定常集合

要点：各 $C_i$ の元を順に上へ拾っていく長さ $\omega$ の列を作ると、その上限にはすべての $C_i$ の元が下から近づくので、閉性からすべての $C_i$ に属する。

$D:=\mathop{\triangle}_{\alpha<\kappa}C_\alpha$ とおく。
閉であること：極限順序数 $\delta$ で $\sup(D\cap\delta)=\delta$ とする。$\alpha<\delta$ を固定すると、$D$ の元で $\alpha<\beta<\delta$ となる $\beta$ はすべて $C_\alpha$ に属する（$D$ の定義）。よって $\sup(C_\alpha\cap\delta)=\delta$ で、$C_\alpha$ の閉性から $\delta\in C_\alpha$ である。$\alpha<\delta$ は任意だから $\delta\in D$ である。
非有界であること：$\gamma<\kappa$ をとる。$\beta_0:=\gamma+1$ とし、$\beta_{n+1}$ を $\bigcap_{\alpha\le\beta_n}C_\alpha$ の元で $\beta_n$ より大きいものとする。これは $\beta_n+1<\kappa$ 個の club の共通部分なので lem-st-club-intersection から非有界であり、選べる。$\beta:=\sup_n\beta_n<\kappa$ とおく。$\alpha<\beta$ なら、ある $n$ で $\alpha\le\beta_n$ であり、$m\ge n$ のすべてで $\beta_{m+1}\in C_\alpha$ である。よって $\sup(C_\alpha\cap\beta)=\beta$ で、$\beta\in C_\alpha$ である。したがって $\beta\in D$ かつ $\beta>\gamma$ である。$\square$

(i) $S$ が $\gamma<\kappa$ で上から押さえられるなら、末尾区間 $\{\beta\mid\gamma<\beta<\kappa\}$ は club で $S$ と交わらない。
(ii) club $C$ と任意の club $D$ について、$C\cap D$ は lem-st-club-intersection から club であり、非有界なので空でない。
(iii) 任意の club $D$ について $C\cap D$ は club なので、$S\cap(C\cap D)\ne\emptyset$ である。これは $(S\cap C)\cap D\ne\emptyset$ ということである。
(iv) 非定常集合 $N_i$（$i<\lambda$）ごとに、$N_i$ と交わらない club $C_i$ を選ぶ。$\lambda=0$ なら和集合は空で非定常である。$\lambda>0$ なら $\bigcap_iC_i$ は club で、$\bigcup_iN_i$ と交わらない。$\square$

club $C$ を任意にとり、その元を小さい順に $c_0< c_1<\dots< c_\xi<\cdots$ と並べる。$C$ は非有界で $\kappa$ は正則だから、この番号づけは $\xi<\kappa$ すべてに渡る。$\delta:=\sup_{\xi<\lambda}c_\xi$ とおくと、$\lambda<\kappa$ と正則性から $\delta<\kappa$ であり、$\lambda$ が極限順序数なので $\delta$ は $C$ の元が下から近づく極限順序数である。閉性から $\delta\in C$ である。
$\xi\mapsto c_\xi$（$\xi<\lambda$）は $\lambda$ から $\delta$ への狭義単調増加な共終写像なので $\operatorname{cf}(\delta)\le\lambda$ である。逆に $\mu<\lambda$ と共終写像 $g\colon\mu\to\delta$ があったとする。各 $\zeta<\mu$ に、$g(\zeta)< c_\xi$ となる最小の $\xi<\lambda$ を対応させる写像 $\mu\to\lambda$ は、$\lambda$ の中で非有界になる（そうでなければ、ある $\xi_0<\lambda$ で $g$ の値がすべて $c_{\xi_0}$ 未満になり、$g$ が共終であることに反する）。これは $\lambda$ の正則性 $\operatorname{cf}(\lambda)=\lambda$ に反する。よって $\operatorname{cf}(\delta)=\lambda$ であり、$\delta\in C\cap E^\kappa_\lambda$ である。$\square$

すべての $\beta<\kappa$ について $S_\beta:=\{\alpha\in S\mid f(\alpha)=\beta\}$ が非定常だと仮定する。各 $\beta$ について、$S_\beta$ と交わらない club $C_\beta$ を選ぶ。lem-st-diagonal-club により $D:=\mathop{\triangle}_{\beta<\kappa}C_\beta$ は club である。$S$ は定常なので $\alpha\in S\cap D$ がとれる。$\beta:=f(\alpha)$ とおくと、$f$ が退行的なので $\beta<\alpha$ である。$\alpha\in D$ と対角共通部分の定義から $\alpha\in C_\beta$ である。一方 $\alpha\in S_\beta$ であり、$C_\beta\cap S_\beta=\emptyset$ に反する。$\square$

$S$ と交わらない club $C$ をとる。$\alpha\in S$ について、$\alpha\le\min C$ なら $f(\alpha):=0$、$\alpha>\min C$ なら $f(\alpha):=\sup(C\cap\alpha)$ と定める。前者では $\alpha>0$ なので $f(\alpha)<\alpha$ である。後者では、$\alpha\notin C$ なので $C$ の閉性から $\sup(C\cap\alpha)<\alpha$ である（$\sup(C\cap\alpha)=\alpha$ なら $\alpha$ は極限順序数で、$\alpha\in C$ となってしまう）。よって $f$ は退行的である。
$\beta<\kappa$ を固定し、$c\in C$ を $c>\beta$ となるようにとる。$\alpha\in S$ が $\alpha>c$ なら $c\in C\cap\alpha$ なので $f(\alpha)\ge c>\beta$ である。よって $f(\alpha)\le\beta$ となる $\alpha\in S$ は $c$ 以下であり、有界である。有界な集合は非定常なので、各値の逆像も非定常である。$\square$

要点：各 $\alpha\in S$ に $\alpha$ へ向かう列 $(a^\alpha_n)_{n<\omega}$ を選ぶと、ある $n$ で $\alpha\mapsto a^\alpha_n$ が「どこまで上に制限しても定常集合上で値をもつ」退行的関数になる。これに Fodor の補題を繰り返し当てると、互いに異なる値 $\kappa$ 個の逆像がすべて定常になる。