GNS構成

正値線形汎関数は $\omega(x^*)=\overline{\omega(x)}$ を満たす。実際、自己共役元 $h=h^*$ に対して
$$ \|h\|1+h\geq0,\qquad \|h\|1-h\geq0 $$
なので $\omega(h)$ は実数であり、任意の $x$ を実部と虚部に分ければ主張が従う。
$A:=\omega(a^*a)$、$B:=\omega(b^*b)$、$c:=\omega(a^*b)$ とおく。$B>0$ なら、任意の $\lambda\in\mathbb C$ に対する正値性から
$$ 0\leq\omega((a+\lambda b)^*(a+\lambda b)) =A+\lambda c+\overline{\lambda}\,\overline c+|\lambda|^2B $$
を得る。$\lambda=-\overline c/B$ とおけば
$$ 0\leq A-\frac{|c|^2}{B} $$
となり、$|c|^2\leq AB$ である。
$B=0$ の場合、もし $c\ne0$ なら $\lambda c$ が負の実数になるように偏角を選び、$|\lambda|$ を十分大きくすれば
$$ A+\lambda c+\overline{\lambda}\,\overline c<0 $$
となって正値性に反する。したがって $c=0$ であり、この場合も不等式が成り立つ。

$a,b\in N_\omega$ とする。Schwarz不等式により $\omega(a^*b)=\omega(b^*a)=0$ だから
$$ \omega((a+b)^*(a+b))=0. $$
また $\lambda\in\mathbb C$ に対して
$$ \omega((\lambda a)^*(\lambda a))=|\lambda|^2\omega(a^*a)=0 $$
である。よって $N_\omega$ は線形部分空間である。
$0\leq x^*x\leq\|x\|^2 1$ なので
$$ 0\leq a^*x^*xa\leq\|x\|^2a^*a. $$
正値汎関数は正元の順序を保つから
$$ 0\leq\omega((xa)^*(xa)) \leq\|x\|^2\omega(a^*a)=0. $$
したがって $xa\in N_\omega$ である。

前節の内積空間 $\mathcal A/N_\omega$ の完備化を $\mathcal H_\omega$ とする。$a,b\in\mathcal A$ に対して
$$ \pi_\omega(a)[b]:=[ab] $$
とおく。$N_\omega$ は左イデアルなので、この式は剰余類の代表元によらない。また
$$ \|\pi_\omega(a)[b]\|_\omega^2 =\omega(b^*a^*ab) \leq\|a\|^2\omega(b^*b) =\|a\|^2\|[b]\|_\omega^2 $$
である。したがって $\pi_\omega(a)$ は完備化上の有界作用素へ一意に延長され、
$$ \|\pi_\omega(a)\|\leq\|a\| $$
を満たす。
左乗法の結合則から
$$ \pi_\omega(ab)=\pi_\omega(a)\pi_\omega(b), \qquad \pi_\omega(1)=1 $$
である。また稠密部分空間 $\mathcal A/N_\omega$ 上で
$$ \langle\pi_\omega(a)[b],[c]\rangle_\omega =\omega(b^*a^*c) =\langle[b],\pi_\omega(a^*)[c]\rangle_\omega $$
だから $\pi_\omega(a)^*=\pi_\omega(a^*)$ である。よって $\pi_\omega$ は単位的 $*$-表現である。
$\Omega_\omega:=[1]$ とおくと
$$ \|\Omega_\omega\|^2=\omega(1)=1. $$
さらに
$$ \{\pi_\omega(a)\Omega_\omega\mid a\in\mathcal A\} =\{[a]\mid a\in\mathcal A\} $$
は完備化の定義により稠密なので、$\Omega_\omega$ は巡回ベクトルである。最後に
$$ \langle\Omega_\omega,\pi_\omega(a)\Omega_\omega\rangle =\langle[1],[a]\rangle_\omega =\omega(a) $$
を得る。

稠密部分空間 $\mathcal A/N_\omega$ 上で
$$ U_0[a]:=\pi(a)\Omega $$
と定める。$a,b\in\mathcal A$ に対して
$$ \langle U_0[a],U_0[b]\rangle =\langle\pi(a)\Omega,\pi(b)\Omega\rangle =\langle\Omega,\pi(a^*b)\Omega\rangle =\omega(a^*b) =\langle[a],[b]\rangle_\omega. $$
よって $U_0$ はwell-definedな等長写像である。$\Omega$ の巡回性により $U_0$ の像は $\mathcal H$ で稠密なので、完備化へ延長した $U$ はユニタリである。
$U[1]=\Omega$ であり、稠密部分空間上で
$$ U\pi_\omega(c)[a] =U[ca] =\pi(ca)\Omega =\pi(c)U[a] $$
だから絡み合い関係を得る。この二条件を満たす作用素は稠密集合
$$ \{\pi_\omega(a)\Omega_\omega\mid a\in\mathcal A\} $$
上で値が決まるので一意である。