Gershgorinの円板定理

$Ax=\lambda x$、$x\neq0$ とし、$m$ を上のとおりにとる。$x\neq0$ なので $|x_m|>0$ である。$Ax=\lambda x$ の第 $m$ 成分は $\sum_ja_{mj}x_j=\lambda x_m$ であり、$j=m$ の項を左辺へ移すと
$$ (\lambda-a_{mm})\,x_m=\sum_{j\neq m}a_{mj}x_j $$
となる。両辺の絶対値をとり、三角不等式 と $|x_j|\le|x_m|$ を使うと
$$ |\lambda-a_{mm}|\,|x_m|\ \le\ \sum_{j\neq m}|a_{mj}|\,|x_j|\ \le\ \Bigl(\sum_{j\neq m}|a_{mj}|\Bigr)|x_m|=R_m(A)\,|x_m| $$
である。$|x_m|>0$ で割って $|\lambda-a_{mm}|\le R_m(A)$、すなわち $\lambda\in D_m(A)$ を得る。$\square$

転置 $A^{\mathsf T}$ の $(i,j)$ 成分は $a_{ji}$ なので、$A^{\mathsf T}$ の第 $i$ 行の円板は $A$ の第 $i$ 列の円板 $D'_i(A)$ である。$\det(zI-A^{\mathsf T})=\det\bigl((zI-A)^{\mathsf T}\bigr)=\det(zI-A)$（行列式 は転置で変わらない）なので、$A^{\mathsf T}$ と $A$ の固有値は重複度を込めて一致する。thm-gc-main を $A^{\mathsf T}$ に使えばよい。$\square$

$P^{-1}AP$ の $(i,j)$ 成分は $p_i^{-1}a_{ij}p_j$ で、対角成分は $a_{ii}$ のままである。$\det(zI-P^{-1}AP)=\det\bigl(P^{-1}(zI-A)P\bigr)=\det(zI-A)$ なので $P^{-1}AP$ と $A$ の固有値は一致し、thm-gc-main を $P^{-1}AP$ に使えばよい。$\square$

$I=\emptyset$ または $I=\{1,\dots,n\}$ のときは $T=\emptyset$ または $S=\emptyset$ で、thm-gc-main から明らかなので、$1\le k\le n-1$ とする。
変形の族．$t\in[0,1]$ に対し、$A_t$ を対角成分が $a_{ii}$、非対角成分が $ta_{ij}$ の行列とする。$A_0$ は対角行列、$A_1=A$ である。$R_i(A_t)=tR_i(A)\le R_i(A)$ なので $D_i(A_t)\subset D_i(A)$ であり、thm-gc-main により、すべての $t$ で
$$ \sigma(A_t)\subset S\cup T $$
である。$p_t(z):=\det(zI-A_t)$ は $z$ の $n$ 次のモニック多項式で、行列式を成分の多項式として展開すると、その係数は $t$ の多項式であり、とくに $t$ について連続である。$N(t)$ を、$S$ に属する $p_t$ の根の個数（重複度を込める）とする。
$N(0)=k$．$p_0(z)=\prod_i(z-a_{ii})$ である。$i\in I$ なら $a_{ii}\in D_i(A)\subset S$、$i\notin I$ なら $a_{ii}\in T$ で $S\cap T=\emptyset$ なので $a_{ii}\notin S$ である。よって $N(0)=\#I=k$ である。
$N$ は局所的に一定．$S,T$ はどちらも有限個の閉円板の和なのでコンパクトで、交わらないから $d:=\min\{|s-u|\mid s\in S,\ u\in T\}>0$ である。$t_0\in[0,1]$ を固定し、$p_{t_0}$ の相異なる根を $\zeta_1,\dots,\zeta_r$、重複度を $m_1,\dots,m_r$ とする。$0<\varepsilon< d$ を、$l\neq l'$ なら $|\zeta_l-\zeta_{l'}|>2\varepsilon$ となるようにとる。Rouchéの定理 の定理「多項式の根の連続性」と係数の連続性により、$\eta>0$ があって、$|t-t_0|<\eta$ なら $p_t$ は各開円板 $|z-\zeta_l|<\varepsilon$ の中にちょうど $m_l$ 個の根をもち、$p_t$ の根はすべてこれらの円板のどれかに属する。
包含 $\sigma(A_{t_0})\subset S\cup T$ により $\zeta_l\in S$ か $\zeta_l\in T$ のどちらか一方である。$\zeta_l\in S$ のとき、$|z-\zeta_l|<\varepsilon< d$ を満たす $z$ は $T$ に属さないので、この円板の中の $p_t$ の根 $m_l$ 個は、包含 $\sigma(A_t)\subset S\cup T$ により $S$ に属する。同様に $\zeta_l\in T$ なら、その円板の中の根は $T$ に属する。したがって $|t-t_0|<\eta$ のとき
$$ N(t)=\sum_{\zeta_l\in S}m_l=N(t_0) $$
である。
結論．$\{t\in[0,1]\mid N(t)=k\}$ とその補集合はどちらも開集合で、前者は $0$ を含む。区間 $[0,1]$ は連結なので、$N(t)=k$ がすべての $t$ で成り立ち、$t=1$ として主張を得る。$T$ についての主張は、固有値が重複度を込めて $n$ 個あり、包含 $\sigma(A)\subset S\cup T$ からすべて $S\cup T$ に属することから従う。$\square$

1 は thm-gc-count の $I=\{i\}$ の場合である。2：$A$ が実なら $p_A$ は実係数なので、$\lambda$ が固有値なら $\overline\lambda$ も固有値である。$a_{ii}$ は実数なので $|\overline\lambda-a_{ii}|=|\overline{\lambda-a_{ii}}|=|\lambda-a_{ii}|\le R_i(A)$ で、$\overline\lambda\in D_i(A)$ である。$\lambda\notin\mathbb R$ なら $\lambda\neq\overline\lambda$ が $D_i(A)$ の中の 2 つの固有値になり、1 に反する。3：1 により各円板に固有値が 1 つずつあり、円板が交わらないのでそれらは相異なる。相異なる固有値に属する固有ベクトルは 1 次独立なので（対角化）、$A$ は対角化可能である。$\square$

各 $i$ で $|0-a_{ii}|=|a_{ii}|>R_i(A)$ なので、$0$ はどの $D_i(A)$ にも属さない。thm-gc-main により $0$ は固有値でなく、$\det A=(-1)^np_A(0)\neq0$ である。列の場合は cor-gc-column を使う。$\square$

Hermite 行列の固有値は実数である。固有値 $\lambda$ は、ある $m$ で $D_m(A)$ に属するので、$\lambda\ge a_{mm}-R_m(A)>0$ である。Hermite行列 の定理「ユニタリ対角化できる行列」により、固有ベクトルからなる正規直交基底 $u_1,\dots,u_n$ があり、$Au_l=\lambda_lu_l$ とすると、$0$ でない $x=\sum_lc_lu_l$ について $x^*Ax=\sum_l\lambda_l|c_l|^2>0$ である。$\square$

prf-gc-main と同じ計算により
$$ R_i(A)\ \le\ |\lambda-a_{ii}|\ \le\ \sum_{j\neq i}|a_{ij}|\,|x_j|\ \le\ \sum_{j\neq i}|a_{ij}|=R_i(A) $$
なので、この式の不等号はすべて等号である。いちばん右の不等号が等号であることから $\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\,(1-|x_j|)=0$ で、各項は $0$ 以上なので、$a_{ij}\neq0$ なら $|x_j|=1$、すなわち $j\in M$ である。$\square$

$x$ と $M$ を lem-gc-propagate のとおりにとる。$i\in M$ なら、thm-gc-main の証明により $\lambda\in D_i(A)$ である。もし $|\lambda-a_{ii}|< R_i(A)$ なら、$\lambda$ の近くの点はすべて $D_i(A)\subset G$ に属し、$\lambda$ は $G$ の内点になって仮定に反する。よって $i\in M$ なら $|\lambda-a_{ii}|\ge R_i(A)$ であり、補題により $|\lambda-a_{ii}|=R_i(A)$ で、$i$ から辺の出ている先はすべて $M$ に属する。
$i_0\in M$ をとる。任意の $j\neq i_0$ について、既約性から道 $i_0\to i_1\to\cdots\to i_s=j$ がある。各辺は $a_{i_{r-1}i_r}\neq0$ を意味するので、いま示したことを $r=1,\dots,s$ の順に使うと $i_1,\dots,i_s\in M$ である。よって $M=\{1,\dots,n\}$ であり、すべての $i$ で $|\lambda-a_{ii}|=R_i(A)$ である。$\square$

$A$ が正則でないとすると $0$ は固有値なので、$Ax=0$ となる $x\neq0$ をとり、lem-gc-propagate のように $M$ を定める。仮定からすべての $i$ で $|0-a_{ii}|\ge R_i(A)$ なので、補題は $\lambda=0$ とどの $i\in M$ にも使える。prf-gc-taussky の後半と同じく、既約性から $M=\{1,\dots,n\}$ となり、すべての $i$ で $|a_{ii}|=R_i(A)$ である。これは $|a_{ii}|>R_i(A)$ となる $i$ があることに反する。$\square$