Verschiebung

1：$y\in\mathrm{TS}^p(A)$ と $z\in A^{\otimes p}$ について、$y$ は対称なので $y\operatorname{Tr}(z)=\sum_\sigma\sigma(y)\sigma(z)=\operatorname{Tr}(yz)$ であり、$N_A$ はイデアルである。$A$ は可換なので $m_p\circ\sigma=m_p$ で、$m_p(\operatorname{Tr}z)=p!\,m_p(z)=0$ である。

2（加法性）：$0< j< p$ について、$a$ を $j$ 個、$b$ を $p-j$ 個並べたテンソルの、並べ方すべてにわたる和を $s_j$ とすると、$(a+b)^{\otimes p}=a^{\otimes p}+b^{\otimes p}+\sum_{0< j< p}s_j$ である。$\operatorname{Tr}(a^{\otimes j}\otimes b^{\otimes(p-j)})=j!\,(p-j)!\,s_j$ であり、$j!\,(p-j)!$ は $p$ と素なので $R$ で可逆である。よって $s_j\in N_A$ で、$a\mapsto a^{\otimes p}\bmod N_A$ は加法的である。$(ra)^{\otimes p}=r^pa^{\otimes p}$ なので、$\lambda_A$ は $ra\otimes s=a\otimes r^ps$ と両立し、$R$ 線形な写像として矛盾なく定まる。$(ab)^{\otimes p}=a^{\otimes p}b^{\otimes p}$ から環準同型である。

2（同型）：$\mathrm{TS}^p$ も $N_A$ も $\lambda_A$ も、$R$ の素イデアルでの局所化と両立する（不変部分は有限個の $\sigma-1$ の核で、局所化は完全）。よって $A$ が基底 $(e_i)_{i\in I}$ をもつ自由加群の場合に示せばよい。$A^{\otimes p}$ の基底 $e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_p}$ の $\mathfrak{S}_p$ 軌道の和たちが $\mathrm{TS}^p(A)$ の基底である。添字がすべて等しい軌道（対角）の和は $e_i^{\otimes p}$ である。対角でない基底テンソル $t$ の固定部分群の位数は、添字の重複度 $m_1,\dots,m_s$（どれも $p$ 未満）の階乗の積 $\prod m_l!$ で、$p$ と素なので、$\operatorname{Tr}(t)=\prod m_l!\cdot(\text{軌道の和})$ から軌道の和は $N_A$ に入る。対角な $t=e_i^{\otimes p}$ では $\operatorname{Tr}(t)=p!\,t=0$ である。したがって $N_A$ は対角でない軌道の和で張られ、$\mathrm{TS}^p(A)/N_A$ は $e_i^{\otimes p}$ の類を基底とする自由加群である。$\lambda_A$ は $A^{(p)}$ の基底 $e_i\otimes1$ をこれに送るので同型である。

3：$m_p(\lambda_A(a\otimes r))=ra^p=F_{A/R}(a\otimes r)$ と $m_p(N_A)=0$ から、$m_p$ は $\mathrm{TS}^p(A)/N_A$ を経由し、$\lambda_A$ と合成すると $F_{A/R}$ になる。よって $F_{A/R}\circ\pi_A=m_p$ である。後半：$z\mapsto\pi_A(z)^p$ と $z\mapsto m_p(z)\otimes1$ はどちらも加法的であり（$A^{(p)}$ でも $p\cdot1=0$）、$N_A$ 上ではどちらも $0$ である。2 により $\mathrm{TS}^p(A)$ は $r\,a^{\otimes p}$ の和と $N_A$ で生成され、$z=r\,a^{\otimes p}$ では $\pi_A(z)^p=(a\otimes r)^p=a^p\otimes r^p=ra^p\otimes1=m_p(z)\otimes1$ である。$\square$

2 つの局所自由な $R$ 代数 $A,B$ について、因子の並べ替え $s\colon(A\otimes B)^{\otimes p}\to A^{\otimes p}\otimes B^{\otimes p}$ は $\mathfrak{S}_p$ の作用と両立し、$x\in\mathrm{TS}^p(A)$、$y\in\mathrm{TS}^p(B)$ について$$\pi_{A\otimes B}\bigl(s^{-1}(x\otimes y)\bigr)=\pi_A(x)\otimes\pi_B(y)\qquad\bigl((A\otimes B)^{(p)}=A^{(p)}\otimes B^{(p)}\bigr)$$が成り立つ。実際 $x=r\,a^{\otimes p}$、$y=r'b^{\otimes p}$ なら $s^{-1}(x\otimes y)=rr'(a\otimes b)^{\otimes p}$ で両辺は $(a\otimes b)\otimes rr'$ であり、$x=\operatorname{Tr}(z)$ なら $y$ の対称性から $s^{-1}(x\otimes y)=\operatorname{Tr}(s^{-1}(z\otimes y))\in N_{A\otimes B}$ で両辺は $0$ である。

余積：$(\Delta_p\otimes\Delta_p)\circ\Delta$ と $\Delta^{\otimes p}\circ\Delta_p$ は、どちらも余積を $2p-1$ 回くり返して $2p$ 個の因子に分けた写像を因子の順序だけ替えたもので、余可換性により $s^{-1}\circ(\Delta_p\otimes\Delta_p)\circ\Delta=\Delta^{\otimes p}\circ\Delta_p$ である。よって$$(V_{A/R}\otimes V_{A/R})\circ\Delta=\pi_{A\otimes A}\circ s^{-1}\circ(\Delta_p\otimes\Delta_p)\circ\Delta=\pi_{A\otimes A}\circ\Delta^{\otimes p}\circ\Delta_p=\Delta^{(p)}\circ\pi_A\circ\Delta_p=\Delta^{(p)}\circ V_{A/R}$$である（3 つ目の等号は $\phi=\Delta$ についての $\pi$ の自然性）。$\Delta^{(p)}=\Delta\otimes\mathrm{id}_R$ は $A^{(p)}$ の余積である。

余単位：$\phi=\varepsilon\colon A\to R$ について自然性を使うと、$\varepsilon^{\otimes p}\circ\Delta_p=\varepsilon$ と $\pi_R=\mathrm{id}_R$（$\mathrm{TS}^p(R)=R$、$\pi_R(r\cdot1^{\otimes p})=1\otimes r=r$）から $\varepsilon^{(p)}\circ V_{A/R}=\varepsilon$ である。余積と余単位を保つ環準同型は Hopf 代数の準同型であり（対蹠射は余積と余単位から決まる）、$V_G$ は群スキームの準同型である。$\square$

$A^{(p)}$ と $(A^\vee)^{(p)}$ の対は $\langle\varphi\otimes s,b\otimes r\rangle=rs\,\varphi(b)^p$ である（$A^\vee\otimes A\to R$ の対を $F_R$ で底変換したもの）。$F_{G^D}$ は $F_{A^\vee/R}\colon(A^\vee)^{(p)}\to A^\vee$、$\varphi\otimes s\mapsto s\varphi^p$ に対応し（$\varphi^p$ は $A^\vee$ の積、すなわち余積の転置による積での $p$ 乗）、その転置が $(F_{G^D})^D$ である。示すべきことは、すべての $a\in A$、$\varphi\in A^\vee$、$s\in R$ について$$\langle\varphi\otimes s,\ V_{A/R}(a)\rangle=\langle s\varphi^p,\ a\rangle$$が成り立つことである。右辺は $s\,\varphi^{\otimes p}(\Delta_p(a))$ である（積が $\Delta$ の転置であることをくり返し使う）。そこで $z\in\mathrm{TS}^p(A)$ について $\langle\varphi\otimes1,\pi_A(z)\rangle=\varphi^{\otimes p}(z)$ を示せばよい。両辺は $z$ について加法的である。$z=r\,b^{\otimes p}$ なら $\pi_A(z)=b\otimes r$ で両辺は $r\varphi(b)^p$ である。$z=\operatorname{Tr}(z')$ なら左辺は $0$、右辺は $\sum_\sigma\varphi^{\otimes p}(\sigma z')=p!\,\varphi^{\otimes p}(z')=0$ である（$\varphi^{\otimes p}$ は対称）。lem-vs-ts の 2 によりこれで $\mathrm{TS}^p(A)$ 全体を尽くす。よって $V_G=(F_{G^D})^D$ である。$G^D$ に当てはめて Cartier 双対をとり、二重双対 $G^{DD}\cong G$（Cartier双対 の記事の定理「二重双対」）を使えば $F_G=(V_{G^D})^D$ を得る。$\square$