実数 $t$ について $f(tv)=t^2\,v^{\top}Av+t\,b^{\top}v+c$ は、$t\to\infty$ で $-\infty$ に発散するので、$f$ は下に有界でない。
$A$ が半正定値で $b\notin\operatorname{Im}A$ の場合。 lem-qfn-image-kernel の 1 により $b\notin(\operatorname{Ker}A)^{\perp}$ なので、$b^{\top}v\neq0$ となる $v\in\operatorname{Ker}A$ がある。$Av=0$ なので $f(tv)=t\,b^{\top}v+c$ であり、$t$ を $b^{\top}v$ と逆の符号で $|t|\to\infty$ とすると $-\infty$ に発散する。
$A$ が半正定値で $b\in\operatorname{Im}A$ の場合。 $2Ap=-b$ となる $p$ がとれ、thm-qfn-complete により $f(x)=(x-p)^{\top}A(x-p)+f(p)\ge f(p)$ である。よって $f$ は下に有界で、$f(p)$ が最小値である。等号が成り立つのは $(x-p)^{\top}A(x-p)=0$ のときで、lem-qfn-image-kernel の 2 によりこれは $A(x-p)=0$、すなわち $2Ax=2Ap=-b$ と同値である（逆に $A(x-p)=0$ なら $(x-p)^{\top}A(x-p)=0$）。以上で 1 と 2 が示された。
3：最小点がただ 1 つあるとする。最小値があるので 1 により $A$ は半正定値で、2 により最小点の全体 $p+\operatorname{Ker}A$ が 1 点なので $\operatorname{Ker}A=\{0\}$ である。すると $v\neq0$ なら $Av\neq0$ で、lem-qfn-image-kernel の 2 の対偶から $v^{\top}Av\neq0$、半正定値なので $v^{\top}Av>0$ であり、$A$ は正定値である。逆に $A$ が正定値なら、$Av=0$ のとき $v^{\top}Av=0$ から $v=0$ なので $\operatorname{Ker}A=\{0\}$ で、$A$ は正則である。とくに $b\in\operatorname{Im}A=\mathbb{R}^n$ なので 2 が使え、最小点は $p+\operatorname{Ker}A=\{p\}$、$p=-\frac12A^{-1}b$ のただ 1 つである。$\square$

$z=\lambda x+(1-\lambda)y$ とおく。定数 $c$ と 1 次の部分 $b^{\top}x$ については、左辺への寄与は $\lambda c+(1-\lambda)c-c=0$、$\lambda b^{\top}x+(1-\lambda)b^{\top}y-b^{\top}z=0$ である。2 次の部分 $q(x)=x^{\top}Ax$ については、$A$ の対称性から $q(z)=\lambda^2q(x)+2\lambda(1-\lambda)x^{\top}Ay+(1-\lambda)^2q(y)$ なので
$$ \lambda q(x)+(1-\lambda)q(y)-q(z)=\lambda(1-\lambda)\bigl(q(x)-2x^{\top}Ay+q(y)\bigr)=\lambda(1-\lambda)\,(x-y)^{\top}A(x-y) $$
である（$\lambda-\lambda^2=\lambda(1-\lambda)$、$(1-\lambda)-(1-\lambda)^2=\lambda(1-\lambda)$ を使った）。
$f$ が凸であるとは、すべての $x,y$ と $0<\lambda<1$ で左辺が $0$ 以上であることである。$0<\lambda<1$ では $\lambda(1-\lambda)>0$ で、$x-y$ は任意のベクトル $v$ をとりうるので、これは「すべての $v$ で $v^{\top}Av\ge0$」と同値である。狭義凸（$x\neq y$、$0<\lambda<1$ で左辺が正）は「$v\neq0$ で $v^{\top}Av>0$」と同値である。$\square$

$g(t)=at^2+2bt+c$ とおく。
$a\neq0$ のとき、$g$ は $A=(a)$、1 次の係数 $2b$ の 2 次関数で、$\operatorname{Im}A=\mathbb{R}$ である。thm-qfn-min により、$g$ が下に有界であることは $a>0$ と同値で、そのとき最小値は $p=-b/a$ での値 $c-ap^2=c-\frac{b^2}{a}$ である。よって $g\ge0$ は「$a>0$ かつ $ac\ge b^2$」と同値であり、このとき $c\ge\frac{b^2}{a}\ge0$ である。逆に $a>0$、$b^2\le ac$ なら最小値は $0$ 以上である。
$a=0$ のとき、$g(t)=2bt+c$ がすべての $t$ で $0$ 以上であることは $b=0$ かつ $c\ge0$ と同値である（$b\neq0$ なら $t$ を $b$ と逆の符号で大きくとると負になる）。条件の側も、$a=0$ なら $b^2\le0$ から $b=0$ となり、$c\ge0$ と合わせて同じである。$\square$