Giraudの定理

どれも普遍性を当てはめる。

1. $f$ の核対 $R$ は同値関係なので、(G3) により商 $q\colon X\to Q$ があり、$f$ は $q$ を経由して $f=mq$ となる。$a,b\colon T\to Q$ が $ma=mb$ を満たすとする。$q\times q=(q\times\mathrm{id})\circ(\mathrm{id}\times q)$ は普遍的なエピ射の引き戻しの合成なので、普遍的なエピ射である。$(a,b)\colon T\to Q\times Q$ による引き戻し $T'\to T$ をとると、これはエピ射 $e\colon T'\to T$ で、射 $x_1,x_2\colon T'\to X$ があって $qx_1=ae$、$qx_2=be$ である。すると $fx_1=mae=mbe=fx_2$ なので $(x_1,x_2)$ は $R$ を経由し、$qx_1=qx_2$、すなわち $ae=be$ である。$e$ はエピ射なので $a=b$ である。
   3 は 1・2 からただちに従う。$f$ をエピ射とし、1 のように $f=mq$ と分解する。$m$ はエピ射でモノ射なので 2 により同型であり、$f$ は核対の商 $q$ と同型である。$q$ は (G3) により普遍的なエピ射である。
   2 は $Y$ の 2 つの複製を $Q$ の上で貼り合わせる同値関係を使う。有効性が効くのはここである。
   2 の証明を開く

   2. $m\colon Q\to Y$ をモノ射かつエピ射とする。$Y$ の 2 つの複製の余積を $Y':=Y_1\sqcup Y_2$ とすると、lem-giraud-coproduct の 3 により $Y'\times Y'\cong\coprod_{a,b}Y_a\times Y_b$ である。$R:=Y\sqcup Y\sqcup Q\sqcup Q$ から $Y'\times Y'$ への射を、最初の 2 つの成分は対角射 $Y\to Y_a\times Y_a$（$a=1,2$）、残りの 2 つは $(m,m)\colon Q\to Y_1\times Y_2$、$Q\to Y_2\times Y_1$ で定める。lem-giraud-coproduct の 4 によりこれはモノ射である。反射律と対称律は定義から明らかである。推移律は、lem-giraud-coproduct の 3 で $R\times_{Y'}R$ を成分に分けると、中央の添字が合わない成分は始対象で、残りは $Y$ または $Q$（$Q\times_YQ\cong Q$）であり、$Q$ の成分どうしの合成は対角射 $(m,m)\colon Q\to Y_a\times Y_a$ を経由するので $R$ を経由する。(G3) により $R$ の商 $\pi\colon Y'\to P$ があり、$R$ は $\pi$ の核対である。$a,b\colon Y\to P$ を $\pi$ と 2 つの入射の合成とすると、$am=bm$ であり、$m$ はエピ射なので $a=b$ である。核対を成分 $Y_1\times Y_2$ に制限すると $Y_1\times_PY_2\cong Q$ なので、$(\mathrm{id},\mathrm{id})\colon Y\to Y_1\times Y_2$ は $(m,m)$ を経由する。すなわち $mr=\mathrm{id}$ となる $r\colon Y\to Q$ があり、$m$ がモノ射なので $rm=\mathrm{id}$ である。$\square$

1 は余積の普遍性と prop-giraud-epi の 3 による。2 はエピ射の性質から明らかである。3 は、$m$ の $g$ による引き戻し $m'\colon P'\to P$ がモノ射で、各 $v_l$ が $P'$ を経由するので $m'$ がエピ射にもなり、prop-giraud-epi の 2 により同型になることによる。$\square$

前層の圏 $\mathcal P:=\widehat{\mathcal C}$ の極限と余極限は対象ごとに $\mathbf{Set}$ で計算されるので、$\mathcal P$ は (G1)〜(G3) を満たし、余極限は引き戻しで保たれる。$\mathcal E$ を $\mathcal P$ の充満部分圏とし、包含 $i$ の左随伴 $a$ が有限極限を保つとする。

筋は次のとおりである。

• $\Phi(X)$ が層であることは、エピ射がその核対の余等化子であること（prop-giraud-epi の 3）を $\operatorname{Hom}(-,X)$ で写して得られる。余等化子が等化子に変わり、それが層の条件である。
• $\Phi$ の忠実性は (G4) の言い換えである。充満性は、$X$ が $\mathcal C$ の対象からの射の全体で覆われることと、エピ射が余等化子であることによる。
• 本質的全射性が中心である。層 $F$ の切断 $(U,s)$ の全体を添字とする余積 $A$ の上に、「共通の $W$ へ引き戻すと一致する」という同値関係 $R$ を作る。これは、前層が表現可能前層の余極限(圏論)であることに対応する操作を、$\mathcal E$ の中で行うものである。(G3) によりその商 $X$ が存在し、$R$ が核対なので、$X$ への射は $F$ の切断を重複なく表す。これが $F\cong\Phi(X)$ を与える。
  以下に全段を示す。
  証明を開く

  段 1（$\mathcal C$ の存在）．生成集合を $\mathcal C_0$ とし、$\mathcal C_{n+1}$ を $\mathcal C_n$ の各有限図式の極限を 1 つずつ加えたものとする。局所小なので有限図式の全体は集合である。$\mathcal C:=\bigcup_n\mathcal C_n$ の充満部分圏は小さく、有限極限で閉じている。$\mathcal C$ の有限極限は $\mathcal E$ の有限極限である。

  段 2（位相）．被覆は cor-giraud-family の意味で全射的な族である。同型の 1 元族は被覆であり、被覆の被覆は被覆である（同系の 2）。$V\to U$ による底変換が被覆であることは、$\mathcal C$ のファイバー積が $\mathcal E$ のファイバー積であることと同系の 1 による。よって $(\mathcal C,\tau)$ は景である。また、任意の $Z\in\mathcal E$ について、$U\in\mathcal C$ からの射 $u\colon U\to Z$ の全体は全射的な族である（$\star$）。$\mathcal C$ が生成集合を含むからである。

  段 3（$\Phi(X)$ は層）．$(u_k\colon U_k\to U)$ を被覆とする。$p\colon W:=\coprod_kU_k\to U$ はエピ射なので、prop-giraud-epi の 3 により核対 $W\times_UW\cong\coprod_{k,l}U_k\times_UU_l$ の余等化子である。$\operatorname{Hom}(-,X)$ を当てると $\operatorname{Hom}(U,X)\to\prod_k\operatorname{Hom}(U_k,X)\rightrightarrows\prod_{k,l}\operatorname{Hom}(U_k\times_UU_l,X)$ が等化子になる。

  段 4（忠実）．$f\neq g\colon X\to Y$ なら、生成集合の $u$ で $fu\neq gu$ であり、$\Phi(f)(u)\neq\Phi(g)(u)$ である。

  段 5（充満）．$\theta\colon\Phi(X)\to\Phi(Y)$ を前層の射とする。$(\star)$ の族 $(u\colon U_u\to X)$ に対し、$\coprod_uU_u\to Y$ を成分 $\theta(u)$ で定める。$u,v$ と $W\in\mathcal C$、$w_1\colon W\to U_u$、$w_2\colon W\to U_v$ が $uw_1=vw_2$ を満たすとき、$\theta$ の自然性から $\theta(u)w_1=\theta(uw_1)=\theta(vw_2)=\theta(v)w_2$ である。$(\star)$ により $U_u\times_XU_v$ はそのような $W$ からの全射的な族をもつので、$\theta(u)$ たちは $\coprod_uU_u\to X$ の核対の上で一致する。prop-giraud-epi の 3 により $h\colon X\to Y$ で $hu=\theta(u)$ となるものがある。すなわち $\theta=\Phi(h)$ である。

  段 6（商の構成）．$F$ を層とする。組 $\sigma=(U_\sigma,s_\sigma)$（$U_\sigma\in\mathcal C$、$s_\sigma\in F(U_\sigma)$）の全体は集合である。$A:=\coprod_\sigma U_\sigma$、入射を $i_\sigma$ とする。$\sigma,\tau$ について、$W\in\mathcal C$、$v\colon W\to U_\sigma$、$w\colon W\to U_\tau$ で $v^\ast s_\sigma=w^\ast s_\tau$ となる組の全体がなす射の族 $(v,w)\colon W\to U_\sigma\times U_\tau$ を考え、その余積からの射の像を $R_{\sigma\tau}\to U_\sigma\times U_\tau$ とする（prop-giraud-epi の 1）。$R:=\coprod_{\sigma,\tau}R_{\sigma\tau}\to\coprod_{\sigma,\tau}U_\sigma\times U_\tau\cong A\times A$ はモノ射である（lem-giraud-coproduct の 3・4）。

  段 7（$R$ は同値関係）．$(\mathrm{id},\mathrm{id})\colon U_\sigma\to U_\sigma\times U_\sigma$ は定義の族に属するので反射律が成り立つ。対称律は定義の対称性による。推移律：$(v,w)$ を $(\sigma,\tau)$ の族の元（定義域 $W$）、$(v',w')$ を $(\tau,\rho)$ の族の元（定義域 $W'$）とする。$W'':=W\times_{U_\tau}W'$ は $\mathcal C$ の対象にとれて、射影 $d,d'$ について $(vd)^\ast s_\sigma=d^\ast w^\ast s_\tau=d'^\ast v'^\ast s_\tau=(w'd')^\ast s_\rho$ なので、$(vd,w'd')$ は $(\sigma,\rho)$ の族に属する。$W''$ たちは $R_{\sigma\tau}\times_{U_\tau}R_{\tau\rho}$ の全射的な族をなす（cor-giraud-family の 1・2）ので、同系の 3 により $R_{\sigma\tau}\times_{U_\tau}R_{\tau\rho}\to U_\sigma\times U_\rho$ は $R_{\sigma\rho}$ を経由する。lem-giraud-coproduct の 3 により $R\times_AR$ はこれらの余積なので、推移律が成り立つ。

  段 8（比較の射）．(G3) により商 $\pi\colon A\to X$ があり、$R$ は $\pi$ の核対である。$e_\sigma:=\pi i_\sigma$ とおく。$g\colon V\to U_\sigma$ が $\mathcal C$ の射で $\tau=(V,g^\ast s_\sigma)$ なら、$(\mathrm{id},g)$ は $(\tau,\sigma)$ の族に属するので $e_\tau=e_\sigma g$ である。よって $\varepsilon_U\colon F(U)\to\operatorname{Hom}(U,X)$、$s\mapsto e_{(U,s)}$ は前層の射 $\varepsilon\colon F\to\Phi(X)$ である。

  段 9（$\varepsilon$ は単射）．$\sigma=(U,s)$、$\tau=(U,t)$ で $e_\sigma=e_\tau$ とする。$(i_\sigma,i_\tau)\colon U\to A\times A$ は $R$ を経由し、$R$ の成分を見ると $(\mathrm{id},\mathrm{id})\colon U\to U\times U$ は $R_{\sigma\tau}$ を経由する。$(\sigma,\tau)$ の族は $R_{\sigma\tau}$ の全射的な族なので、これを $U\to R_{\sigma\tau}$ で引き戻すと $U$ の全射的な族が得られる。その成分 $W\times_{U\times U}U$ は $v,w\colon W\to U$ の等化子で、$\mathcal C$ の対象 $E_W$ である。包含を $\iota$ とし、$e_W:=v\iota=w\iota\colon E_W\to U$ とおくと $(e_W)$ は被覆で、$e_W^\ast s=\iota^\ast v^\ast s=\iota^\ast w^\ast t=e_W^\ast t$ である。$F$ は層なので $s=t$ である。

  段 10（$\varepsilon$ は全射）．$u\colon U\to X$、$U\in\mathcal C$ とする。$\pi$ はエピ射なので $(e_\sigma)$ は全射的な族である。cor-giraud-family の 1 と $(\star)$・同系の 2 により、$\mathcal C$ の対象 $W_k$ と射 $v_k\colon W_k\to U$、$w_k\colon W_k\to U_{\sigma_k}$ で $uv_k=e_{\sigma_k}w_k$ を満たすものからなる被覆 $(v_k)$ がある。$s_k:=w_k^\ast s_{\sigma_k}\in F(W_k)$ とおくと、段 8 により $\varepsilon(s_k)=e_{\sigma_k}w_k=uv_k$ である。$D:=W_k\times_UW_l$ の射影を $d,d'$ とすると、$\varepsilon(d^\ast s_k)=uv_kd=uv_ld'=\varepsilon(d'^\ast s_l)$ なので、段 9 により $d^\ast s_k=d'^\ast s_l$ である。$F$ は層なので $v_k^\ast s=s_k$ となる $s\in F(U)$ がある。$\varepsilon(s)v_k=\varepsilon(v_k^\ast s)=uv_k$ がすべての $k$ で成り立つので、$\varepsilon(s)=u$ である。

  段 11．段 9・10 により $\varepsilon$ は同型であり、$F\cong\Phi(X)$ である。段 3〜5 と合わせて $\Phi$ は圏同値である。$\square$

thm-giraud-main により (G1)〜(G4) を確かめればよい。忘却関手 $\mathcal E/X\to\mathcal E$ は余極限とファイバー積を保つので、余積と同値関係の商は $\mathcal E$ で計算でき、公理は $\mathcal E$ から移る。生成集合は、$\mathcal E$ の生成元に $X$ への射を付けたものの全体である。これらの確かめに景は現れない。