零化空間

要点：1 は評価写像の核の共通部分であることから、ほかは定義からすぐに従う。

1：${}^\perp(M^\perp)$ は $M$ を含む閉集合なので（prop-ann-basic の 1・4）、$\overline M$ を含む。逆に $x_0\notin\overline M$ とする。$\overline M$ は閉部分空間なので、Hahn–Banachの定理 の系「閉部分空間の外の点を検出する汎関数」により、$\overline M$ 上で $0$、$f(x_0)\ne0$ となる $f\in X^*$ がある。$f\in M^\perp$ なので $x_0\notin{}^\perp(M^\perp)$ である。
2：各 $x\in X$ について $g\mapsto g(x)$ は弱スター位相で連続である（基本近傍の形から）。したがって $({}^\perp N)^\perp=\bigcap_{x\in{}^\perp N}\{g: g(x)=0\}$ は弱スター閉で、$N$ を含むので $\overline N^{w*}$ を含む。
逆に $f_0\notin\overline N^{w*}$ とする。$f_0$ の基本近傍で $N$ と交わらないもの、すなわち $x_1,\dots,x_n\in X$ と $\varepsilon>0$ で
$$ g\in N\ \Longrightarrow\ \max_i|g(x_i)-f_0(x_i)|\ge\varepsilon $$
となるものがある。$\Phi\colon X^*\to\mathbb K^n$ を $\Phi(g)=(g(x_1),\dots,g(x_n))$ と定めると、$\Phi(N)$ は $\mathbb K^n$ の部分空間で、上の性質から $\Phi(f_0)\notin\Phi(N)$ である。有限次元の線形代数（双対空間(線形代数) の定理「零化空間の次元」の 3）により、$\Phi(N)$ の上で $0$、$\Phi(f_0)$ で $0$ でない線形汎関数 $(w_i)\mapsto\sum_ic_iw_i$ がある。$x:=\sum_ic_ix_i$ とおくと、$g\in N$ について $g(x)=\sum_ic_ig(x_i)=0$ なので $x\in{}^\perp N$ であり、$f_0(x)=\sum_ic_if_0(x_i)\ne0$ である。よって $f_0\notin({}^\perp N)^\perp$ である。
3：$M^\perp$ は 2 の前半と同じ理由で弱スター閉であり、${}^\perp N$ は閉である（prop-ann-basic の 1）。$M$ が閉なら 1 から ${}^\perp(M^\perp)=M$、$N$ が弱スター閉なら 2 から $({}^\perp N)^\perp=N$ である。包含の向きは prop-ann-basic の 2 による。$\square$

$\overline N\subset\overline N^{w*}=({}^\perp N)^\perp$ である。逆に $f_0\notin\overline N$ なら、ノルム空間 $X^*$ に Hahn–Banachの定理 の系「閉部分空間の外の点を検出する汎関数」を用いて、$\overline N$ 上で $0$、$\xi(f_0)\ne0$ となる $\xi\in X^{**}$ がとれる。反射性から $\xi(g)=g(x)$（$g\in X^*$）となる $x\in X$ があり、$x\in{}^\perp N$、$f_0(x)\ne0$ なので $f_0\notin({}^\perp N)^\perp$ である。$\square$

要点：1 は商写像が開単位球を開単位球の上へ写すことから、2 は Hahn–Banach のノルムを保つ延長から、3 は 1 と「点でノルムを実現する汎関数」から従う。

要点：ノルム空間が有限次元なら連続双対と次元が一致し、無限次元なら連続双対も無限次元であることを、thm-ann-quotient の 2 つの同型に当てはめる。

1：前半は prop-ann-basic の 5、後半は前半と thm-ann-double の 1 による。
2：$G\cap L\subset G$、$G\cap L\subset L$ と prop-ann-basic の 2 から $G^\perp,L^\perp\subset(G\cap L)^\perp$ である。prop-ann-basic の 5 と thm-ann-double の 1（$G,L$ は閉）から ${}^\perp(G^\perp+L^\perp)={}^\perp(G^\perp)\cap{}^\perp(L^\perp)=G\cap L$ である。
3：$Y:=X/G\times X/L$ にノルム $\|(a,b)\|=\max(\|a\|,\|b\|)$ を入れる。開写像定理 の命題「商空間の完備性と商写像」の 2 から $X/G$、$X/L$ は Banach 空間で、$Y$ も Banach 空間である。$\pi_G,\pi_L$ を商写像とし、
$$ S\colon X\to Y,\qquad Sx:=(\pi_Gx,\pi_Lx) $$
とおく。$S$ は有界線形で、$\ker S=G\cap L$ である。
$S$ の双対作用素の像。 $\Lambda\in Y^*$ に $(\varphi,\psi)=(\Lambda(\cdot,0),\Lambda(0,\cdot))$ を対応させると、$(X/G)^*\times(X/L)^*$ への線形な全単射で、$\max(\|\varphi\|,\|\psi\|)\le\|\Lambda\|\le\|\varphi\|+\|\psi\|$ を満たす。双対作用素 $S'\Lambda=\Lambda\circ S$（閉値域定理 の定義「双対作用素」）は
$$ S'\Lambda=\varphi\circ\pi_G+\psi\circ\pi_L $$
であり、thm-ann-quotient の 1 により $\varphi\circ\pi_G$ は $G^\perp$ 全体を、$\psi\circ\pi_L$ は $L^\perp$ 全体を動く。よって $R(S')=G^\perp+L^\perp$ である。
$S$ の像。 $(\pi_Ga,\pi_Lb)\in R(S)$ であることは $a-b\in G+L$ と同値である。実際、$a-b=g+l$（$g\in G$、$l\in L$）なら $x:=a-g=b+l$ について $Sx=(\pi_Ga,\pi_Lb)$ であり、逆に $\pi_Gx=\pi_Ga$、$\pi_Lx=\pi_Lb$ なら $a-b=(a-x)+(x-b)\in G+L$ である。
$G+L$ が閉なら、$X/(G+L)$ はノルム空間で、$D(\pi_Ga,\pi_Lb):=(a-b)+(G+L)$ は代表元によらず定まる有界線形写像 $D\colon Y\to X/(G+L)$ である（$\|(a-b)+(G+L)\|\le\|a+g\|+\|b+l\|$ で $g,l$ について下限をとる）。上の言い換えから $R(S)=\ker D$ なので $R(S)$ は閉じている。逆に $R(S)$ が閉で、$z_n\in G+L$、$z_n\to z$ とする。$(\pi_Gz_n,\pi_L0)\in R(S)$ は $(\pi_Gz,\pi_L0)$ に収束するので、これも $R(S)$ に入り、$z=z-0\in G+L$ である。以上で「(a) ⇔ $R(S)$ が閉」がわかった。
閉値域定理の適用。 $X,Y$ は Banach 空間なので、閉値域定理 の定理「閉値域定理」により、$R(S)$ が閉、$R(S')$ が閉、$R(S')=(\ker S)^\perp$ の 3 条件は同値である。$R(S')=G^\perp+L^\perp$、$\ker S=G\cap L$ だから、これは (a) ⇔ (b) ⇔ (c) にほかならない。$\square$