Rédei記号

$k_1:=\mathbb{Q}(\sqrt{p_1})$ とし、$\alpha':=x-y\sqrt{p_1}$ とおくと $\alpha\alpha'=x^2-p_1y^2=p_2z^2$ である。$z=0$ なら $x^2=p_1y^2$ で、$\sqrt{p_1}$ は無理数なので $x=y=0$ となり仮定に反する。よって $z\ne0$、$\alpha\ne0$ である。
$\alpha$ は $K$ の平方でない。 $K=k_1(\sqrt{p_2})$ の元 $\beta=c+d\sqrt{p_2}$（$c,d\in k_1$）が $\beta^2=\alpha$ をみたすとすると、$\beta^2=c^2+p_2d^2+2cd\sqrt{p_2}$ で $\alpha\in k_1$ だから $cd=0$、すなわち $\alpha=c^2$ または $\alpha=p_2d^2$ である。$k_1$ のノルム $N$ をとると $N(\alpha)=\alpha\alpha'=p_2z^2$ で、前者なら $p_2z^2=N(c)^2$、後者なら $p_2z^2=p_2^2N(d)^2$ となり、どちらでも $p_2$ が有理数の平方になって矛盾する。よって $[R:K]=2$、$[R:\mathbb{Q}]=8$ である。
正規性。 $\sqrt{\alpha'}:=\sqrt{p_2}\,z/\sqrt\alpha$ とおくと $(\sqrt{\alpha'})^2=p_2z^2/\alpha=\alpha'$ で、$\sqrt{\alpha'}\in R$ である。$\sqrt\alpha$ の $\mathbb{Q}$ 上の共役は $\pm\sqrt\alpha,\pm\sqrt{\alpha'}$ に限られ（$\alpha$ の共役は $\alpha,\alpha'$）、すべて $R$ に入るので、$R/\mathbb{Q}$ は Galois 拡大である。
群の構造。 $\sqrt{p_1}\mapsto-\sqrt{p_1}$、$\sqrt{p_2}\mapsto\sqrt{p_2}$ となる $\tau$ と、$\sqrt{p_1}\mapsto-\sqrt{p_1}$、$\sqrt{p_2}\mapsto-\sqrt{p_2}$ となる $\rho$ を $\operatorname{Gal}(R/\mathbb{Q})$ からとる。どちらも $\alpha$ を $\alpha'$ に写すので、符号 $e,c\in\{\pm1\}$ があって
$$ \tau(\sqrt\alpha)=e\frac{\sqrt{p_2}\,z}{\sqrt\alpha},\qquad\rho(\sqrt\alpha)=c\frac{\sqrt{p_2}\,z}{\sqrt\alpha} $$
である。直接計算すると
$$ \tau^2(\sqrt\alpha)=\frac{e\sqrt{p_2}\,z}{\tau(\sqrt\alpha)}=\sqrt\alpha,\qquad\rho^2(\sqrt\alpha)=\frac{c\,(-\sqrt{p_2})\,z}{\rho(\sqrt\alpha)}=-\sqrt\alpha $$
なので、$\tau$ の位数は $2$、$\rho$ の位数は $4$ で、$\rho^2$ は $\operatorname{Gal}(R/K)$ の生成元である。さらに
$$ \tau\rho(\sqrt\alpha)=\frac{c\sqrt{p_2}\,z}{\tau(\sqrt\alpha)}=ce\sqrt\alpha,\qquad\rho\tau(\sqrt\alpha)=\frac{e(-\sqrt{p_2})z}{\rho(\sqrt\alpha)}=-ce\sqrt\alpha $$
なので $\tau\rho\ne\rho\tau$ である。位数 $8$ の非可換群は $D_8$ と $4$ 元数群 $Q_8$ だけで、$Q_8$ の位数 $2$ の元は $1$ つしかない。$\tau$ と $\rho^2$ は相異なる位数 $2$ の元（$\tau$ は $\sqrt{p_1}$ を動かし、$\rho^2$ は $K$ を固定する）なので、$\operatorname{Gal}(R/\mathbb{Q})\cong D_8$ である。$D_8$ の中心は位数 $2$ で、位数 $4$ の元 $\rho$ の $2$ 乗 $\rho^2$ で生成されるので、中心は $\operatorname{Gal}(R/K)=\{1,\rho^2\}$ である。$\square$

$R$ は $p_1,p_2$ と無限素点の外で不分岐で、$p_3\ne p_1,p_2$ なので、$p_3$ は不分岐であり、Frobenius 元 $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}$ が定まる。
$\left(\frac{p_1}{p_3}\right)=1$ なので、$p_3$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{p_1})$ で分解し、そこでの Frobenius 元は自明である（Frobenius元 の記事の例「2 次体と平方剰余」）。$\mathbb{Q}(\sqrt{p_2})$ でも同様である。$\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ から $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{p_1})/\mathbb{Q})\times\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{p_2})/\mathbb{Q})$ への制限の積は単射なので、Frobenius 元の制限との両立（Frobenius元 の記事の定理「Frobenius元の中間体への移り方」）により、$\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}$ の $K$ への制限は自明である。よって $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}\in\operatorname{Gal}(R/K)$ で、prop-redei-dihedral によりこれは中心である。
$p_3$ の上のほかの素イデアルは $g\mathfrak{P}$（$g\in\operatorname{Gal}(R/\mathbb{Q})$）の形で、$\operatorname{Frob}_{g\mathfrak{P}}=g\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}g^{-1}=\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}$ である（共役の式は Frobenius元 の記事の命題「Frobenius元の基本性質」、最後の等号は中心であることによる）。剰余次数 $f$ は $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}$ の位数なので $1$ か $2$ で、$f=1$ と $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}=1$ は同値である。$\operatorname{Gal}(R/K)=\{1,\rho^2\}$ を $\{\pm1\}$ と同一視すれば、$\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}$ は $[p_1,p_2,p_3]$ に一致する。$\square$

$s$ によらないこと。 $(x+ys)(x-ys)=x^2-y^2s^2\equiv x^2-p_1y^2=p_2z^2\pmod{p_3}$ で、$\left(\frac{p_2}{p_3}\right)=1$、$p_3\nmid z$ なので、右辺は $p_3$ で割り切れない平方剰余である。したがって $x\pm ys$ はどちらも $p_3$ で割り切れず、$\left(\frac{x+ys}{p_3}\right)\left(\frac{x-ys}{p_3}\right)=1$、すなわち $2$ つの Legendre 記号は等しい。
$K$ の素イデアル。 $p_3$ は $K$ で完全分解する（prop-redei-well-defined の証明の前半）。$p_3$ の上の $K$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ をとると、剰余体は $\mathbb{F}_{p_3}$ で、$\sqrt{p_1}$ の像は $p_1$ の平方根なので $\pm s$ のどちらかである。前半によりどちらでもよいので、それを $s$ とする。$\alpha=x+y\sqrt{p_1}\in\mathcal{O}_K$ の $\mathfrak{p}$ での像は $x+ys\ne0$ である。
$R/K$ での分解。 $R=K(\sqrt\alpha)$ で、$\sqrt\alpha$ の最小多項式は $h(T)=T^2-\alpha$、その判別式は $4\alpha$ である。$p_3$ は奇素数で $\alpha\notin\mathfrak{p}$ なので、$4\alpha$ は $\mathfrak{p}$ に属さない。代数体における素イデアルの分解 の記事の補題「判別式を掛けると $\mathcal{O}_K[\alpha]$ に入る」により $4\alpha\,\mathcal{O}_R\subset\mathcal{O}_K[\sqrt\alpha]$ で、$4\alpha$ は $\mathfrak{p}$ を法として可逆なので、同記事の定理「Kummer–Dedekindの定理」の条件 (KD) が $\mathfrak{p}$ で成り立つ。よって $\mathfrak{p}$ が $R$ で $2$ つに分解することと、$\bar h(T)=T^2-(x+ys)$ が $\mathbb{F}_{p_3}[T]$ で $1$ 次式の積になること、すなわち $\left(\frac{x+ys}{p_3}\right)=1$ は同値である。
まとめ。 $R/\mathbb{Q}$ は Galois 拡大なので、$p_3$ の上の素イデアルの剰余次数はすべて等しい。$p_3$ は $K$ で完全分解するので、$p_3$ が $R$ で完全分解することと、$\mathfrak{p}$ が $R/K$ で分解することは同値である。前段と合わせて主張を得る。$\square$