対数微分法

$x>0$ で $y=x^x$ とする。$y>0$ なので、両辺の自然対数をとれる。
$$ \log y=\log x^x=x\log x $$
両辺を $x$ で微分する。左辺は $\log y$ の中身 $y$ が $x$ の関数なので、連鎖律により $\dfrac{y'}{y}$ になる。右辺は積の微分により $1\cdot\log x+x\cdot\dfrac1x=\log x+1$ になる。よって
$$ \frac{y'}{y}=\log x+1,\qquad y'=y(\log x+1)=\boxed{x^x(\log x+1)} $$
である。
数値で確かめる。$x=2$ では $y'=4(\log2+1)=6.77258\ldots$ である。平均変化率 $\dfrac{(2+h)^{2+h}-4}{h}$ は

となり、$6.77258\ldots$ に近づく。

$x>0$、$x\ne2$ で
$$ y=\frac{(x+1)^3}{(x-2)^2\sqrt x} $$
を微分する。商の微分をそのまま使うと、分子の微分に積の微分が要り、分母の 2 乗 $(x-2)^4x$ が出てきて計算が長くなる。
対数微分法では、先に対数で積と商を和と差に直す。$x-2$ は負のこともあるので、絶対値をつけて
$$ \log\lvert y\rvert=3\log(x+1)-2\log\lvert x-2\rvert-\frac12\log x $$
とする（$x+1>0$、$x>0$ なので、その 2 つには絶対値が要らない）。両辺を微分すると
$$ \frac{y'}{y}=\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x-2}-\frac{1}{2x} $$
となる。$x=1$ では $y=\dfrac{2^3}{(-1)^2\cdot1}=8$、$\dfrac{y'}{y}=\dfrac32+2-\dfrac12=3$ なので $y'=8\cdot3=24$ である。

1. $f(x)=x^3$（$x\ne0$）：$\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{3x^2}{x^3}=\dfrac3x$。$x=2$ では $\dfrac32$ である。
2. $f(x)=5e^{2x}$：$\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{10e^{2x}}{5e^{2x}}=2$。係数 $5$ によらず、どの $x$ でも $2$ である。
3. $f(x)=100\cdot1.05^x$：$f'(x)=100\cdot1.05^x\log1.05$ なので $\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\log1.05=0.04879\ldots$。毎年 $5\%$ ずつ増える量の相対変化率は、ほぼ $0.05$ だが、ちょうど $0.05$ ではない。

$x=-2$ では、補題から $(\log\lvert x\rvert)'=-\dfrac12$ である。平均変化率は、$h=0.001$ で
$$ \frac{\log\lvert-2+0.001\rvert-\log\lvert-2\rvert}{0.001}=\frac{\log1.999-\log2}{0.001}=-0.50012\ldots $$
となり、$-\dfrac12$ に近い。$x$ を $-2$ から少し右（$0$ の側）に動かすと $\lvert x\rvert$ は小さくなるので、$\log\lvert x\rvert$ は減る。導関数が負なのはこのためである。

$f(x)=\sin x$、$a=\dfrac\pi4$ とする。定理から $(\log\lvert\sin x\rvert)'=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ で、$x=\dfrac\pi4$ では $1$ である。$x=\dfrac{5\pi}4$（$\sin x<0$）でも $\dfrac{\cos x}{\sin x}=\dfrac{-1/\sqrt2}{-1/\sqrt2}=1$ である。

ex-lgd-start-quotient の $y=\dfrac{(x+1)^3}{(x-2)^2\sqrt x}$ は、cor-lgd-product で $f_1=x+1$、$f_2=x-2$、$f_3=x$、$p_1=3$、$p_2=-2$、$p_3=-\dfrac12$ とした場合である（$f_3=x>0$ なので $p_3$ は整数でなくてよい）。$y'$ を 1 つの分数にまとめると
$$ \begin{aligned} y'&=\frac{(x+1)^3}{(x-2)^2\sqrt x}\left(\frac3{x+1}-\frac2{x-2}-\frac1{2x}\right)\\ &=\frac{(x+1)^3}{(x-2)^2\sqrt x}\cdot\frac{6x(x-2)-4x(x+1)-(x+1)(x-2)}{2x(x+1)(x-2)}\\ &=\frac{(x+1)^3}{(x-2)^2\sqrt x}\cdot\frac{x^2-15x+2}{2x(x+1)(x-2)}\\ &=\frac{(x+1)^2(x^2-15x+2)}{2x\sqrt x\,(x-2)^3} \end{aligned} $$
となる。2 行目の分子は $6x^2-12x-4x^2-4x-(x^2-x-2)=x^2-15x+2$ である。$x=1$ では $\dfrac{4\cdot(-12)}{2\cdot1\cdot(-1)}=24$ で、ex-lgd-start-quotient と一致する。$x=4$ では $y=\dfrac{125}{8}$、$\dfrac{y'}{y}=\dfrac35-1-\dfrac18=-\dfrac{21}{40}$ で、$y'=-\dfrac{525}{64}$ である。

$y>0$ なので $\log y=\sin x\cdot\log x$ である。両辺を微分すると、右辺は積の微分で
$$ \frac{y'}{y}=\cos x\cdot\log x+\sin x\cdot\frac1x $$
となる。よって
$$ y'=x^{\sin x}\left(\cos x\log x+\frac{\sin x}{x}\right) $$
である。$x=\dfrac\pi2$ では $\sin x=1$、$\cos x=0$ なので、$y=\dfrac\pi2$、$y'=\dfrac\pi2\left(0+\dfrac{1}{\pi/2}\right)=1$ である。

1. $a>0$ を定数として $y=a^x$。$\log y=x\log a$ を微分して $\dfrac{y'}{y}=\log a$、よって $y'=a^x\log a$。相対変化率 $\log a$ がちょうど $1$ になる底が $a=e$ である（eはなぜ特別か）。
   ほかの 2 つの例を開く

   • $r$ を実数として $y=x^r$（$x>0$）。$\log y=r\log x$ を微分して $\dfrac{y'}{y}=\dfrac rx$、よって $y'=x^r\cdot\dfrac rx=rx^{r-1}$。連鎖律（高校数学） で $x^r=e^{r\log x}$ として求めた結果と同じである。
   • $y=f(x)g(x)$（$f,g\ne0$）。$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{f'}{f}+\dfrac{g'}{g}$ に $y=fg$ を掛けて $y'=f'g+fg'$。積の微分の公式が出る。ただしこれは $f,g\ne0$ の点だけでの導き方で、積の微分そのものの証明にはならない（積の微分とLeibnizの公式 は $0$ になる点も含めて証明している）。

ex-lgd-start-xx より、$x>0$ で $y'=x^x(\log x+1)$ である。$x^x>0$ なので、$y'$ の符号は $\log x+1$ の符号と同じである。$\log x+1=0$ となるのは $\log x=-1$、つまり $x=\dfrac1e$ のときで、$\log x$ は増加関数なので

となる。最小値は $\left(\dfrac1e\right)^{1/e}=e^{-1/e}=0.69220\ldots$ である。
$x\to+0$ のとき $x^x=e^{x\log x}$ で、$x\log x\to0$ なので $x^x\to e^0=1$ である。このように対数をとって指数の部分の極限を調べる方法は、1の∞乗型の極限 でも使う。数値では $0.1^{0.1}=0.79432\ldots$、$0.01^{0.01}=0.95499\ldots$、$0.001^{0.001}=0.99311\ldots$ となる。

1. 長方形の横が毎秒 $2\%$、縦が毎秒 $3\%$ の相対変化率で伸びているとき、面積の相対変化率は
   $$ \frac{(\text{面積})'}{\text{面積}}=\underbrace{0.02}_{\text{横}}+\underbrace{0.03}_{\text{縦}}=0.05 $$
   で、毎秒 $5\%$ である。横と縦の長さそのもの（たとえば $10$ と $20$ か、$1$ と $100$ か）にはよらない。
   ほかの 2 つの例を開く

   • 円の半径 $r$ が相対変化率 $1\%$ で増えると、面積 $\pi r^2$ の相対変化率は $2\times1\%=2\%$、球の体積 $\dfrac43\pi r^3$ の相対変化率は $3\%$ である（3 で $p=2,3$。定数倍 $\pi$、$\dfrac43\pi$ は相対変化率に効かない）。
   • 物の値段が相対変化率 $3\%$ で上がり、売れる個数が相対変化率 $1\%$ で減るとき、売上（値段 $\times$ 個数）の相対変化率は $0.03+(-0.01)=0.02$、つまり $2\%$ である。

1. $y=x^2(x-1)^3$ とする。$x\ne0,1$ では cor-lgd-product により
   $$ y'=x^2(x-1)^3\left(\frac2x+\frac3{x-1}\right)=2x(x-1)^3+3x^2(x-1)^2 $$
   である。右辺の最後の式は $x=0$ でも値 $0$ をもち、実際 $y'(0)=0$ である。しかしこの結論は対数微分法からは出ない。$x=0$ で成り立つ理由は、積の微分（積の微分とLeibnizの公式）が $0$ になる点でも使えることにある。
2. $y=\sqrt[3]{x^2}$（すべての実数 $x$ で、実数の 3 乗根をとる）とする。$x\ne0$ では $\log\lvert y\rvert=\dfrac23\log\lvert x\rvert$ なので $\dfrac{y'}{y}=\dfrac2{3x}$、$y'=\dfrac23\cdot\dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{x}=\dfrac2{3\sqrt[3]x}$ である。この式は $x=0$ で値をもたない。実際、$x=0$ での平均変化率は $\dfrac{\sqrt[3]{h^2}}{h}=\dfrac1{\sqrt[3]h}$ で、$h=0.001$ で $10$、$h=-0.001$ で $-10$ となり、$h\to0$ で収束しない。$y$ は $x=0$ で微分可能でない。
   1 と 2 のどちらも、$x=0$ では $y=0$ で、$\dfrac{y'}{y}$ が作れない。$y=0$ の点で微分可能かどうかは、定義や積の微分に戻って別に調べる必要がある。

$y=(x-3)(x+1)^2$ の $x=1$ での微分係数を求める。$x=1$ では $x-3=-2<0$、$y=-8<0$ なので、$\log y$ も $\log(x-3)$ も定義されない。「$\log y=\log(x-3)+2\log(x+1)$ を微分する」という計算は、$-1< x<3$ では意味をもたない。
絶対値をつけて $\log\lvert y\rvert=\log\lvert x-3\rvert+2\log\lvert x+1\rvert$ とすれば、$-1< x<3$ でも正しい等式で、lem-lgd-log-abs により
$$ \frac{y'}{y}=\frac1{x-3}+\frac2{x+1} $$
である。$x=1$ では $\dfrac{y'}{y}=-\dfrac12+1=\dfrac12$、$y'=-8\cdot\dfrac12=-4$ となる。直接微分すると $y'=(x+1)^2+2(x-3)(x+1)$ で、$x=1$ では $4-8=-4$ と一致する。
絶対値を書き忘れても最後の式が同じになるのは、$\log\lvert u\rvert$ の導関数が $u$ の正負によらず $\dfrac{u'}{u}$ だからである。答えが合っていても、途中の式が意味をもつのは絶対値をつけたときだけである。

$y=x^x$ の $x=2$ での微分係数を、次の 2 つの誤った方法で求めてみる。

1. 指数を定数とみなして $(x^n)'=nx^{n-1}$ を使う：$x\cdot x^{x-1}=x^x$ で、$x=2$ では $4$。
2. 底を定数とみなして $(a^x)'=a^x\log a$ を使う：$x^x\log x$ で、$x=2$ では $4\log2=2.77258\ldots$。
   正しい値は ex-lgd-start-xx の $4(\log2+1)=6.77258\ldots$ で、どちらとも違う。ところが、正しい値は 2 つの誤った値の和 $4+2.77258\ldots$ になっている。
   2 つの誤った値の和が正しい値になる理由

   これは偶然ではない。$u$、$v$ を微分可能な関数とし、$u>0$ とする。$y=u^v$ について $\log y=v\log u$ を微分すると $\dfrac{y'}{y}=v'\log u+v\dfrac{u'}{u}$ なので $\displaystyle (u^v)'=\underbrace{vu^{v-1}u'}_{\text{指数 }v\text{ を止めて微分}}+\underbrace{u^v\log u\cdot v'}_{\text{底 }u\text{ を止めて微分}}$ である。積の微分で「片方ずつ止めて微分して足す」のと同じ形である。

$f(x)=(x+1)x(x-1)$ なので $\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac1{x+1}+\dfrac1x+\dfrac1{x-1}$ である。$x=2$ では $f(2)=6$、右辺は $\dfrac13+\dfrac12+1=\dfrac{11}6$ なので $f'(2)=6\cdot\dfrac{11}6=11$ となる。直接には $f'(x)=3x^2-1$ で、$f'(2)=11$ と一致する。