単関数
概要
単関数（simple function）とは、可測空間上の実数値の可測関数で、有限個の値しかとらないものであり、可測集合の指示関数の有限個の 1 次結合 $\sum_ic_i1_{A_i}$ として書ける関数と同じである。非負単関数 $\sum_ic_i1_{A_i}$（$c_i\ge0$）の測度 $\mu$ による積分は $\sum_ic_i\mu(A_i)$ で定まり、その値は表し方によらない。拡大実数値の可測関数は、値の範囲を幅 $2^{-n}$ で切り捨てた単関数の列で各点近似でき、非負の関数なら近似を増加列にとれるので、Lebesgue 積分は単関数の積分の上限・極限として作られる。
単関数（simple function）は、有限個の値しかとらない可測関数である。値 $c_1,\dots,c_m$ と、各値をとる点の集合 $A_1,\dots,A_m$ が分かれば関数が決まるので、値が $0$ 以上なら、測度 $\mu$ についての積分を $\sum_ic_i\mu(A_i)$ と「値 × その値をとる集合の測度」の和で定めることができる。Lebesgue 積分は、まず単関数に対してこの和で積分を定め、一般の非負可測関数を下から単関数で近似して上限をとることで作られる。近似には、値の範囲を幅 $2^{-n}$ の区間に分け、各区間に値が入る点の集合ごとに切り捨てた値を与える単関数を使う。定義域を区間に分ける Riemann 積分の階段関数との違いはここにある。
定義
以下、$(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、集合 $A\subset X$ の指示関数を $1_A$（$A$ 上で $1$、$X\setminus A$ 上で $0$）と書く。
関数 $s\colon X\to\mathbb{R}$ が単関数であるとは、$s$ が $\mathcal{F}$-可測で、とる値が有限個であることをいう。値がすべて $0$ 以上の単関数を非負単関数という。複素数値の関数は、実部と虚部が単関数であるとき単関数という。
単関数の値はすべて実数である（$\pm\infty$ をとらない）。Axler20 2.88 は有限個の値をとる関数をすべて simple function と呼び、可測性を別に課している。Tao11 Definition 1.4.35 は $[0,+\infty]$ に値をとる（値 $+\infty$ も許す）可測な単関数を扱っている。この記事では、可測性を定義に含め、値は実数に限る。
関数 $s\colon X\to\mathbb{R}$ について、次は同値である。
- $s$ は単関数である。
- 有限個の $A_1,\ldots,A_m\in\mathcal{F}$ と $c_1,\ldots,c_m\in\mathbb{R}$ で $s=\sum_{i=1}^mc_i1_{A_i}$ と書ける。
- $s(X)$ は有限集合で、すべての $c\in s(X)$ について $s^{-1}(c)\in\mathcal{F}$ である。
このとき $s=\sum_{c\in s(X)}c\,1_{s^{-1}(c)}$ であり、この表し方を $s$ の標準表現という。$X\ne\emptyset$ のとき、$s=\sum_jd_j1_{B_j}$ で、$B_j$ が空でなく互いに交わらず和集合が $X$ であり、$d_j$ が互いに異なる表し方は、項の順序を除いて標準表現ただ 1 つである。
1 ⇒ 3：$s$ は可測なので $s^{-1}(c)=\{s\ge c\}\cap\{s\le c\}\in\mathcal{F}$ である（可測関数 の定理「可測性の判定」）。3 ⇒ 2：$X$ の各点 $x$ は、ちょうど 1 つの $c\in s(X)$ について $s^{-1}(c)$ に属するので、$s=\sum_{c\in s(X)}c\,1_{s^{-1}(c)}$（標準表現）である。2 ⇒ 1：各点での値は $c_1,\ldots,c_m$ のいくつかの和なので、とりうる値は高々 $2^m$ 個である。指示関数 $1_{A_i}$ は可測であり（可測関数 の例「指示関数」）、可測関数の実数倍と和は可測である（可測関数 の定理「演算と合成」）。
一意性：$s=\sum_jd_j1_{B_j}$ をそのような表し方とする。各点はちょうど 1 つの $B_j$ に属するので、$B_j$ の上で $s=d_j$ であり、$s(X)=\{d_j\}_j$ である。$x\in s^{-1}(d_j)$ が $B_k$ に属すれば $d_k=s(x)=d_j$ なので $k=j$ であり、$s^{-1}(d_j)\subset B_j$ である。逆の包含は明らかなので $B_j=s^{-1}(d_j)$ となり、この表し方は標準表現である。$\square$
Axler20 3.13 の直前に同じ形の表し方（standard representation）があり、2.88 の後では値 $0$ の項を除いた形の表し方を使っている。2 の表し方では $A_i$ が交わってもよく、係数が等しい項があってもよい。
単関数の全体は、和・差・積・$\max$・$\min$ で閉じている。$s,t$ が単関数なら、$s+t$ などの値は $s(X)$ と $t(X)$ の元の組から決まるので有限個であり、可測性は 可測関数 の定理「演算と合成」による。さらに、任意の関数 $\varphi\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ について $\varphi\circ s$ は単関数である。値は有限集合 $\varphi(s(X))$ に入り、各値 $d$ の逆像 $(\varphi\circ s)^{-1}(d)$ は $s^{-1}(c)$（$c\in s(X)$、$\varphi(c)=d$）の有限個の和集合だからである。可測関数の合成では $\varphi$ に Borel 可測性が要るが、単関数ではどんな $\varphi$ でもよい。
積分
$[0,\infty]$ の中の計算では $0\cdot\infty=\infty\cdot0=0$ と約束する。$\mu$ を $(X,\mathcal{F})$ 上の測度とする。
非負単関数 $s$ を、$c_i\ge0$、$A_i\in\mathcal{F}$ によって $s=\sum_{i=1}^mc_i1_{A_i}$ と表すとき、
$$
\int s\,d\mu:=\sum_{i=1}^mc_i\,\mu(A_i)\in[0,\infty]
$$
と定める。$E\in\mathcal{F}$ について $\int_Es\,d\mu:=\int s1_E\,d\mu$ とおく。
右辺は表し方を使って書かれているので、表し方によらないことを確かめる必要がある。
$s,t$ を非負単関数、$c\ge0$ とする。
- $\int s\,d\mu$ は表し方によらず、標準表現による値 $\sum_{c\in s(X)}c\,\mu(s^{-1}(c))$ に等しい。表し方の $A_i$ は交わってもよい。
- $\int(s+t)\,d\mu=\int s\,d\mu+\int t\,d\mu$、$\int cs\,d\mu=c\int s\,d\mu$。
- $s\le t$ ならば $\int s\,d\mu\le\int t\,d\mu$。
- $E\mapsto\int_Es\,d\mu$ は $(X,\mathcal{F})$ 上の測度である。
- $\int s\,d\mu < \infty$ であることと $\mu(\{s>0\}) < \infty$ であることは同値である。
- $s=\sum_{i=1}^mc_i1_{A_i}$ とする。$\varepsilon=(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m)\in\{0,1\}^m$ について、$\varepsilon_i=1$ なら $A_i$、$\varepsilon_i=0$ なら $X\setminus A_i$ をとり、それら $m$ 個の共通部分を $A^\varepsilon$ とおく。$2^m$ 個の $A^\varepsilon$ は $\mathcal{F}$ に属し、互いに交わらず、和集合は $X$ である。$A_i$ は $\varepsilon_i=1$ となる $A^\varepsilon$ の互いに交わらない和集合なので、有限加法性から $\mu(A_i)=\sum_{\varepsilon:\varepsilon_i=1}\mu(A^\varepsilon)$ である。項はすべて $[0,\infty]$ に入るので和の順序を入れ替えてよく、
$$ \sum_{i=1}^mc_i\,\mu(A_i)=\sum_{\varepsilon}\Bigl(\sum_{i:\varepsilon_i=1}c_i\Bigr)\mu(A^\varepsilon) $$
となる。$A^\varepsilon$ が空でなければ、その上で $s$ は定数 $\sum_{i:\varepsilon_i=1}c_i$ に等しい。空なら $\mu(A^\varepsilon)=0$ で、その項は $0$ である。したがって右辺は、空でない $A^\varepsilon$ について「その上での $s$ の値 × $\mu(A^\varepsilon)$」を足したものである。値 $c\in s(X)$ ごとに、$s^{-1}(c)$ はその上で $s=c$ となる空でない $A^\varepsilon$ の互いに交わらない和集合なので、右辺は $\sum_{c\in s(X)}c\,\mu(s^{-1}(c))$ に等しい。これは $s$ だけで決まる値である。 - $s=\sum_ic_i1_{A_i}$、$t=\sum_jd_j1_{B_j}$ を並べたものは $s+t$ の表し方であり、係数に $c$ を掛けたものは $cs$ の表し方である。1 によりどちらも積分の値を与える。
- $t-s$ は非負単関数であり（値は有限個で、差は可測）、2 から $\int t\,d\mu=\int s\,d\mu+\int(t-s)\,d\mu\ge\int s\,d\mu$ である。
- $s1_E=\sum_{c\in s(X)}c\,1_{s^{-1}(c)\cap E}$ は $s1_E$ の表し方なので、1 により $\int_Es\,d\mu=\sum_{c\in s(X)}c\,\mu(s^{-1}(c)\cap E)$ である。$E\mapsto\mu(s^{-1}(c)\cap E)$ は測度であり（測度 の命題「制限・和・像測度」の 1）、測度の有限個の非負の係数による和は測度である（同じ命題の 2）。
- 標準表現で $\int s\,d\mu=\sum_{c\in s(X),\,c>0}c\,\mu(s^{-1}(c))$ である。$s$ の正の値の最小値を $m$、最大値を $M$ とすると（正の値がなければ両辺とも $0$ で主張は明らか）、$\{s>0\}$ は $s^{-1}(c)$（$c>0$）の互いに交わらない和集合なので
$$ m\,\mu(\{s>0\})\le\int s\,d\mu\le M\,\mu(\{s>0\}) $$
であり、$0 < m\le M < \infty$ から主張が従う。$\square$
1 は Axler20 3.13 にある（そこでは係数に $\infty$ も許している）。値が正にも負にもなる単関数 $s$ は、$\mu(\{s\ne0\}) < \infty$ のとき $\int s\,d\mu:=\int s^+\,d\mu-\int s^-\,d\mu=\sum_{c\in s(X)}c\,\mu(s^{-1}(c))$ と積分でき（$s^{\pm}$ も単関数）、2 の線形性は実数の係数でも成り立つ（Lebesgue積分 の定理「積分の線形性と単調性」の 2 の特別な場合）。単関数 $1_{\mathbb{R}}$ の Lebesgue 測度についての積分は $\infty$ であり、5 のとおり積分が有限になるのは値が $0$ でない集合の測度が有限のときである。
非負の可測関数 $f$ の積分は、$\int f\,d\mu:=\sup\{\int s\,d\mu\mid s\text{ は非負単関数で }0\le s\le f\}$ と定義される（Lebesgue積分 の定義「非負可測関数の積分」）。$f$ 自身が単関数なら、3 によりこの上限は $s=f$ で達成されるので、2 つの定義は一致する。
単関数による近似
可測関数は、値の側を細かく分けることで単関数により近似できる。$n\ge1$ について関数 $\psi_n\colon[0,\infty]\to[0,\infty)$ を
$$
\psi_n(t):=\min\bigl\{n,\ 2^{-n}\lfloor2^nt\rfloor\bigr\}\quad(0\le t < \infty),\qquad \psi_n(\infty):=n
$$
と定める。$\psi_n(t)$ は、$t < n$ なら $t$ を $2^{-n}$ の倍数に切り捨てた値であり、$t\ge n$ なら $n$ である。
$f\colon X\to[-\infty,\infty]$ を可測関数とし、$s_n:=\psi_n\circ f^+-\psi_n\circ f^-$ とおく（$f^+:=\max(f,0)$、$f^-:=\max(-f,0)$）。
- 各 $s_n$ は単関数である。
- すべての $x$ で $|s_1(x)|\le|s_2(x)|\le\cdots\le|f(x)|$ であり、$s_n(x)$ は $f(x)$ と同じ符号をもつ（$s_n(x)f(x)\ge0$）。
- すべての $x$ で $s_n(x)\to f(x)$ である。
- $M\ge0$ とする。$n\ge M$ なら、$|f(x)|\le M$ となるすべての $x$ で $|f(x)-s_n(x)| < 2^{-n}$ である。とくに $f$ が有界なら $s_n$ は $f$ に一様収束する。
とくに $f\ge0$ なら、$0\le s_1\le s_2\le\cdots$ で、各点で $s_n\uparrow f$ である。
$\psi_n$ の性質を先に確かめる。$t\in[0,\infty)$ とし、$a_n(t):=2^{-n}\lfloor2^nt\rfloor$ とおく。
- $\lfloor2^nt\rfloor\le2^nt < \lfloor2^nt\rfloor+1$ から $0\le t-a_n(t) < 2^{-n}$ である。
- $2\lfloor y\rfloor$ は $2y$ 以下の整数なので $2\lfloor y\rfloor\le\lfloor2y\rfloor$ であり、$y=2^nt$ とすると $a_n(t)\le a_{n+1}(t)$ である。したがって $\psi_n(t)=\min\{n,a_n(t)\}\le\min\{n+1,a_{n+1}(t)\}=\psi_{n+1}(t)$ である。$\psi_n(\infty)=n < n+1=\psi_{n+1}(\infty)$ である。
- $\psi_n(t)\le a_n(t)\le t$ であり、$n\ge t$ なら $a_n(t)\le t\le n$ なので $\psi_n(t)=a_n(t)$、よって $0\le t-\psi_n(t) < 2^{-n}$ である。$\psi_n(\infty)=n\to\infty$ である。
- $\psi_n(0)=0$ であり、$\psi_n$ の値は $k2^{-n}$（$0\le k\le n2^n$）のどれかである。$g\colon X\to[0,\infty]$ が可測なら、$\{\psi_n\circ g=k2^{-n}\}$ は $k < n2^n$ のとき $\{k2^{-n}\le g < (k+1)2^{-n}\}$、$k=n2^n$ のとき $\{g\ge n\}$ であり、どれも $\mathcal{F}$ に属する。よって $\psi_n\circ g$ は非負単関数である。
$f^+$ と $f^-$ は可測である（$a\ge0$ なら $\{f^+>a\}=\{f>a\}$、$a < 0$ なら $\{f^+>a\}=X$。$f^-$ も同様）。各点で $f^+(x)$ と $f^-(x)$ の少なくとも一方は $0$ であり、$\psi_n(0)=0$ なので、$f(x)\ge0$ なら $s_n(x)=\psi_n(f^+(x))$、$f(x) < 0$ なら $s_n(x)=-\psi_n(f^-(x))$ である。とくに $|s_n(x)|=\psi_n(|f(x)|)$ で、$s_n(x)$ と $f(x)$ の符号は同じである。
- $\psi_n\circ f^{\pm}$ は単関数であり、単関数の差は単関数である。
- $|s_n|=\psi_n\circ|f|$ と、$\psi_n$ が $n$ について増加し $\psi_n(t)\le t$ であることから従う。
- $|f(x)| < \infty$ なら $n\ge|f(x)|$ で $0\le|f(x)|-|s_n(x)| < 2^{-n}$ であり、符号が同じなので $|f(x)-s_n(x)|=|f(x)|-|s_n(x)|\to0$ である。$f(x)=\pm\infty$ なら $s_n(x)=\pm n\to f(x)$ である。
- 3 の評価は $n\ge|f(x)|$ のときに成り立つので、$|f(x)|\le M\le n$ ならよい。
$f\ge0$ なら $f^-=0$、$s_n=\psi_n\circ f$ なので、最後の主張は 2 と 3 である。$\square$
この近似は Axler20 2.89 と同じ形である。$s_n$ の値が $k2^{-n}$ になる点の集合は $\{k2^{-n}\le f < (k+1)2^{-n}\}$ であり、近似は $f$ の値の範囲を等分して作られている。
- 関数 $f\colon X\to[-\infty,\infty]$ が可測であることと、ある単関数の列が各点で $f$ に収束することは同値である。
- 可測関数 $f\colon X\to[0,\infty]$ について、thm-sf-approx の $s_n$ は $\int f\,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int s_n\,d\mu$ を満たす。
- 可測なら thm-sf-approx の $s_n$ が求める列である。逆に単関数 $s_n$ が各点で $f$ に収束すれば、$f$ は可測関数の列の各点極限なので可測である（可測関数 の定理「上限・下限・極限」の 3）。2. $s_n$ は非負可測関数の増加列で $f$ に各点収束するので、Lebesgue積分 の定理「単調収束定理」から従う。$\square$
2 により、非負可測関数の積分は具体的な単関数の積分の極限として計算できる。$\mu$ が σ-有限測度 で、$Y_1\subset Y_2\subset\cdots$ が測度有限の可測集合で $X=\bigcup_nY_n$ となるものなら、$s_n1_{Y_n}$ も $f\ge0$ に増加して各点収束し、しかも $\mu(\{s_n1_{Y_n}\ne0\})\le\mu(Y_n) < \infty$ である。
- $1\le p < \infty$ とする。$\mu(\{s\ne0\}) < \infty$ を満たす単関数 $s$ の全体は $L^p(\mu)$ で稠密である。
- 単関数の全体は $L^\infty(\mu)$ で稠密である。
1 は Lp空間 の命題「単関数の稠密性」である。2：$f\in L^\infty(\mu)$ とし、$M:=\|f\|_\infty$ とする。$|f|\le M$ はほとんど至るところ成り立つ（Lp空間 の補題「本質的上限は達成される」）ので、$g:=f1_{\{|f|\le M\}}$ は $f$ とほとんど至るところ等しい有界な可測関数であり、$L^\infty(\mu)$ の同じ元を表す。thm-sf-approx の 4 により $g$ を近似する単関数 $s_n$ は $\sup_x|g(x)-s_n(x)|\le2^{-n}$（$n\ge M$）を満たすので、$\|f-s_n\|_\infty\le2^{-n}\to0$ である。複素数値なら、実部と虚部（どちらも絶対値は $M$ 以下）にそれぞれこの近似を当てて $s_n$ を作ると $\sup_x|g(x)-s_n(x)|\le\sqrt2\,2^{-n}$ となり、同じく $\|f-s_n\|_\infty\to0$ である。$\square$
2 では $\{s\ne0\}$ の測度が有限であることを要求していない。$\mathbb{R}$ 上の Lebesgue 測度では、測度有限の集合の外で $0$ になる単関数は定数関数 $1$ を $L^\infty$ で近似できない（Lp空間 の命題「単関数の稠密性」の後の説明）。
例
以下、$\lambda$ は $\mathbb{R}$ の Lebesgue 可測集合の σ-代数の上の Lebesgue 測度である。
$f(x)=x$（$x\in[0,1]$）を thm-sf-approx で近似する。$n\ge1$ では $f\le1\le n$ なので $s_n(x)=2^{-n}\lfloor2^nx\rfloor$ であり、$s_n$ は区間 $[k2^{-n},(k+1)2^{-n})$（$0\le k < 2^n$）の上で値 $k2^{-n}$、点 $1$ で値 $1$ をとる。1 点の測度は $0$ なので
$$
\int_{[0,1]}s_n\,d\lambda=\sum_{k=0}^{2^n-1}k2^{-n}\cdot2^{-n}=2^{-2n}\cdot\frac{(2^n-1)2^n}{2}=\frac12-\frac1{2^{n+1}}
$$
であり、$n\to\infty$ で $\int_{[0,1]}x\,d\lambda=\frac12$ に増加して近づく（cor-sf-limit の 2）。誤差 $f-s_n$ は $0$ 以上 $2^{-n}$ 未満で、thm-sf-approx の 4 のとおり一様に小さい。
$D:=1_{\mathbb{Q}\cap[0,1]}$ は値 $0,1$ だけをとり、$\mathbb{Q}\cap[0,1]$ は可算集合なので Borel 集合であるから、単関数である。標準表現から $\int D\,d\lambda=1\cdot\lambda(\mathbb{Q}\cap[0,1])=0$ である（可算集合の Lebesgue 測度は $0$）。$D$ は Riemann 積分できない（Lebesgue積分 の例「Dirichlet関数」）。
Riemann 積分の下限和・上限和は、定義域を区間に分けて各区間で定数をとる階段関数、すなわち有限個の区間の指示関数の 1 次結合（Axler20 3.46）の積分である。階段関数は Borel 可測な単関数だが、逆は成り立たない。
| 階段関数 | 単関数 | |
|---|---|---|
| 分けるもの | 定義域（有限個の区間） | 値（有限個の値をとる可測集合） |
| 値をとる集合 | 区間 | 任意の可測集合 |
| $1_{\mathbb{Q}\cap[0,1]}$ | 含まれない | 含まれる |
| 下から近づけたときの積分の上限 | Riemann 下積分 | Lebesgue 積分 |
$D=1_{\mathbb{Q}\cap[0,1]}$ は階段関数でない。$g=\sum_{i=1}^ma_i1_{I_i}$（$I_i$ は区間）とすると、$I_i$ の端点を小さい順に並べたとき、隣り合う端点の間の開区間（と、最小の端点より左・最大の端点より右の開区間）の上では、どの $1_{I_i}$ も定数なので $g$ も定数である。$(0,1)$ はこれらの開区間のどれかと長さ正の区間で交わるが、長さ正の区間は有理数と無理数をともに含むので、$D$ はその上で定数でない。よって $D\ne g$ である。
反例
| 外す条件・成り立たない含意 | 反例 | 起こること |
|---|---|---|
| def-sf-main の可測性 | Vitali 集合 $V$ の指示関数 $1_V$ | 値は $0,1$ の 2 つだが単関数でなく、$\lambda(V)$ が定まらないので「値 × 測度」の和が意味をもたない |
| def-sf-main の値が有限個 | $\mathbb{R}$ 上の $\lfloor x\rfloor$ | Borel 可測だが、値が無限個なので単関数でない |
| thm-sf-approx の 4 の有界性 | $\mathbb{R}$ 上の $f(x)=x$ | どの単関数 $s$ についても $\sup_x\lvert f(x)-s(x)\rvert=\infty$ |
| 下からの近似（上からの近似に替える） | $(0,1]$ 上の $f(x)=x^{-1/2}$ | $\int f\,d\lambda=2$ だが、$s\ge f$ となる単関数 $s$ はない |
各行は左の列の条件だけを破っている。
各行の確かめを開く
- 1 行目：Vitali集合 $V$ は Lebesgue 可測でない（Vitali集合 の系「Vitali集合は可測でない」）ので、可測関数 の例「指示関数」により $1_V$ は可測でない。Axler20 2.88 の広い意味では有限個の値をとる関数なので simple function だが、可測でない。
- 2 行目：$\lfloor x\rfloor$ は単調増加なので Borel 可測である（可測関数 の例「連続関数と単調関数」）。値は整数全体で無限個である。一方、$s_n:=\lfloor x\rfloor1_{[-n,n]}$ は単関数で、各点で $\lfloor x\rfloor$ に収束するので、cor-sf-limit の 1 とは矛盾しない。
- 3 行目：単関数は有限個の実数値しかとらないので有界であり、$\lvert s\rvert\le K$ とすると $x>K+R$ で $\lvert x-s(x)\rvert>R$ となる。よって上限は $\infty$ である。$f$ の各点での近似（thm-sf-approx の 3）は成り立つ。
- 4 行目：$\int_{(0,1]}x^{-1/2}\,d\lambda=2$ は Lebesgue積分 の例「有界でない関数 $1/\sqrt{x}$」にある。$s\ge f$ となる単関数 $s$ があれば $s$ は有界なので $f$ も有界になるが、$f(x)\to\infty$（$x\to+0$）に反する。したがって「$s\ge f$ となる単関数の積分の下限」は空集合の下限 $\infty$ となり、$2$ と一致しない。Lebesgue 積分を下からの近似で定義するのはこのためである。
補足
Banach 空間 $E$ に値をとる関数についても、互いに交わらない可測集合 $A_i$ と $v_i\in E$ による $s=\sum_iv_i1_{A_i}$ を単関数といい、$v_i\ne0$ となる $A_i$ の測度がすべて有限なら、積分を $\sum_i\mu(A_i)v_i$ と定める。Bochner積分 は、単関数の列でほとんどいたるところ近づけられる関数 $f$（強可測関数）のうち $\int\|f\|\,d\mu < \infty$ となるものに、この積分を広げたものである。$E$ には順序がないので、thm-sf-approx のような値の切り捨てによる近似は使えない。強可測性を、すべての連続線形汎関数との合成が零集合を除いて可測関数と一致すること（弱可測性）と値の本質的な可分性から判定する方法は Pettisの可測性定理 で扱う。
関連項目
- 前提: 可測関数, 測度
- 直後に読む: Lebesgue積分, Lp空間
- 比較: Riemann積分, σ-有限測度
- 発展: Bochner積分, Pettisの可測性定理
参考文献
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