Lagrangeの恒等式
概要
Lagrangeの恒等式（Lagrange's identity）とは、実数（より一般に可換環の元）$a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n$ について $\bigl(\sum a_i^2\bigr)\bigl(\sum b_i^2\bigr)-\bigl(\sum a_ib_i\bigr)^2=\sum_{i< j}(a_ib_j-a_jb_i)^2$ が成り立つ恒等式である。複素数では、2 乗を絶対値の 2 乗に、積の和を $\sum a_i\overline{b_i}$ に替えた形が成り立つ。実数や複素数では右辺が $0$ 以上なので、Cauchy–Schwarz の不等式と等号条件が従い、$\mathbb{R}^3$ では $|a|^2|b|^2-(a\cdot b)^2=|a\times b|^2$ となる。Cauchy–Binet の公式の特別な場合にあたる。
Lagrangeの恒等式（Lagrange's identity）とは、実数 $a_1,\dots,a_n$、$b_1,\dots,b_n$ について
$$
\Bigl(\sum_{i=1}^na_i^2\Bigr)\Bigl(\sum_{i=1}^nb_i^2\Bigr)-\Bigl(\sum_{i=1}^na_ib_i\Bigr)^2=\sum_{1\le i< j\le n}(a_ib_j-a_jb_i)^2
$$
が成り立つという恒等式である。左辺は「2 乗の和の積」と「積の和の 2 乗」の差で、右辺はそれを 2 次の行列式 $a_ib_j-a_jb_i=\det\begin{pmatrix}a_i&a_j\\b_i&b_j\end{pmatrix}$ の 2 乗の和として書き直している。
右辺が $0$ 以上であることから、ただちに $\mathbb{R}^n$ の Cauchy–Schwarz の不等式 $\bigl(\sum a_ib_i\bigr)^2\le\bigl(\sum a_i^2\bigr)\bigl(\sum b_i^2\bigr)$ が得られ、等号が成り立つのは右辺のすべての項が $0$、すなわち $a=(a_i)$ と $b=(b_i)$ が線形従属（一方が他方のスカラー倍）であるときに限ることもわかる。$n=3$ では右辺の 3 つの行列式がベクトル積 $a\times b$ の成分（1 つは符号を変えたもの）なので、恒等式は $|a|^2|b|^2-(a\cdot b)^2=|a\times b|^2$ という形になり、ここからベクトル積の長さが $a,b$ の張る平行四辺形の面積に等しいことが従う。
この記事では、恒等式を可換環の元についての形と複素数の形で証明し、4 つの数列についての一般化（Binet–Cauchy の恒等式）、Cauchy–Schwarz の不等式とその等号条件、ベクトル積の長さ、2 つの平方の和の積を導く。2 乗の和を不定符号の形 $x_1^2-x_2^2$ に替えると、右辺の符号が逆になることも確かめる。微分作用素についての「Lagrange の恒等式」（Sturm–Liouville問題 の記事にある）とは別のものである。
主張と証明
可換環の元についての形
左辺から右辺への変形は足し算と掛け算だけでできるので、実数に限らず、可換環の元について成り立つ。
$R$ を可換環、$a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n\in R$ とする。このとき
$$
\Bigl(\sum_{i=1}^na_i^2\Bigr)\Bigl(\sum_{i=1}^nb_i^2\Bigr)-\Bigl(\sum_{i=1}^na_ib_i\Bigr)^2=\sum_{1\le i< j\le n}(a_ib_j-a_jb_i)^2
$$
が成り立つ。
$i,j\in[n]:=\{1,\dots,n\}$ について $X_{ij}:=a_i^2b_j^2-a_ib_ia_jb_j$ とおく。左辺を 2 重和で展開すると
$$
\Bigl(\sum_ia_i^2\Bigr)\Bigl(\sum_jb_j^2\Bigr)-\Bigl(\sum_ia_ib_i\Bigr)\Bigl(\sum_ja_jb_j\Bigr)=\sum_{i,j\in[n]}X_{ij}
$$
である。対角の項は $X_{ii}=a_i^2b_i^2-a_i^2b_i^2=0$ なので、和は $i\ne j$ の項だけになる。$i\ne j$ の項を $i< j$ と $i>j$ に分け、後者で $i$ と $j$ の名前を入れ替えると
$$
\sum_{i,j}X_{ij}=\sum_{i< j}\bigl(X_{ij}+X_{ji}\bigr)
$$
である。ここで
$$
X_{ij}+X_{ji}=a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2-2a_ib_ia_jb_j=(a_ib_j-a_jb_i)^2
$$
なので（右辺を展開すれば左辺になる）、主張を得る。$\square$
証明は $2$ で割る操作を使っていない（$-2a_ib_ia_jb_j$ は $X_{ij}$ と $X_{ji}$ から 1 つずつ出る）ので、標数 $2$ の可換環でも成り立つ。整数・有理数・多項式についての恒等式として使える。
複素数の形
複素数では、2 乗を絶対値の 2 乗に、積の和を共役をつけた和に替える。
$a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n\in\mathbb{C}$ について
$$
\Bigl(\sum_{i=1}^n|a_i|^2\Bigr)\Bigl(\sum_{i=1}^n|b_i|^2\Bigr)-\Bigl|\sum_{i=1}^na_i\overline{b_i}\Bigr|^2=\sum_{1\le i< j\le n}|a_ib_j-a_jb_i|^2
$$
が成り立つ。
$s:=\sum_ia_i\overline{b_i}$ とおくと $|s|^2=s\overline s=\bigl(\sum_ia_i\overline{b_i}\bigr)\bigl(\sum_j\overline{a_j}b_j\bigr)$ である。$Y_{ij}:=|a_i|^2|b_j|^2-a_i\overline{b_i}\,\overline{a_j}b_j$ とおくと、左辺は $\sum_{i,j}Y_{ij}$ に等しく、$Y_{ii}=|a_i|^2|b_i|^2-|a_i|^2|b_i|^2=0$ である。前の証明と同じく $\sum_{i,j}Y_{ij}=\sum_{i< j}(Y_{ij}+Y_{ji})$ であり、
$$
Y_{ij}+Y_{ji}=|a_i|^2|b_j|^2+|a_j|^2|b_i|^2-a_i\overline{b_i}\,\overline{a_j}b_j-a_j\overline{b_j}\,\overline{a_i}b_i
$$
である。一方
$$
|a_ib_j-a_jb_i|^2=(a_ib_j-a_jb_i)\bigl(\overline{a_i}\,\overline{b_j}-\overline{a_j}\,\overline{b_i}\bigr)=|a_i|^2|b_j|^2-a_i\overline{a_j}\,b_j\overline{b_i}-a_j\overline{a_i}\,b_i\overline{b_j}+|a_j|^2|b_i|^2
$$
であり、これは $Y_{ij}+Y_{ji}$ に等しい。$\square$
$a_i,b_i$ がすべて実数なら、thm-lag-complex は thm-lag-ring の $R=\mathbb{R}$ の場合と同じ式になる。Ahl66 Chapter 1 §1.4 の演習 5（p. 9）は複素数の形を
$$
\Bigl|\sum_{i=1}^na_ib_i\Bigr|^2=\sum_{i=1}^n|a_i|^2\sum_{i=1}^n|b_i|^2-\sum_{1\le i< j\le n}|a_i\overline{b_j}-a_j\overline{b_i}|^2
$$
と述べている。$b_i$ をすべて $\overline{b_i}$ に替えれば、この記事の形と同じものである。
行列式から見た形
$a,b$ を行とする $2\times n$ 行列を $A=\begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_n\\b_1&\cdots&b_n\end{pmatrix}$ とする。実数の場合、
$$
AA^{\top}=\begin{pmatrix}\sum a_i^2&\sum a_ib_i\\\sum a_ib_i&\sum b_i^2\end{pmatrix}
$$
なので、恒等式の左辺は $\det(AA^{\top})$ であり、右辺の $a_ib_j-a_jb_i$ は $A$ の第 $i,j$ 列からなる 2 次の小行列式である。したがって Lagrange の恒等式は、Cauchy–Binetの公式 の系「行列とその共役転置の積」の $p=2$ の場合（$\det(AA^{\top})$ は 2 次の小行列式の 2 乗の和）にほかならない。複素数の形も、$AA^*$ について同じ系を使えば得られる。
$AA^{\top}$ は 2 本のベクトル $a,b$ の Gram行列 であり、その行列式は $a,b$ の張る平行四辺形の面積の 2 乗である。この見方では、右辺の各項 $(a_ib_j-a_jb_i)^2$ は、平行四辺形を第 $i,j$ 座標の平面に射影した図形の面積の 2 乗である。$k$ 本のベクトルに広げると「$k$ 次の小行列式の 2 乗の和」になり、これは Cauchy–Binetの公式 の節「Gram 行列式と小行列式の 2 乗の和」で扱う。
$a=(1,2,3)$、$b=(4,5,6)$ とする。$\sum a_i^2=14$、$\sum b_i^2=77$、$\sum a_ib_i=32$ なので、左辺は $14\cdot77-32^2=1078-1024=54$ である。右辺の 3 項は
$$
1\cdot5-2\cdot4=-3,\qquad 1\cdot6-3\cdot4=-6,\qquad 2\cdot6-3\cdot5=-3
$$
の 2 乗で、$9+36+9=54$ となり一致する。ベクトル積は $a\times b=(2\cdot6-3\cdot5,\ 3\cdot4-1\cdot6,\ 1\cdot5-2\cdot4)=(-3,6,-3)$ で、$|a\times b|^2=54$ でもある。
4 つの数列への一般化
2 つの「2 乗の和」を、4 つの数列の積の和に替えても、同じ形の恒等式が成り立つ。
$R$ を可換環、$a_i,b_i,c_i,d_i\in R$（$1\le i\le n$）とする。このとき
$$
\Bigl(\sum_ia_ic_i\Bigr)\Bigl(\sum_ib_id_i\Bigr)-\Bigl(\sum_ia_id_i\Bigr)\Bigl(\sum_ib_ic_i\Bigr)=\sum_{1\le i< j\le n}(a_ib_j-a_jb_i)(c_id_j-c_jd_i)
$$
が成り立つ。$c=a$、$d=b$ とおいたものが thm-lag-ring である。
$Z_{ij}:=a_ic_i\,b_jd_j-a_id_i\,b_jc_j$ とおくと、左辺は $\sum_{i,j}Z_{ij}$ であり、$Z_{ii}=a_ic_ib_id_i-a_id_ib_ic_i=0$ である。よって左辺は $\sum_{i< j}(Z_{ij}+Z_{ji})$ に等しい。一方、右辺の各項を展開すると
$$
(a_ib_j-a_jb_i)(c_id_j-c_jd_i)=a_ib_jc_id_j-a_ib_jc_jd_i-a_jb_ic_id_j+a_jb_ic_jd_i
$$
である。4 つの項を、添字 $i$ の付いた因子と $j$ の付いた因子に分けて並べ直すと、順に
$$
a_ic_i\,b_jd_j,\qquad -a_id_i\,b_jc_j,\qquad -a_jd_j\,b_ic_i,\qquad a_jc_j\,b_id_i
$$
であり、第 1・2 項の和は $Z_{ij}$、第 3・4 項の和は $a_jc_j\,b_id_i-a_jd_j\,b_ic_i=Z_{ji}$ である。よって右辺の各項は $Z_{ij}+Z_{ji}$ に等しく、両辺は一致する。$\square$
左辺は、$a,b$ を行とする $2\times n$ 行列 $A$ と、$c,d$ を列とする $n\times2$ 行列 $B$ の積 $AB=\begin{pmatrix}\sum a_ic_i&\sum a_id_i\\\sum b_ic_i&\sum b_id_i\end{pmatrix}$ の行列式である。右辺は $A$ と $B$ の 2 次の小行列式の積の和なので、この命題は Cauchy–Binetの公式 の $p=2$ の場合である。Cauchy–Binet の公式は、2 行の場合のこの恒等式を $p$ 行に広げたものと見ることもできる。
帰結
Cauchy–Schwarz の不等式と等号条件
$\mathbb{C}^n$ に標準内積 $\langle x,y\rangle:=\sum_ix_i\overline{y_i}$ を入れ、$\|x\|:=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ とする（内積 の記事と同じく、第 1 変数について線形）。
$a,b\in\mathbb{C}^n$ について $|\langle a,b\rangle|\le\|a\|\,\|b\|$ が成り立つ。等号が成り立つのは、すべての $i< j$ で $a_ib_j=a_jb_i$ となるとき、すなわち $a,b$ が線形従属であるときに限る。
thm-lag-complex の左辺は $\|a\|^2\|b\|^2-|\langle a,b\rangle|^2$ で、右辺は $0$ 以上なので不等式が従う。等号は右辺の各項 $|a_ib_j-a_jb_i|^2$ がすべて $0$ のときに限る。
$a_ib_j=a_jb_i$（すべての $i< j$）と線形従属が同値であることを示す。$b=0$ ならどちらも成り立つ。$b\ne0$ とし、$b_k\ne0$ となる $k$ をとる。条件が成り立てば、すべての $i$ で $a_ib_k=a_kb_i$（$i=k$ では自明）なので $a=\frac{a_k}{b_k}b$ であり、$a,b$ は線形従属である。逆に $a=cb$（または $b=ca$）なら $a_ib_j-a_jb_i=c(b_ib_j-b_jb_i)=0$ である。$\square$
この証明は「差が平方の和である」ことを直接示すので、判別式や最小値の議論を経由しない。一般の内積空間での不等式と、ほかの証明は Cauchy–Schwarzの不等式 にある。Ahl66 §1.5（pp. 10–11）は、Cauchy の不等式を $\sum_i|a_i-\lambda\overline{b_i}|^2\ge0$ に適当な $\lambda$ を代入して証明したあと、Lagrange の恒等式からも証明できることを注意している。
ベクトル積の長さ
$n=3$ のとき、右辺の 3 つの項は
$$
a_2b_3-a_3b_2,\qquad a_1b_3-a_3b_1,\qquad a_1b_2-a_2b_1
$$
であり、ベクトル積 の定義「ベクトル積」により、これらは $a\times b=(a_2b_3-a_3b_2,\ a_3b_1-a_1b_3,\ a_1b_2-a_2b_1)$ の成分に、2 番目だけ符号を変えたものである。2 乗すれば符号は消えるので、$\mathbb{R}^3$ の標準内積 $a\cdot b$ と長さ $|a|$ について
$$
|a|^2|b|^2-(a\cdot b)^2=|a\times b|^2
$$
が成り立つ。同じ比べ方を prop-lag-binet-cauchy に当てると $(a\times b)\cdot(c\times d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)$ を得る（積をとるので、2 番目の成分の符号の変化は両方の因子で起きて打ち消し合う）。この 2 つの式は ベクトル積 の命題「ベクトル積の基本性質」の 4 にもある。
$a,b\ne0$ のなす角を $\theta$（$0\le\theta\le\pi$）とすると $a\cdot b=|a||b|\cos\theta$ なので、
$$
|a\times b|^2=|a|^2|b|^2(1-\cos^2\theta)=|a|^2|b|^2\sin^2\theta
$$
であり、$\sin\theta\ge0$ から $|a\times b|=|a||b|\sin\theta$ を得る。右辺は $a,b$ の張る平行四辺形の面積（底辺 $|a|$、高さ $|b|\sin\theta$）である。
2 つの平方の和の積
$n=2$ の場合は
$$
(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)=(a_1b_1+a_2b_2)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2
$$
であり、「2 つの平方の和で書ける数どうしの積は、また 2 つの平方の和で書ける」ことを示す。複素数 $z=a_1+ia_2$、$w=b_1+ib_2$ を使えば $z\overline w=(a_1b_1+a_2b_2)+i(a_2b_1-a_1b_2)$ であり、この式は $|z|^2|w|^2=|z\overline w|^2$ を実部と虚部で書いたものである。
$5=1^2+2^2$、$13=2^2+3^2=3^2+2^2$ である。$a=(1,2)$、$b=(2,3)$ とすると $a_1b_1+a_2b_2=8$、$a_1b_2-a_2b_1=-1$ なので $65=8^2+1^2$ である。$b=(3,2)$ とすると $a_1b_1+a_2b_2=7$、$a_1b_2-a_2b_1=-4$ なので $65=7^2+4^2$ である。同じ 2 つの数の積でも、因子の表し方の並べ方によって、異なる表し方が出てくる。
仮定を外すと成り立たなくなること
| 外す条件・替える条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 複素数で、共役をとること（thm-lag-ring の形を複素数にそのまま使う） | $a=(1,i)$、$b=(1,0)$ | 等式は成り立つが、右辺は $-1$ で負になる。$\bigl\lvert\sum a_ib_i\bigr\rvert^2=1>0=\bigl\lvert\sum a_i^2\bigr\rvert\,\bigl\lvert\sum b_i^2\bigr\rvert$ |
| 複素数の形で、右辺を絶対値の 2 乗にすること（$(a_ib_j-a_jb_i)^2$ のままにする） | $a=(1,0)$、$b=(0,i)$ | 左辺は $1$ だが、右辺は $(1\cdot i-0)^2=-1$ |
| 2 乗の和という正値の形（$a_1^2-a_2^2$ のような不定符号の形に替える） | $a=(1,0)$、$b=(0,1)$ | 左辺は $-1$ で負になり、Cauchy–Schwarz の不等式の向きが逆になる |
各行で破れている条件と、崩れる結論を確かめる。
各行の確かめを開く
1 行目：$\sum a_i^2=1+i^2=0$、$\sum b_i^2=1$、$\sum a_ib_i=1$ なので、thm-lag-ring の左辺は $0\cdot1-1^2=-1$ である。右辺は $(1\cdot0-i\cdot1)^2=(-i)^2=-1$ で、thm-lag-ring は可換環 $\mathbb{C}$ の等式としては正しい。しかし複素数の 2 乗は $0$ 以上とは限らないので、右辺が平方の和であることから不等式を引き出せない。実際、絶対値をとった $\bigl|\sum a_ib_i\bigr|^2\le\bigl|\sum a_i^2\bigr|\bigl|\sum b_i^2\bigr|$ は $1\le0$ となって成り立たない。正しい複素数の形は thm-lag-complex で、$\sum|a_i|^2=2$、$\sum|b_i|^2=1$、$\sum a_i\overline{b_i}=1$ から左辺は $2-1=1$、右辺は $|-i|^2=1$ である。
2 行目：$\sum|a_i|^2=\sum|b_i|^2=1$、$\sum a_i\overline{b_i}=1\cdot0+0\cdot(-i)=0$ なので、thm-lag-complex の左辺は $1$ である。右辺の項は $a_1b_2-a_2b_1=i$ で、絶対値の 2 乗は $1$ だが、2 乗は $i^2=-1$ である。共役をとるのは左辺の内積だけでなく、右辺の各項でも必要である。
3 行目：$\mathbb{R}^2$ の 2 次形式 $q(x)=x_1^2-x_2^2$ と、対応する対称双線形形式 $\beta(x,y)=x_1y_1-x_2y_2$ について、恒等式に当たる式は $q(a)q(b)-\beta(a,b)^2=(a_1^2-a_2^2)(b_1^2-b_2^2)-(a_1b_1-a_2b_2)^2=-(a_1b_2-a_2b_1)^2$ となる（左辺を展開すると $-a_1^2b_2^2-a_2^2b_1^2+2a_1a_2b_1b_2$ である）。右辺は $0$ 以下なので、不等式は $\beta(a,b)^2\ge q(a)q(b)$ と逆向きになる。$a=(1,0)$、$b=(0,1)$ では $q(a)q(b)=1\cdot(-1)=-1$、$\beta(a,b)=0$ で、左辺は $-1$ である。この逆向きの不等式は Cauchy–Schwarzの不等式 の例「反例：不定符号の形式では向きが逆になる」と同じ現象である。
補足
$k$ 本のベクトル $v_1,\dots,v_k\in\mathbb{R}^n$ について、Gram 行列 $(v_i\cdot v_j)$ の行列式は、$v_1,\dots,v_k$ を行とする行列の $k$ 次の小行列式の 2 乗の和に等しい（Cauchy–Binetの公式 の系「行列とその共役転置の積」）。Lagrange の恒等式は $k=2$ の場合である。外積代数 の言葉では、右辺の 2 次の行列式 $a_ib_j-a_jb_i$ は $a\wedge b$ を基底 $e_i\wedge e_j$（$i< j$）で表したときの係数であり、恒等式は「$e_i\wedge e_j$（$i< j$）を正規直交とする内積で測った $a\wedge b$ の長さの 2 乗が、$a,b$ の Gram 行列式に等しい」ことを座標で書いたものと読める。
微分方程式の理論では、2 階の線形微分作用素 $L$ について、$Lu$ と $v$ の内積と $u$ と $Lv$ の内積の差を区間の端の値（境界項）で表す等式も Lagrange の恒等式と呼ばれる。これは固有値が実数であることや固有関数の直交性を示すのに使われる別の等式で、Sturm–Liouville問題 の定理「Lagrange の恒等式と固有関数の直交性」にある。
関連項目
- 前提: 内積, ベクトル積
- 比較: Cauchy–Schwarzの不等式, Gram行列
- 直後に読む: Cauchy–Binetの公式, 外積代数
- 発展: de Guaの定理, 正射影と面積
参考文献
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