楕円正則性

同義語：楕円型正則性楕円型作用素の正則性定理elliptic regularity

概要

前提知識: 楕円型作用素, 緩増加超関数とFourier変換, 超関数, Sobolev空間の基本事項

楕円正則性とは、楕円型の微分作用素 $P$ について、方程式 $Pu=f$ の解 $u$ が、右辺 $f$ より作用素の階数 $d$ だけ滑らかになるという性質である。とくに $f$ が滑らかなら、超関数の意味の解 $u$ も滑らかになる。たとえば超関数の意味で $\Delta u=0$ を満たす $u$ は滑らかな調和関数であり、超関数の意味で $\partial u/\partial\bar z=0$ を満たす $u$ は正則関数である。
この記事では、Sobolev 空間 $H^s$ を Fourier 変換で定め、定数係数の楕円型作用素について、パラメトリクス（逆作用素の近似）を作って内部正則性を完全に証明する。滑らかな係数の場合と閉多様体上の場合は、主張と文献の所在を述べる。

記号と Sobolev 空間 $H^s$

Fourier 変換は緩増加超関数とFourier変換の正規化
$$ \widehat\varphi(\xi)=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb R^n}e^{-ix\cdot\xi}\varphi(x)\,dx $$
に従い、緩増加超関数 $u\in\mathcal S'(\mathbb R^n)$ には双対 $\langle\widehat u,\varphi\rangle=\langle u,\widehat\varphi\rangle$ で延ばす。$\widehat{\partial^\alpha u}=(i\xi)^\alpha\widehat u$ が成り立つ（同記事の「緩増加超関数のFourier変換の基本公式」）。ベクトル値の関数・超関数は成分ごとに扱う。

Sobolev 空間 $H^s(\mathbb R^n)$

実数 $s$ に対し、$u\in\mathcal S'(\mathbb R^n)$ で、$\widehat u$ が局所可積分関数であり
$$ \|u\|_s^2:=\int_{\mathbb R^n}(1+|\xi|^2)^s\,|\widehat u(\xi)|^2\,d\xi<\infty $$
を満たすもの全体を $H^s(\mathbb R^n)$ と書く。$H^s$ はこのノルムで Hilbert 空間であり、$u\mapsto\widehat u$ は $H^s$ から重み付き空間 $L^2\bigl((1+|\xi|^2)^s\,d\xi\bigr)$ への等長同型である。

この定義から次がすぐ分かる。

$s>t$ なら $H^s\subset H^t$ で $\|u\|_t\le\|u\|_s$。
$\partial^\alpha$ は $H^s$ から $H^{s-|\alpha|}$ への有界作用素である（$|\xi^\alpha|^2\le(1+|\xi|^2)^{|\alpha|}$ による）。
$\mathcal S(\mathbb R^n)$ は $H^s$ で稠密である（重み付き $L^2$ で $C_c^\infty$ が稠密で、その逆 Fourier 変換は $\mathcal S$ に入る）。
非負整数 $k$ について、$H^k(\mathbb R^n)$ はSobolev空間の基本事項の $W^{k,2}(\mathbb R^n)$ と同じ空間で、ノルムは同値である。Plancherel の定理と $\widehat{\partial^\alpha u}=(i\xi)^\alpha\widehat u$、および定数 $c,C>0$ による評価 $c(1+|\xi|^2)^k\le\sum_{|\alpha|\le k}\xi^{2\alpha}\le C(1+|\xi|^2)^k$ から従うGil84。
$H^s$ を $\mathcal S$ の完備化として定義する流儀Gil84 もあり、3 により同じ空間を与える。
開集合 $\Omega\subset\mathbb R^n$ 上の超関数 $u\in\mathcal D'(\Omega)$ と $\phi\in C_c^\infty(\Omega)$ に対し、$\phi u$ を
$$ \langle\phi u,\varphi\rangle:=\langle u,\phi\varphi\rangle\qquad(\varphi\in C^\infty(\mathbb R^n)) $$
で $\mathbb R^n$ 全体の超関数とみなす（零延長）。lem-elliptic-regularity-finite-order で見るとおり、これは緩増加超関数である。

局所 Sobolev 空間

$u\in\mathcal D'(\Omega)$ が $H^s_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ に属するとは、すべての $\phi\in C_c^\infty(\Omega)$ について $\phi u\in H^s(\mathbb R^n)$ となることをいう。

基本となる 3 つの補題

Sobolev の補題

$k$ を非負整数、$s>k+n/2$ とする。$u\in H^s(\mathbb R^n)$ は $C^k$ 級の関数（に等しい超関数）であり、$|\alpha|\le k$ について
$$ \sup_{x\in\mathbb R^n}|\partial^\alpha u(x)|\le C\,\|u\|_s $$
が成り立つ。ここで $C$ は $n,k,s$ だけで決まる。とくに $\bigcap_sH^s_{\mathrm{loc}}(\Omega)\subset C^\infty(\Omega)$ である。

$|\alpha|\le k$ とする。Cauchy–Schwarz の不等式により
$$ \int|\xi^\alpha\widehat u(\xi)|\,d\xi\le\Bigl(\int(1+|\xi|^2)^s|\widehat u|^2d\xi\Bigr)^{1/2}\Bigl(\int(1+|\xi|^2)^{|\alpha|-s}d\xi\Bigr)^{1/2} $$
であり、$2(s-|\alpha|)>n$ なので右辺の第 2 因子は有限である。よって $\xi^\alpha\widehat u\in L^1$ で、その $L^1$ ノルムは $C\|u\|_s$ 以下である。
$$ v(x):=(2\pi)^{-n/2}\int e^{ix\cdot\xi}\,\widehat u(\xi)\,d\xi $$
とおくと、優収束定理により積分記号の下で $k$ 回まで微分でき、$v\in C^k$、$\partial^\alpha v(x)=(2\pi)^{-n/2}\int(i\xi)^\alpha e^{ix\cdot\xi}\widehat u(\xi)\,d\xi$、$\sup|\partial^\alpha v|\le(2\pi)^{-n/2}C\|u\|_s$ である。
残りは $u=v$ である。$\varphi\in\mathcal S$ に対し、$\widehat u\in L^1$ と $\varphi\in L^1$ から Fubini の定理が使えて
$$ \int v(x)\varphi(x)\,dx=\int\widehat u(\xi)\Bigl((2\pi)^{-n/2}\int e^{ix\cdot\xi}\varphi(x)\,dx\Bigr)d\xi=\langle\widehat u,\mathcal F^{-1}\varphi\rangle=\langle\mathcal F^{-1}\widehat u,\varphi\rangle=\langle u,\varphi\rangle $$
となる。$\bigcap_sH^s_{\mathrm{loc}}\subset C^\infty$ は、各点の近くで $1$ になる $\phi$ をとって $\phi u$ に今の結論をすべての $k$ で使えばよい。$\square$

滑らかな関数を掛ける作用素の有界性

$\phi\in\mathcal S(\mathbb R^n)$ と実数 $s$ に対し、$u\mapsto\phi u$ は $H^s(\mathbb R^n)$ の有界作用素であり
$$ \|\phi u\|_s\le(2\pi)^{-n/2}\,2^{|s|/2}\Bigl(\int(1+|\eta|^2)^{|s|/2}|\widehat\phi(\eta)|\,d\eta\Bigr)\|u\|_s . $$

要点：Peetre の不等式 $(1+|\xi|^2)^s\le2^{|s|}(1+|\xi-\eta|^2)^{|s|}(1+|\eta|^2)^s$ と、積の Fourier 変換が畳み込みになることから、Young の不等式 $\|F*G\|_{L^2}\le\|F\|_{L^1}\|G\|_{L^2}$ に帰着する。

詳しい証明を開く

Peetre の不等式Gil84：$1+|\xi|^2\le1+2|\xi-\eta|^2+2|\eta|^2\le2(1+|\xi-\eta|^2)(1+|\eta|^2)$ を $s\ge0$ 乗すれば $s\ge0$ の場合が出る。$s<0$ なら $\xi$ と $\eta$ の役割を入れ替えた $1+|\eta|^2\le2(1+|\xi-\eta|^2)(1+|\xi|^2)$ を $-s$ 乗して整理すればよい。

$u\in\mathcal S$ のとき、この正規化では $\widehat{\phi u}(\xi)=(2\pi)^{-n/2}\int\widehat\phi(\xi-\eta)\widehat u(\eta)\,d\eta$ である（Gil84 Lemma 1.1.2 (c)、p. 5。同書は測度に $(2\pi)^{-n/2}$ を含める）。Peetre の不等式を $s/2$ 乗した形で重みを中に入れると

$$(1+|\xi|^2)^{s/2}|\widehat{\phi u}(\xi)|\le(2\pi)^{-n/2}2^{|s|/2}\int\bigl(1+|\xi-\eta|^2\bigr)^{|s|/2}|\widehat\phi(\xi-\eta)|\cdot(1+|\eta|^2)^{s/2}|\widehat u(\eta)|\,d\eta$$

であり、右辺は $L^1$ 関数 $(1+|\cdot|^2)^{|s|/2}|\widehat\phi|$ と $L^2$ 関数 $(1+|\cdot|^2)^{s/2}|\widehat u|$ の畳み込みなので、Young の不等式で主張の評価を得る。一般の $u\in H^s$ は $\mathcal S$ の元 $u_j$ で $H^s$ 近似する。評価から $\phi u_j$ は $H^s$ の Cauchy 列で、極限 $w\in H^s$ をもつ。一方 $H^s$ の収束は $\mathcal S'$ の収束を導く（$|\langle u,\varphi\rangle|=|\langle\widehat u,\mathcal F^{-1}\varphi\rangle|\le\|u\|_s\|\varphi\|_{-s}$ による。$\mathcal F^{-1}\varphi(\xi)=\widehat\varphi(-\xi)$ を使った）から $\phi u_j\to\phi u$ が $\mathcal S'$ で成り立ち、$w=\phi u$ である。$\square$

コンパクトな台の超関数はある $H^t$ に入る

$u\in\mathcal D'(\Omega)$、$\phi\in C_c^\infty(\Omega)$ とする。零延長 $\phi u$ は緩増加超関数であり、ある実数 $t$ について $\phi u\in H^t(\mathbb R^n)$ となる。

要点：超関数の連続性評価から $|\langle\widehat{\phi u},\varphi\rangle|\le C\int(1+|\eta|)^m|\varphi(\eta)|\,d\eta$ を導き、重み付き $L^2$ 空間での Riesz の表現定理で $\widehat{\phi u}$ を関数として表す。$m$ を評価の階数とすると $\phi u\in H^{-(m+n)}$ となる。

詳しい証明を開く

$K=\operatorname{supp}\phi$ とする。超関数の定義の連続性評価により、定数 $C$ と非負整数 $m$ があって、$K$ に台をもつテスト関数 $\psi$ について $|\langle u,\psi\rangle|\le C\max_{|\alpha|\le m}\sup_K|\partial^\alpha\psi|$ である。$\varphi\in\mathcal S$ に $\psi=\phi\varphi$ を代入し Leibniz 則を使うと

$$|\langle\phi u,\varphi\rangle|\le C'\max_{|\beta|\le m}\sup_{x\in\mathbb R^n}|\partial^\beta\varphi(x)|$$

となり、$\phi u$ は緩増加超関数である。これを $\widehat\varphi$ に当てはめる。$\partial^\beta\widehat\varphi(x)=(2\pi)^{-n/2}\int(-i\eta)^\beta e^{-ix\cdot\eta}\varphi(\eta)\,d\eta$ なので

$$|\langle\widehat{\phi u},\varphi\rangle|=|\langle\phi u,\widehat\varphi\rangle|\le C''\int(1+|\eta|)^m|\varphi(\eta)|\,d\eta\le C'''\Bigl(\int(1+|\eta|)^{2(m+n)}|\varphi(\eta)|^2d\eta\Bigr)^{1/2}$$

である。最後は Cauchy–Schwarz の不等式と $\int(1+|\eta|)^{-2n}d\eta<\infty$ による。$\mathcal S$ は Hilbert 空間 $\mathcal H=L^2\bigl((1+|\eta|)^{2(m+n)}d\eta\bigr)$ で稠密だから、$\varphi\mapsto\langle\widehat{\phi u},\varphi\rangle$ は $\mathcal H$ 上の有界線形汎関数に延び、Riesz の表現定理により $h\in\mathcal H$ があって $\langle\widehat{\phi u},\varphi\rangle=\int\varphi\,\overline h\,(1+|\eta|)^{2(m+n)}d\eta$ となる。$g:=\overline h\,(1+|\eta|)^{2(m+n)}$ とおけば $g$ は局所可積分で $\widehat{\phi u}=g$ であり

$$\int(1+|\eta|^2)^{-(m+n)}|g|^2d\eta\le2^{m+n}\int(1+|\eta|)^{-2(m+n)}|g|^2d\eta=2^{m+n}\|h\|_{\mathcal H}^2<\infty$$

（$(1+|\eta|)^2\le2(1+|\eta|^2)$ を使った）。よって $\phi u\in H^{-(m+n)}$ である。$\square$

定数係数の楕円型作用素

この節では、$N\times N$ 複素行列 $a_\alpha$ を定数係数とする $d$ 階の作用素
$$ P=\sum_{|\alpha|\le d}a_\alpha\,\partial^\alpha $$
が楕円型である、すなわち主表象 $\sigma_P(\xi)=\sum_{|\alpha|=d}a_\alpha\xi^\alpha$ が $\xi\neq0$ で可逆であるとする（楕円型作用素）。多項式 $p(\zeta)=\sum_{|\alpha|\le d}a_\alpha\zeta^\alpha$ を使うと、$u\in\mathcal S'$ に対して
$$ \widehat{Pu}(\xi)=p(i\xi)\,\widehat u(\xi) $$
である。

パラメトリクス

表象の逆の評価

定数 $R\ge1$、$C_0>0$ があって、$|\xi|\ge R$ で $p(i\xi)$ は可逆であり
$$ \|p(i\xi)^{-1}\|\le C_0\,(1+|\xi|^2)^{-d/2}\qquad(|\xi|\ge R) $$
が成り立つ。

$p(i\xi)=i^d\sigma_P(\xi)+r(\xi)$ と分ける。$r(\xi)=\sum_{|\alpha|< d}a_\alpha(i\xi)^\alpha$ は $|\xi|\ge1$ で $\|r(\xi)\|\le c_2|\xi|^{d-1}$ を満たす。$\sigma_P(\xi)^{-1}$ は $\xi\neq0$ で連続かつ $-d$ 次斉次なので、単位球面上の最大値 $c_1$ を使って $\|\sigma_P(\xi)^{-1}\|\le c_1|\xi|^{-d}$ である。よって
$$ p(i\xi)=i^d\sigma_P(\xi)\bigl(I+i^{-d}\sigma_P(\xi)^{-1}r(\xi)\bigr),\qquad\|\sigma_P(\xi)^{-1}r(\xi)\|\le c_1c_2|\xi|^{-1} $$
であり、$R=\max(1,2c_1c_2)$ とすれば $|\xi|\ge R$ で $\|\sigma_P(\xi)^{-1}r(\xi)\|\le1/2$ となる。Neumann 級数により括弧内は可逆で逆のノルムは $2$ 以下、したがって $\|p(i\xi)^{-1}\|\le2c_1|\xi|^{-d}$ である。$|\xi|\ge1$ では $1+|\xi|^2\le2|\xi|^2$ なので $|\xi|^{-d}\le2^{d/2}(1+|\xi|^2)^{-d/2}$ であり、$C_0=2^{1+d/2}c_1$ とすればよい。$\square$

$C^\infty$ 級の関数 $\chi\colon\mathbb R^n\to[0,1]$ を、$|\xi|\le R$ で $\chi=0$、$|\xi|\ge2R$ で $\chi=1$ となるように選ぶ。

定数係数の楕円型作用素のパラメトリクス

$f\in\bigcup_rH^r(\mathbb R^n)$ に対し
$$ \widehat{Ef}(\xi):=\chi(\xi)\,p(i\xi)^{-1}\widehat f(\xi),\qquad\widehat{Sf}(\xi):=\bigl(1-\chi(\xi)\bigr)\widehat f(\xi) $$
で $Ef$、$Sf$ を定める。$E$ を $P$ のパラメトリクスという。

パラメトリクスの性質

すべての実数 $\sigma,r,t$ について次が成り立つ。

$E$ は $H^\sigma$ から $H^{\sigma+d}$ への有界作用素である。
$S$ は $H^r$ から $H^t$ への有界作用素である。とくに $Sf$ は $C^\infty$ 級である。
$f\in H^r$ について $EPf=PEf=f-Sf$。

$\chi\ne0$ となるのは $|\xi|\ge R$ の所なので、lem-elliptic-regularity-symbol-bound により
$$ (1+|\xi|^2)^{\sigma+d}|\widehat{Ef}(\xi)|^2\le C_0^2\,(1+|\xi|^2)^{\sigma}|\widehat f(\xi)|^2 $$
であり、積分して $\|Ef\|_{\sigma+d}\le C_0\|f\|_\sigma$ を得る。
$1-\chi$ の台は $|\xi|\le2R$ に含まれる。$t\ge r$ ならこの範囲で $(1+|\xi|^2)^t\le(1+4R^2)^{t-r}(1+|\xi|^2)^r$ なので $\|Sf\|_t\le(1+4R^2)^{(t-r)/2}\|f\|_r$ である。$t< r$ なら $\|Sf\|_t\le\|Sf\|_r\le\|f\|_r$。滑らかさはlem-elliptic-regularity-sobolev による。
$\widehat{Pf}=p(i\xi)\widehat f$ なので $\widehat{EPf}=\chi\,p(i\xi)^{-1}p(i\xi)\widehat f=\chi\widehat f=\widehat f-\widehat{Sf}$ である。$\chi\ne0$ の所で $p(i\xi)^{-1}$ が定義されていることを使った。$PEf$ も同様である。Fourier 変換は $\mathcal S'$ 上で単射なので主張が従う。$\square$

$E$ は「$P$ の逆作用素を、$p(i\xi)$ が可逆でないかもしれない低周波の部分を切り捨てて作ったもの」であり、誤差 $S$ は低周波だけを通すので無限に滑らかにする。

$\mathbb R^n$ 上の定数係数の楕円型作用素の正則性

$w\in H^r(\mathbb R^n)$ がある実数 $r$ について成り立ち、$Pw\in H^\sigma(\mathbb R^n)$ ならば $w\in H^{\sigma+d}(\mathbb R^n)$ であり、$P,r,\sigma$ だけで決まる定数 $C$ について
$$ \|w\|_{\sigma+d}\le C\bigl(\|Pw\|_\sigma+\|w\|_r\bigr) $$
が成り立つ。

prop-elliptic-regularity-parametrix の 3 により $w=E(Pw)+Sw$ である。1 により $E(Pw)\in H^{\sigma+d}$ で $\|E(Pw)\|_{\sigma+d}\le C_0\|Pw\|_\sigma$、2 により $Sw\in H^{\sigma+d}$ で $\|Sw\|_{\sigma+d}\le C\|w\|_r$ である。$\square$

内部正則性

次が主定理である。右辺が局所的に $H^s$ なら、解は局所的に $H^{s+d}$ になる。

定数係数の楕円型作用素の内部正則性

$\Omega\subset\mathbb R^n$ を開集合、$P$ を上の定数係数の $d$ 階楕円型作用素とする。$u\in\mathcal D'(\Omega)^N$ が $Pu\in H^s_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ を満たせば、$u\in H^{s+d}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ である。

$\phi\in C_c^\infty(\Omega)$ を任意にとり、$\phi u\in H^{s+d}$ を示す。
段 1（切り落とし関数の列）．自然数 $J$ を後で決める。$C_c^\infty(\Omega)$ の関数 $\phi_0,\phi_1,\dots,\phi_J$ を、$\phi_J=\phi$ で、各 $j$ について $\phi_j$ が $\operatorname{supp}\phi_{j+1}$ のある開近傍 $V_j$ の上で $1$ になるように選ぶ（コンパクト集合 $\operatorname{supp}\phi$ の近傍を少しずつ広げて切り落とし関数をとればよい）。lem-elliptic-regularity-finite-order により、ある $t$ について $\phi_0u\in H^t$ である。$J\ge s+d-t$ となるように $J$ を選ぶ。
段 2（交換子）．超関数の命題「超関数に対するLeibniz則」により、$\psi\in C_c^\infty(\Omega)$ に対して
$$ P(\psi u)=\psi\,Pu+[P,\psi]u,\qquad[P,\psi]u=\sum_{|\alpha|\le d}a_\alpha\sum_{0\ne\beta\le\alpha}\binom{\alpha}{\beta}(\partial^\beta\psi)\,\partial^{\alpha-\beta}u $$
である。$[P,\psi]$ は $d-1$ 階以下の作用素で、係数 $\partial^\beta\psi$ は $\operatorname{supp}\psi$ に台をもつ。
段 3（帰納法）．$r_j:=\min(s+d,\,t+j)$ とおき、$\phi_ju\in H^{r_j}$ を $j$ についての帰納法で示す。$j=0$ は段 1 で示した。$\phi_ju\in H^{r_j}$ と仮定する。
まず $\phi_{j+1}u=\phi_{j+1}(\phi_ju)$ なので、lem-elliptic-regularity-multiplication により $\phi_{j+1}u\in H^{r_j}$ である。
次に $P(\phi_{j+1}u)=\phi_{j+1}Pu+[P,\phi_{j+1}]u$ を調べる。仮定 $Pu\in H^s_{\mathrm{loc}}$ により $\phi_{j+1}Pu\in H^s$ である。$[P,\phi_{j+1}]u$ の各項は $b\,\partial^\gamma u$（$|\gamma|\le d-1$、$b$ は $\operatorname{supp}\phi_{j+1}$ に台をもつ滑らかな関数）の形である。$(1-\phi_j)u$ は開集合 $V_j$ 上で $0$ だから $\partial^\gamma\bigl((1-\phi_j)u\bigr)$ も $V_j$ 上で $0$ であり、$\operatorname{supp}b\subset V_j$ なので $b\,\partial^\gamma u=b\,\partial^\gamma(\phi_ju)$ となる。右辺は $\partial^\gamma$ が $H^{r_j}\to H^{r_j-|\gamma|}$ を、$b$ を掛けることが $H^{r_j-|\gamma|}$ を保つ（lem-elliptic-regularity-multiplication）ので $H^{r_j-d+1}$ に入る。以上から
$$ P(\phi_{j+1}u)\in H^{\min(s,\ r_j-d+1)} $$
である。$\phi_{j+1}u\in H^{r_j}$ と合わせて thm-elliptic-regularity-global を使うと
$$ \phi_{j+1}u\in H^{\min(s,\,r_j-d+1)+d}=H^{\min(s+d,\ r_j+1)}=H^{r_{j+1}} $$
を得る。
段 4（結論）．$J\ge s+d-t$ なので $r_J=s+d$ であり、$\phi u=\phi_Ju\in H^{s+d}$ である。$\phi$ は任意だったので $u\in H^{s+d}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ である。$\square$

段 3 の $b\,\partial^\gamma u=b\,\partial^\gamma(\phi_ju)$ は、$\Omega$ 上の超関数としての等式であるが、両辺とも $\operatorname{supp}b$ に台をもつので、零延長して $\mathbb R^n$ 上の等式とみなしてよい。

定数係数の楕円型作用素の解の $C^\infty$ 正則性

$P$ を定数係数の楕円型作用素、$u\in\mathcal D'(\Omega)^N$ とし、開集合 $U\subset\Omega$ の上で $Pu$ が $C^\infty$ 級であるとする。このとき $u$ は $U$ 上で $C^\infty$ 級である。とくに $Pu=0$ の超関数解はすべて $C^\infty$ 級である。

$U$ 上で考える。$Pu|_U$ は滑らかなので、$\phi\in C_c^\infty(U)$ について $\phi\,Pu\in C_c^\infty\subset H^s$ がすべての $s$ で成り立ち、$Pu|_U\in H^s_{\mathrm{loc}}(U)$ である。thm-elliptic-regularity-constant-main を $U$ 上で使うと、すべての $s$ で $u|_U\in H^{s+d}_{\mathrm{loc}}(U)$ であり、lem-elliptic-regularity-sobolev により $u$ は $U$ 上で $C^\infty$ 級である。$\square$

例

調和関数と正則関数

Laplace 作用素 $\Delta=\sum_j\partial_j^2$ は 2 階の楕円型作用素である。cor-elliptic-regularity-constant-smooth により、超関数の意味で $\Delta u=0$ を満たす $u\in\mathcal D'(\Omega)$ は $C^\infty$ 級であり、古典的な意味の調和関数である。これがWeylの補題である。同様に、$\mathbb C$ の開集合上で超関数の意味で $\partial u/\partial\bar z=0$ を満たす $u$ は $C^\infty$ 級で Cauchy–Riemann の方程式を満たすから正則関数である。

解の特異性は右辺の特異性の所にしかない

$\mathbb R$ 上の $u(x)=|x|$ は、超関数の意味で $u''=2\delta_0$ を満たす（$u'$ は $x<0$ で $-1$、$x>0$ で $1$ の関数で、その微分は跳び $2$ のデルタである。超関数の例「Heaviside関数の微分」と同じ計算）。$d^2/dx^2$ は楕円型で、右辺は $\mathbb R\setminus\{0\}$ で滑らかだから、cor-elliptic-regularity-constant-smooth により $u$ は $\mathbb R\setminus\{0\}$ で滑らかである。原点では右辺が滑らかでなく、$u$ も滑らかでない。また $2\delta_0\in H^s$ となるのは $s<-1/2$ のときで（$\widehat{\delta_0}$ は定数）、原点の近くで $1$ になる $\phi\in C_c^\infty(\mathbb R)$ について $\phi u$ は $s<3/2$ のときに限り $H^s$ に入り（$s<3/2$ なら thm-elliptic-regularity-constant-main による。逆に $\phi u\in H^{3/2}$ なら、$\phi'$、$\phi''$ が原点の近くで $0$ なので $(\phi u)''-2\delta_0\in C_c^\infty$ となり、$2\delta_0\in H^{-1/2}$ となって矛盾する）、ちょうど 2 階分だけ滑らかさが上がっている。

上がる滑らかさは $d$ より大きくならない

$P=1-\Delta$ は $\mathbb R^n$ 上の 2 階の楕円型作用素で、$\widehat{Pu}=(1+|\xi|^2)\widehat u$ である。$\widehat u=(1+|\xi|^2)^{-a}$ とすると、$u\in H^t$ となるのは $\int(1+|\xi|^2)^{t-2a}d\xi<\infty$、すなわち $t<2a-n/2$ のときである。$\varepsilon>0$ に対し $2a=s+2+n/2+\varepsilon/2$ と選ぶと、$Pu\in H^s$、$u\in H^{s+2}$ だが $u\notin H^{s+2+\varepsilon}$ である。thm-elliptic-regularity-constant-main の「$d$ 階分」は改良できない。

滑らかな係数の場合と閉多様体上の場合

係数が $x$ に依存する場合も、同じ結論が成り立つ。

滑らかな係数の楕円型作用素の内部正則性

$\Omega\subset\mathbb R^n$ を開集合、$P=\sum_{|\alpha|\le d}a_\alpha(x)\partial^\alpha$ を $C^\infty$ 級の $N\times N$ 行列値の係数をもつ $d$ 階の楕円型作用素とする。$u\in\mathcal D'(\Omega)^N$ が $Pu\in H^s_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ を満たせば $u\in H^{s+d}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ である。とくに $Pu$ が開集合 $U$ 上で滑らかなら、$u$ も $U$ 上で滑らかである。

証明の所在と方針

この記事では証明しない。擬微分作用素のパラメトリクスによる証明は Gil84 Lemma 1.3.1（pp. 23–24）にある。同所の (a) は $PQ-I$、$QP-I$ が無限に滑らかにする作用素となる $-d$ 階の擬微分作用素 $Q$ の存在、(b) は $Pu$ が滑らかな所で $u$ も滑らかであること（準楕円性）である。同所は $H^s$ の形を述べていないが、(b) の証明の式 $\phi u=\phi(I-QP)u+\phi QPu$ に、$Q$ が $H^s\to H^{s+d}$ に有界であること（同書 Lemma 1.2.1、p. 12）と、$\operatorname{supp}\phi$ の近くで $1$ になる $\psi$ について $\phi Q(1-\psi)$ が無限に滑らかにする作用素であること（同書 Lemma 1.2.6・1.2.7）を当てはめると $H^s$ の形が得られる。同書の表象は $x$ についてコンパクトな台をもつので、$P$ の係数には $\operatorname{supp}\phi$ の近くで $1$ になる切り落とし関数を掛けてから当てはめる。lem-elliptic-regularity-finite-order により、局所的にはすべての超関数がある $H^t$ に入るので、同書の「$f\in H^s$」という仮定は制約にならない。
定数係数との違いは、$\chi(\xi)p(x,i\xi)^{-1}$ を表象とする作用素 $Q_0$ では $Q_0P-I$ が $-1$ 階の作用素になるだけで、無限に滑らかにはならない点である。表象の漸近展開で $-d-1$ 階、$-d-2$ 階、…の補正を順に加え、それらを 1 つの表象にまとめる（同書 Lemma 1.2.3、1.2.8）ことで、誤差を無限に滑らかにする。

同じ主張は多様体上でも成り立つ。閉多様体 $M$（コンパクトで境界のない多様体）上のベクトル束 $F$ の切断に対し、座標近傍と 1 の分割を使って Sobolev 空間 $H^k(M,F)$ が定まる。

閉多様体上の楕円正則性

$M$ を閉多様体、$F$ を計量をもつベクトル束、$P\colon C^\infty(M,F)\to C^\infty(M,F)$ を $d$ 階の楕円型作用素とする。$u\in L^2(M,F)$ に対し、超関数の意味の $Pu$ が $H^k(M,F)$ に入れば $u\in H^{k+d}(M,F)$ であり
$$ \|u\|_{k+d}\le C_k\bigl(\|Pu\|_k+\|u\|_0\bigr) $$
が成り立つ。とくに $Pu=0$ を満たす $u\in L^2(M,F)$ は滑らかな切断である。

閉多様体上の楕円正則性の所在

この記事では証明しない。Dem12 Ch. VI (2.3)（p. 289、Gårding の不等式として述べられ、Hörmander の教科書を参照している）と Gil84 Lemma 1.3.5（p. 30）にある。局所的な部分は thm-elliptic-regularity-variable であり、1 の分割でそれを貼り合わせる。評価式はGårdingの不等式で、この評価と Rellich のコンパクト埋め込みから、楕円型作用素の核の有限次元性と Fredholm 性が導かれる（Dem12 Ch. VI (2.4)、pp. 289–290）。Laplace–de Rham 作用素に適用すると、$L^2$ の意味の調和形式が滑らかであることが分かり、これがHodgeの定理の解析的な出発点になる。

反例と注意

外す条件	反例	成り立たなくなること
楕円性	波動作用素 $\partial_t^2-\partial_x^2$、$u=H(x-t)$	$Pu=0$ の解が滑らか
楕円性（1 階）	$\partial_x$（$\mathbb R^2$ 上）、$u=H(y)$	$Pu=0$ の解が滑らか
係数の滑らかさ	$(a(x)u')'$、$a$ は $0$ で跳ぶ	$Pu=0$ の解が $C^1$
内部（$\Omega$ の中）に限ること	右半平面上の $\operatorname{Re}\sqrt z$	境界まで込めた滑らかさ

$H$ は Heaviside 関数である。以下で各行を確かめる。

反例：波動作用素の不連続な解

$g\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R)$ に対し $u(t,x)=g(x-t)$ とおくと、超関数の意味で $(\partial_t^2-\partial_x^2)u=0$ である。実際、テスト関数 $\varphi$ に対し変数を $a=x-t$、$b=x+t$ に替えると $dt\,dx=\frac12da\,db$、$\partial_t^2-\partial_x^2=-4\partial_a\partial_b$ なので、$\tilde\varphi(a,b)=\varphi(t,x)$ として
$$ \langle u,(\partial_t^2-\partial_x^2)\varphi\rangle=-2\int_{\mathbb R}g(a)\Bigl(\int_{\mathbb R}\partial_b\bigl(\partial_a\tilde\varphi\bigr)(a,b)\,db\Bigr)da=0 $$
である（内側の積分はコンパクト台の関数の微分の積分なので $0$）。$g=H$ とすると $u$ は直線 $x=t$ で跳び、滑らかでない。主表象 $\tau^2-\xi^2$ が $\tau=\pm\xi$ で $0$ になり楕円性を破るので、thm-elliptic-regularity-constant-main の仮定を満たさない。この反例は「$Pu=0$ なら $u$ は滑らか」という含意が、楕円性を外すと成り立たないことを示す。

反例：$\partial_x$ の解

$\mathbb R^2$ 上で $u(x,y)=H(y)$ とすると、$\langle\partial_xu,\varphi\rangle=-\int H(y)\bigl(\int\partial_x\varphi\,dx\bigr)dy=0$ なので $\partial_xu=0$ である。$u$ は $y=0$ で跳ぶ。$\partial_x$ の主表象 $\xi_1$ は $(\xi_1,\xi_2)=(0,1)$ で $0$ になり、楕円型でない。$n=1$ なら $d/dx$ は楕円型で、$u'=0$ の超関数解は定数に限る。

反例：跳ぶ係数の作用素

$a(x)=1$（$x<0$）、$a(x)=2$（$x>0$）とし、$\mathbb R$ 上で $Pu:=(a\,u')'$ を超関数の意味で考える。$u(x)=x$（$x<0$）、$u(x)=x/2$（$x>0$）とおくと、$u$ は Lipschitz 連続で弱微分 $u'=1/a$ をもつ（Sobolev空間の基本事項の例「絶対値関数」と同じ計算）。よって $a\,u'=1$、$Pu=0$ である。しかし $u$ は $x=0$ で微分可能でなく、$C^1$ 級でない。$a>0$ なので最高階の係数は $0$ にならないが、係数が滑らかでない（連続でさえない）のでthm-elliptic-regularity-variable の仮定を破る。

反例：境界までの正則性は内部正則性に含まれない

右半平面 $\Omega=\{z\in\mathbb C:\operatorname{Re}z>0\}$ 上で、主枝の平方根による $u=\operatorname{Re}\sqrt z$ は正則関数の実部なので調和であり、$\Omega$ 内で $C^\infty$ 級である。一方 $|\nabla u|=|(\sqrt z)'|=\frac{1}{2\sqrt{|z|}}$ は $z\to0$ で有界でなく、$u$ は閉包 $\overline\Omega$ の上で $C^1$ 級でない。thm-elliptic-regularity-constant-main が与えるのは $\Omega$ の内部での滑らかさだけであり、境界までの正則性には境界と境界条件についての別の仮定と議論が要る。