Wedderburnの小定理

$x\ne0$ とする。写像 $y\mapsto xy$ は $xy=xy'$ なら $x(y-y')=0$ より $y=y'$ なので単射であり、$R$ は有限なので全射である。よって $xy=1$ となる $y$ がある。同様に $y\mapsto yx$ も全射なので $y'x=1$ となる $y'$ があり、$y'=y'(xy)=(y'x)y=y$ である。よって $x$ は可逆である。斜体の部分環は零因子をもたないので、後半は前半から従う。$\square$

$D$ を加法群とみて、その自己準同型 $\delta(y):=ya-ay$ を考える。$L_c(y):=cy$、$R_c(y):=yc$ とおくと $\delta=R_a-L_a$ であり、$R_a$ と $L_a$ は交換する。$D$ の標数は $p$ なので、二項展開の中間の係数 $\binom{p}{i}$（$0< i< p$）は $0$ となり、
$$ \delta^p=(R_a-L_a)^p=R_a^p-L_a^p=R_{a^p}-L_{a^p} $$
である。$K_0:=\mathbb{F}_p[a]$ の元の個数を $q$ とすると、$q$ は $p$ の冪で、$K_0$ の元は $x^q=x$ をみたす（有限体 の系「有限体における $x^q=x$」）。上の式をくり返し使うと $\delta^q=R_{a^q}-L_{a^q}=\delta$ である。
$\lambda\in K_0$ は $a$ と交換するので、$L_\lambda$ は $\delta$ と交換する。また $K_0$ の上で $t^q-t=\prod_{\lambda\in K_0}(t-\lambda)$ が成り立つ（左辺の $q$ 個の根が $K_0$ の元全体）。互いに交換する作用素 $\delta$ と $L_\lambda$（$\lambda\in K_0$）に $t\mapsto\delta$、$\lambda\mapsto L_\lambda$ を代入すると、
$$ 0=\delta^q-\delta=\Bigl(\prod_{\lambda\in K_0^\times}(\delta-L_\lambda)\Bigr)\circ\delta $$
を得る。
$a\notin Z(D)$ なので $\delta(y)\ne0$ となる $y$ がある。$K_0^\times$ の元を $\lambda_1,\dots,\lambda_{q-1}$ と並べ、$w_0:=\delta(y)$、$w_i:=(\delta-L_{\lambda_i})(w_{i-1})$ とおくと、上の式から $w_{q-1}=0$ である。$w_0\ne0$ なので、$w_{i-1}\ne0$ かつ $w_i=0$ となる $i$ がある。$x:=w_{i-1}$、$\lambda:=\lambda_i$ とおくと $\delta(x)=\lambda x$、すなわち $xa-ax=\lambda x$ であり、$xa=(a+\lambda)x$ を得る。$x\ne0$ なので $xax^{-1}=a+\lambda$ である。$\square$

$0$ でない係数をもつ関係 $\sum_jk_jx^j=0$ があったとして、$0$ でない係数の個数が最小のものをとる。$k\ne0$ なら $kx^j\ne0$ なので、$0$ でない係数は 2 つ以上あり、その番号を $j_0\ne j_1$ とする。$\sigma^{j_0}\ne\sigma^{j_1}$（$0\le j_0,j_1< s$）なので、$\sigma^{j_0}(c)\ne\sigma^{j_1}(c)$ となる $c\in K$ がある。$x^jc=\sigma^j(c)x^j$ に注意して、関係式に右から $c$ を掛けたものから、左から $\sigma^{j_0}(c)$ を掛けたものを引くと、$K$ が可換なので
$$ \sum_jk_j\bigl(\sigma^j(c)-\sigma^{j_0}(c)\bigr)x^j=0 $$
となる。$j_0$ の項は消え、$j_1$ の項の係数は $0$ でないので、これは $0$ でない係数がより少ない関係であり、最小性に反する。$\square$

要点：$\sigma$ が生成する群は $k\mapsto k^Q$（$Q:=\lvert F\rvert$）が生成する群に等しいので、$N(y)=y^{(Q^s-1)/(Q-1)}$ となり、巡回群 $K^\times$ の上の冪写像として像の大きさが $Q-1=\lvert F^\times\rvert$ になる。

元の個数についての帰納法で示す。$D$ を有限な斜体とし、$D$ より元の個数が少ない斜体はすべて可換であると仮定する。$D$ が可換でないとして矛盾を導く。標数を $p$ とする。
段 1（極大な可換部分体）：$D$ が可換でないので $a\notin Z(D)$ がとれる。$K:=C_D(a)$ は $D$ の部分斜体で、$a\notin Z(D)$ より $K\ne D$ なので、帰納法の仮定により $K$ は体である。$a\in K$ である。また $C_D(K)\subset C_D(a)=K$ であり、$K$ は可換なので $K\subset C_D(K)$、すなわち
$$ C_D(K)=K $$
である。
段 2（共役が $K$ を保つ）：lem-wedderburn-shift により、$x\in D^\times$ と $0$ でない $\lambda\in\mathbb{F}_p[a]$ で $xax^{-1}=a+\lambda$ となるものがある。$xa\ne ax$ なので $x\notin K$ である。$a$ と交換する元は $a$ の多項式 $a+\lambda$ とも交換するので $K=C_D(a)\subset C_D(a+\lambda)$ である。一方 $C_D(a+\lambda)=C_D(xax^{-1})=xC_D(a)x^{-1}=xKx^{-1}$ は $K$ と同じ個数の元からなる。よって $xKx^{-1}=K$ であり、$\sigma(k):=xkx^{-1}$ は体 $K$ の自己同型である。$\sigma(a)=a+\lambda\ne a$ なので $\sigma$ は恒等写像でなく、その位数 $s$ は $2$ 以上である。
段 3（$x^s$ は固定体に入る）：$x^skx^{-s}=\sigma^s(k)=k$（$k\in K$）なので $x^s\in C_D(K)=K$ である。さらに $\sigma(x^s)=x\,x^s\,x^{-1}=x^s$ なので、$c:=x^s$ は固定体 $F:=\{k\in K\mid\sigma(k)=k\}$ の $0$ でない元である。
段 4（$u^s=1$ となる元）：lem-wedderburn-norm により、$N(y)=c^{-1}$ となる $y\in K^\times$ がある。$u:=yx$ とおく。$xk=\sigma(k)x$（$k\in K$）をくり返し使うと、$j\ge1$ について
$$ u^j=N_j(y)\,x^j,\qquad N_j(y):=y\,\sigma(y)\cdots\sigma^{j-1}(y) $$
である（$u^{j+1}=N_j(y)x^j\,yx=N_j(y)\sigma^j(y)x^{j+1}$）。とくに $u^s=N(y)x^s=c^{-1}c=1$ である。
段 5（矛盾）：$x\notin K$ かつ $y\in K^\times$ なので $u\notin K$、とくに $u\ne1$ である。
$$ 0=1-u^s=(1-u)(1+u+\cdots+u^{s-1}) $$
で $1-u\ne0$ は可逆なので、$\sum_{j=0}^{s-1}u^j=0$、すなわち
$$ \sum_{j=0}^{s-1}N_j(y)\,x^j=0\qquad(N_0(y):=1) $$
である。係数 $N_j(y)$ はすべて $K^\times$ の元なので、これは lem-wedderburn-independence に反する。よって $D$ は可換である。$\square$

lem-wedderburn-finite-domain により斜体であり、thm-wedderburn-little により可換である。$\square$

$S:=\{\sum_{g\in G}c_gg\mid c_g\in\mathbb{F}_p\}$ とおく。$\mathbb{F}_p$ は $1$ の整数倍の全体で $D$ の中心に含まれ、$G$ は積で閉じているので、$S$ は $1$ を含み加法・乗法で閉じた $D$ の部分環であり、元の個数は高々 $p^{\lvert G\rvert}$ である。斜体の部分環なので零因子をもたず、lem-wedderburn-finite-domain により $S$ は有限な斜体、thm-wedderburn-little により有限体である。$G$ はこの体の乗法群の有限部分群なので巡回群である（有限体 の定理「有限体の乗法群の構造」）。$\square$

1：中心単純環 の定理「斜体上の行列代数としての表示」により、$A\cong M_n(D)$ となる $\mathbb{F}_q$ 上有限次元の中心斜体 $D$ がある。$D$ は有限集合なので、thm-wedderburn-little により可換であり、中心 $\mathbb{F}_q$ に一致する。よって $A\cong M_n(\mathbb{F}_q)$ である。Brauer群 の命題「斜体による代表」により $\mathrm{Br}(\mathbb{F}_q)$ の各類は中心斜体を 1 つ含み、それは $\mathbb{F}_q$ に限るので、$\mathrm{Br}(\mathbb{F}_q)$ は単位元 $[\mathbb{F}_q]$ だけからなる。
2：有限な環の左イデアルの減少列は止まるので、有限な単純環 $R$ は左 Artin 環である。単純環 の定理「単純環の構造定理（Wedderburn の定理）」により、ある斜体 $D$ と $n\ge1$ で $R\cong M_n(D)$ となる。$D$ はスカラー行列として $M_n(D)$ に含まれるので有限であり、thm-wedderburn-little により体である。$\square$