1次元多様体の分類
概要
1次元多様体の分類（classification of one-dimensional manifolds）とは、連結な 1 次元の $C^r$ 級多様体（$1\le r\le\infty$、Hausdorff かつ第 2 可算、境界があってもよい）が $S^1$、$\mathbb{R}$、$[0,\infty)$、$[0,1]$ のちょうど 1 つと微分同相になるという定理である。弧長でパラメータを付けると、2 つのパラメータ表示の間の座標変換が $s\mapsto\pm s+c$ に限られることから示される。系として、コンパクトなものは有限個の円周と閉区間の非交和で境界の点の個数は偶数であり、$\Omega_0\cong\mathbb{Z}$、$\mathfrak{N}_0\cong\mathbb{Z}/2$、$\Omega_1=\mathfrak{N}_1=0$ が従う。
円周 $S^1$、直線 $\mathbb{R}$、半直線 $[0,\infty)$、閉区間 $[0,1]$ はどれも 1 次元の多様体である。1次元多様体の分類（classification of one-dimensional manifolds）は、連結な 1 次元の多様体がこの 4 つのどれか 1 つとちょうど微分同相になる、という定理である。2 次元では閉曲面だけでも種数と向き付け可能性に応じて無限に多くの型があり（閉曲面の分類）、3 次元以上では分類はずっと難しい。1 次元では、各点のまわりの形（開区間か半開区間）が全体の形をほとんど決めてしまう。
この記事では、$1\le r\le\infty$ として、$C^r$ 級の 1 次元多様体（境界があってもよい）についてこの分類を証明する。証明の鍵は、多様体に計量を入れて弧長でパラメータを付けると、2 つのパラメータ表示の重なりでの座標変換が $s\mapsto\pm s+c$ の形に限られることである（Milnor による）。系として、コンパクトな 1 次元多様体は有限個の円周と閉区間の非交和で、その境界の点の個数は偶数であることが分かる。さらに 0 次元と 1 次元の同境群 $\Omega_0\cong\mathbb{Z}$、$\mathfrak{N}_0\cong\mathbb{Z}/2$、$\Omega_1=\mathfrak{N}_1=0$ を求める。多様体の定義から Hausdorff 性を外すと、分類は成り立たない。
定義と記号
$1\le r\le\infty$ を固定する（$r=\infty$ のときは $r-1=\infty$ と読む）。この記事では、多様体は Hausdorff かつ第 2 可算で、座標変換が $C^r$ 級の座標近傍系をもつものとする。境界付きの場合の局所モデルは半直線 $\mathbb{H}^1=[0,\infty)$ の開集合であり、その上の写像が $C^r$ 級であることは、境界付き多様体 の定義「滑らかな境界付き多様体」の $C^\infty$ を $C^r$ に読み替えて、$\mathbb{R}$ の開集合上の $C^r$ 級写像に局所的に延長できることで定める。境界の点と内部の点が交わらないこと、したがって微分同相写像が境界の点を境界の点に写すことは、同記事の定理「内部の点と境界の点は交わらない」による。以下、微分同相は $C^r$ 級の微分同相写像の意味で使う。
円周 $S^1=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|=1\}$ には、$\theta\mapsto e^{i\theta}$ を長さ $2\pi$ の開区間に制限した写像の逆を座標とする構造を入れる。$\lambda>0$ について、$\mathbb{R}/\lambda\mathbb{Z}$ には射影 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}/\lambda\mathbb{Z}$ の長さ $\lambda$ の開区間への制限の逆を座標とする構造を入れる。$[t]\mapsto e^{2\pi it/\lambda}$ は $\mathbb{R}/\lambda\mathbb{Z}$ から $S^1$ への微分同相である。
区間は 2 点以上を含む $\mathbb{R}$ の連結な部分集合とする。区間 $I$ は、内部の点の近くでは包含写像を、端点 $a\in I$ の近くでは $x\mapsto x-a$ または $x\mapsto a-x$ を座標として、境界付き多様体になる。その境界は $I$ に属する端点の全体である。
区間は、それに属する端点の個数（$0$、$1$、$2$）に応じて $\mathbb{R}$、$[0,\infty)$、$[0,1]$ のどれかと微分同相である。
写像を開く
$\tanh\colon\mathbb{R}\to(-1,1)$ は導関数 $1/\cosh^2x>0$ の $C^\infty$ 級の全単射なので逆写像も $C^\infty$ 級であり、$(-1,1)$ と有界な開区間は 1 次関数で写り合う。$(a,\infty)$ は $x\mapsto\log(x-a)$ で、$(-\infty,b)$ は $x\mapsto\log(b-x)$ で $\mathbb{R}$ に写る。$x\mapsto x/(1-x)$ は $(-\infty,1)$ から $(-1,\infty)$ への導関数 $1/(1-x)^2>0$ の $C^\infty$ 級の微分同相で、$[0,1)$ を $[0,\infty)$ の上へ写す。端点を 1 つだけ含むほかの区間は、1 次関数・反転 $x\mapsto-x$・平行移動で $[0,1)$ か $[0,\infty)$ に写り、閉区間は 1 次関数で $[0,1]$ に写る。
1 次元では、接空間 $T_pM$ は 1 次元のベクトル空間で、座標近傍 $(U,x)$ の中では $\partial_x$ が基底になる。別の座標 $y$ については $\partial_x=\dfrac{dy}{dx}\,\partial_y$ である。
$M$ を 1 次元の $C^r$ 級多様体とする。$M$ の $C^{r-1}$ 級の計量 $g$ とは、各点 $p$ の接空間 $T_pM$ の内積 $g_p$ の族で、各座標近傍 $(U,x)$ で $g_p(\partial_x,\partial_x)=a_x(x(p))$ と書いたとき、$a_x$ が $x(U)$ 上の $C^{r-1}$ 級の正の関数になるものをいう。接ベクトル $v$ の長さを $|v|_g:=\sqrt{g_p(v,v)}$ で定める。
別の座標 $y$ では $a_x=a_y\,(dy/dx)^2$ であり、$dy/dx$ は $C^{r-1}$ 級なので、この条件は座標の取り方によらない。$C^\infty$ 級の場合、これは 1 次元の Riemann計量 にほかならない。
$g$ を $M$ の $C^{r-1}$ 級の計量とし、$I$ を $\mathbb{R}$ の開区間とする。写像 $f\colon I\to M$ が弧長によるパラメータ表示であるとは、$f$ が $I$ から $M$ の開集合 $f(I)$ の上への微分同相で、すべての $s\in I$ で $|f'(s)|_g=1$ となることをいう。ここで $f'(s)\in T_{f(s)}M$ は $f$ の速度ベクトルである。
境界のない場合
この節では、$M$ を境界のない 1 次元の $C^r$ 級多様体とする。
- $M$ には $C^{r-1}$ 級の計量がある。
- $g$ を $M$ の $C^{r-1}$ 級の計量とすると、$M$ の各点はある弧長によるパラメータ表示の像に含まれる。
1．$M$ を座標近傍 $(U_i,x_i)$ で覆い、この開被覆に従属する $C^r$ 級の 1 の分割 $(\rho_i)$ をとる（Hir76 Theorem 2.2.1、p. 43。境界のない $C^r$ 級多様体についての定理で、$C^\infty$ 級なら 1の分割 の定理「滑らかな 1 の分割の存在」）。$v\in T_pM$ について $g_p(v,v):=\sum_i\rho_i(p)\,\bigl(dx_i(v)\bigr)^2$ と定める（$\rho_i(p)\neq0$ の項だけを足す）。座標 $x$ で書くと係数は $a_x=\sum_i\rho_i\,(dx_i/dx)^2$ で、各点の近くでは有限和なので $C^{r-1}$ 級である。各点で $\rho_i(p)>0$ となる $i$ があり、その項は正なので $a_x>0$ である。
2．$p\in M$ のまわりの座標近傍 $(U,x)$ を、$x(U)$ が開区間 $(\alpha,\beta)$ になるようにとり、$a:=a_x$、$u_0:=x(p)$ とおいて
$$
\sigma(u):=\int_{u_0}^{u}\sqrt{a(v)}\,dv\qquad(\alpha< u< \beta)
$$
と定める。$\sqrt a$ は $C^{r-1}$ 級で正なので、$\sigma$ は $C^r$ 級で $\sigma'=\sqrt a>0$ である。よって $\sigma$ は $(\alpha,\beta)$ から開区間 $I:=\sigma((\alpha,\beta))$ の上への狭義単調増加な全単射で、逆写像 $\tau$ は $C^r$ 級である。
逆写像の滑らかさ
$\tau$ は微分可能で $\tau'=1/(\sqrt a\circ\tau)$ をみたす。$\tau$ が $C^k$ 級（$k< r$）なら右辺は $C^{\min(k,r-1)}$ 級なので、帰納的に $\tau$ は $C^r$ 級である。
次の補題が証明の中心である。2 つの弧長によるパラメータ表示の重なり方は、ほとんど決まってしまう。
$g$ を $M$ の $C^{r-1}$ 級の計量、$f\colon I\to M$、$h\colon J\to M$ を弧長によるパラメータ表示とし、$A:=f^{-1}(h(J))$、$\varphi:=h^{-1}\circ f\colon A\to J$ とおく。
- $A$ の各連結成分 $A'$ について、$\varepsilon\in\{1,-1\}$ と $c\in\mathbb{R}$ があって、$A'$ の上で $\varphi(s)=\varepsilon s+c$ であり、$A'=\{s\in I\mid \varepsilon s+c\in J\}$ となる。
- $A$ が空でなく連結なら、1 の $\varepsilon,c$ について $\tilde J:=\{t\in\mathbb{R}\mid\varepsilon t+c\in J\}$、$L:=I\cup\tilde J$ とおくと、$L$ は開区間で、$I$ の上で $f$、$\tilde J$ の上で $t\mapsto h(\varepsilon t+c)$ に一致する写像 $F\colon L\to M$ が矛盾なく定まり、$F$ は弧長によるパラメータ表示で $F(L)=f(I)\cup h(J)$ である。
- $M$ が連結で、$A$ が連結でないなら、$M$ は $S^1$ と微分同相であり、$f(I)\cup h(J)=M$ である。
1．$A$ は $I$ の開集合で、$\varphi$ は $A$ から $J$ の開集合 $h^{-1}(f(I))$ の上への微分同相である。$f=h\circ\varphi$ を微分すると $f'(s)=\varphi'(s)\,h'(\varphi(s))$ で、$f'(s)$ と $h'(\varphi(s))$ の長さはどちらも $1$ なので $|\varphi'(s)|=1$ である。$\varphi'$ は連続なので、連結な $A'$ の上で一定の値 $\varepsilon\in\{1,-1\}$ をとり、$A'$ の上で $\varphi(s)=\varepsilon s+c$ となる。
$K:=\{s\in I\mid\varepsilon s+c\in J\}$ は 2 つの区間の共通部分なので区間で、$A'\subset K$ である。$A'$ は $I$ の開集合なので $K$ の開集合である。$K$ の閉集合でもあることを示す。$s_n\in A'$ が $s\in K$ に収束するとする。$f(s_n)=h(\varepsilon s_n+c)$ の左辺は $f(s)$ に、右辺は $h(\varepsilon s+c)$ に収束する。$M$ は Hausdorff なので点列の極限は 1 つしかなく、$f(s)=h(\varepsilon s+c)$、すなわち $s\in A$ である。連結成分 $A'$ は $A$ の閉集合なので $s\in A'$ である。$K$ は連結なので $A'=K$ である。
2．$A$ は連結なので $A$ 自身が 1 の $A'$ であり、$A=I\cap\tilde J$ である。$\tilde J$ は開区間で、$I$ と交わるので $L$ は開区間である。$\tilde h(t):=h(\varepsilon t+c)$ とおくと、$\tilde h$ は $\tilde J$ 上の弧長によるパラメータ表示で、1 により $I\cap\tilde J$ の上で $f=\tilde h$ なので $F$ は矛盾なく定まる。$I$ と $\tilde J$ は $L$ の開集合なので、$F$ は $C^r$ 級で $|F'|_g=1$ である。$F$ が単射であることを示す。$f$ と $\tilde h$ はそれぞれ単射である。$s\in I$、$t\in\tilde J$ で $f(s)=\tilde h(t)$ なら、$s\in A$ で $\varphi(s)=\varepsilon t+c$ だが、1 により $\varphi(s)=\varepsilon s+c$ でもあるので $s=t$ である。$F$ は単射なので、その逆写像は開集合 $f(I)$ の上で $f^{-1}$、$h(J)$ の上で $\tilde h^{-1}$ に一致して $C^r$ 級であり、$F$ は $L$ から開集合 $F(L)=f(I)\cup h(J)$ の上への微分同相である。
3．要点：$A$ の連結成分は $I$ の端に接していなければならず（そうでなければ $h(J)\subset f(I)$ となって $A$ が連結になる）、交わらないので 2 つしかなく、両端に 1 つずつ接する。同じことを $h$ の側で見ると、1 の $\varepsilon$ は 2 つの成分で等しい。$h$ を $t\mapsto h(-t)$ に取り替えて $\varepsilon=1$ とし、2 つの成分での定数を $c_0$、$c_1$ とすると、$f$ と $h$ をつないだ写像は周期 $\lambda:=c_0-c_1$ の写像を通じて $\mathbb{R}/\lambda\mathbb{Z}$ から $M$ への単射な局所微分同相を与え、$\mathbb{R}/\lambda\mathbb{Z}$ のコンパクト性と $M$ の連結性からそれは全射になる。
詳しい証明を開く
$I=(a,b)$、$J=(p,q)$ と書く（端は $\pm\infty$ でもよい）。$A$ の連結成分 $A'$ に 1 の $\varepsilon,c$ をとり、$\ell(s):=\varepsilon s+c$ とおくと、$A'=I\cap\ell^{-1}(J)$、$\varphi(A')=J\cap\ell(I)$ である。$A'$ は $I$ の開集合なので開区間である。
(a) $\inf A'=a$ または $\sup A'=b$ である。実際、$\inf A'>a$ かつ $\sup A'< b$ とすると、2 つの区間の共通部分 $A'=I\cap\ell^{-1}(J)$ の下限・上限は $\ell^{-1}(J)$ の下限・上限に等しいので、$\ell^{-1}(J)\subset[\inf A',\sup A']\subset I$ となり、$A'=\ell^{-1}(J)$、$\varphi(A')=J$ である。すると $h(J)=f(A')$ なので、$f$ の単射性から $A=f^{-1}(h(J))=A'$ は連結になり、仮定に反する。
(b) $\inf A'=a$ となる成分は高々 1 つである。そのような成分は $(a,a+\delta)$ の形の集合を含むので、2 つあれば交わる。$\sup A'=b$ となる成分も高々 1 つである。$\inf A'=a$ かつ $\sup A'=b$ なら $A'=I=A$ で $A$ は連結になる。よって $A$ はちょうど 2 つの成分 $A_0=(a,e_0)$、$A_1=(e_1,b)$（$e_0\le e_1$、$a< e_1$、$e_0< b$）からなる。$\varphi$ は $A$ から $B:=h^{-1}(f(I))$ への同相写像なので、$B$ の連結成分は $B_i:=\varphi(A_i)$ の 2 つであり、$f$ と $h$ の役割を入れ替えて (a)、(b) を使うと、$B_0$、$B_1$ の一方は下限 $p$、他方は上限 $q$ をもち、下限 $p$ と上限 $q$ を両方もつものはない。
(c) 成分 $A_i$ の $\varepsilon,c$ を $\varepsilon_i,c_i$、$\ell_i(s):=\varepsilon_is+c_i$ とする。$\sup A_0=e_0< b$ なので、(a) と同じく $e_0=\sup\ell_0^{-1}(J)$ である。$\varepsilon_0=1$ なら $\ell_0^{-1}(J)=(p-c_0,q-c_0)$ で $e_0=q-c_0$ となり、$B_0=(a+c_0,q)$ は上限 $q$ をもつ。$\varepsilon_0=-1$ なら $\ell_0^{-1}(J)=(c_0-q,c_0-p)$ で $e_0=c_0-p$ となり、$B_0=(p,c_0-a)$ は下限 $p$ をもつ。同様に $\inf A_1=e_1>a$ から、$\varepsilon_1=1$ なら $B_1$ は下限 $p$ を、$\varepsilon_1=-1$ なら上限 $q$ をもつ。(b) の最後の主張により $B_0$ と $B_1$ のどちらか一方だけが上限 $q$ をもつので、$\varepsilon_0=\varepsilon_1$ である。
(d) $\varepsilon_0=\varepsilon_1=-1$ なら、$h$ を $-J$ 上の弧長によるパラメータ表示 $t\mapsto h(-t)$ に取り替えると $\varphi$ は $-\varphi$ に変わるので、$\varepsilon_0=\varepsilon_1=1$ としてよい。このとき (c) より $e_0=q-c_0$、$B_0=(a+c_0,q)$、$e_1=p-c_1$、$B_1=(p,b+c_1)$ であり、$B_0$ は下限 $p$ をもたないので $a+c_0>p$、$B_1$ は上限 $q$ をもたないので $b+c_1< q$ である。$A_0,A_1$ が交わらないことから $q-c_0\le p-c_1$、$B_1,B_0$ が交わらないことから $b+c_1\le a+c_0$ である。$\lambda:=c_0-c_1$ とおくと、$\lambda\ge q-p>0$ かつ $\lambda\ge b-a$ である。$e_0,e_1$ は有限なので $p,q$ は有限で、$a>p-c_0$ と $b\le a+\lambda$ から $a,b$ も有限である。
(e) $\tilde J:=J-c_1=(p-c_1,q-c_1)$、$\tilde h(t):=h(t+c_1)$ とおく。1 により $A_1=I\cap\tilde J$ で、その上で $f=\tilde h$ である。$a< e_1=p-c_1$ と $b< q-c_1$ から $L:=I\cup\tilde J=(a,q-c_1)$ であり、2 と同じく $f$ と $\tilde h$ をつないだ $C^r$ 級の局所微分同相 $F\colon L\to M$ が定まり、$F(L)=f(I)\cup h(J)$ である。$L$ の長さは $(q-c_0-a)+\lambda=(e_0-a)+\lambda$ で、$0< e_0-a\le b-a\le\lambda$ なので $\lambda$ より大きく $2\lambda$ 以下である。
(f) $u,u'\in L$、$u< u'$ について、$F(u)=F(u')$ となるのは $u'=u+\lambda$ のときであり、$u\in L$ について $u+\lambda\in L$ となるのは $u\in A_0$ のときで、そのとき $F(u)=F(u+\lambda)$ である。後半：$u+\lambda< q-c_1$ は $u< q-c_0=e_0$ と同値で、$u\in A_0$ なら $f(u)=h(u+c_0)=\tilde h(u+\lambda)$ である。前半：$f$、$\tilde h$ は単射なので、$u\in I\setminus\tilde J=(a,e_1]$、$u'\in\tilde J\setminus I=[b,q-c_1)$ の場合だけを考えればよい。$f(u)=h(u'+c_1)$ から $u\in A$ で、$u\notin\tilde J$ なので $u\notin A_1$、よって $u\in A_0$ であり、$u'+c_1=\varphi(u)=u+c_0$、すなわち $u'=u+\lambda$ である。
(g) $L$ の長さは $\lambda$ より大きいので、$\mathbb{R}/\lambda\mathbb{Z}$ の各類は $L$ と交わり、長さが $2\lambda$ 以下なので、$L$ の中で同じ類に属する異なる 2 点の差は $\lambda$ である。(f) により $G([u]):=F(u)$（$u\in L$）は矛盾なく定まる単射 $G\colon\mathbb{R}/\lambda\mathbb{Z}\to M$ で、局所的には $F$ と射影の局所的な逆の合成なので局所微分同相である。$G$ の像は開集合で、コンパクトなので閉集合でもあり、$M$ は連結なので $G$ は全射である。よって $G$ は微分同相で、$M\cong\mathbb{R}/\lambda\mathbb{Z}\cong S^1$、$f(I)\cup h(J)=F(L)=M$ である。$\square$
境界のない連結な 1 次元の $C^r$ 級多様体は、$S^1$ または $\mathbb{R}$ と微分同相である。$S^1$ と $\mathbb{R}$ は微分同相でない。
$M$ を境界のない連結な 1 次元の $C^r$ 級多様体とし、$S^1$ と微分同相でないとする。lem-com-existence により計量 $g$ と弧長によるパラメータ表示 $f_0\colon I_0\to M$ をとる。lem-com-overlap の 3 により、どの 2 つの弧長によるパラメータ表示についても、補題の $A$ は空であるか連結である。
開区間 $I\supset I_0$ 上の弧長によるパラメータ表示で $I_0$ の上で $f_0$ に一致するものを、$f_0$ の延長と呼ぶ。2 つの延長 $f_1\colon I_1\to M$、$f_2\colon I_2\to M$ について、$A:=f_1^{-1}(f_2(I_2))$ は $I_0$ を含むので空でなく、したがって連結である。$I_0$ の上で $f_2^{-1}\circ f_1$ は恒等写像なので、lem-com-overlap の 1 の $\varepsilon,c$ は $1,0$ であり、$A=I_1\cap I_2$ の上で $f_1=f_2$ となる。さらに同じ補題の 2 により、$f_1$ と $f_2$ をつないだ $I_1\cup I_2$ 上の写像も延長である。
延長の定義域全体の和集合を $I^*$ とし、$f^*\colon I^*\to M$ を、各延長の定義域の上でその延長に一致する写像とする。上で示したことから $f^*$ は矛盾なく定まる。$I^*$ は $I_0$ を含む開区間の和集合なので開区間であり、$f^*$ は各点の近くで延長に一致するので $C^r$ 級の局所微分同相で $|f^{*\prime}|_g=1$ である。$s_1,s_2\in I^*$ がそれぞれ延長 $f_1$、$f_2$ の定義域に属するとき、$f_1$ と $f_2$ をつないだ延長は単射なので $f^*(s_1)\neq f^*(s_2)$（$s_1\neq s_2$）である。よって $f^*$ は単射で、その逆写像は各延長 $f_1\colon I_1\to M$ の像（開集合）の上で $f_1^{-1}$ に一致して $C^r$ 級なので、$I^*$ から開集合 $f^*(I^*)$ の上への微分同相、すなわち弧長によるパラメータ表示である。
$f^*(I^*)$ が閉集合であることを示す。$p$ をその閉包の点とし、lem-com-existence の 2 により $p\in h(J)$ となる弧長によるパラメータ表示 $h\colon J\to M$ をとる。$h(J)$ は $p$ の開近傍なので $f^*(I^*)$ と交わり、$A:=f^{*-1}(h(J))$ は空でなく、したがって連結である。lem-com-overlap の 2 により、$f^*$ を開区間 $L\supset I^*$ 上の弧長によるパラメータ表示 $F$ に延ばせて $F(L)\supset h(J)$ となる。$F$ は $f_0$ の延長なので $L\subset I^*$、よって $L=I^*$ で $p\in h(J)\subset F(L)=f^*(I^*)$ である。
$f^*(I^*)$ は空でない開かつ閉な集合で、$M$ は連結なので $f^*(I^*)=M$ である。よって $M$ は開区間 $I^*$ と微分同相であり、ex-com-intervals により $\mathbb{R}$ と微分同相である。最後に、$S^1$ はコンパクトで $\mathbb{R}$ はコンパクトでなく、微分同相写像はコンパクト性を保つ（微分同相写像 の命題「コンパクト性と連結性の保存」）ので、両者は微分同相でない。$\square$
境界のある場合
境界が空でない連結な 1 次元の $C^r$ 級多様体 $M$ は、$\partial M$ がちょうど 2 点なら $[0,1]$ と、ちょうど 1 点なら $[0,\infty)$ と微分同相であり、$\partial M$ はこのどちらかである。
要点：各境界の点の外側に開区間を 1 本ずつ継ぎ足すと、境界のない連結な $C^r$ 級多様体 $M'$ ができ、$M$ はその閉集合で、$M$ の座標は $M'$ の座標の制限になる。
継ぎ足しの詳細を開く
内部 $\operatorname{Int}M$ は開集合なので $\partial M$ は閉集合であり、境界の点の座標近傍 $U\to[0,\varepsilon)$ には境界の点が 1 つしかないので $\partial M$ は離散である。$M$ は第 2 可算なので $\partial M$ は高々可算で、$\partial M=\{p_1,p_2,\dots\}$ と書ける。$n$ について順に、座標近傍 $\phi_n\colon U_n\to[0,1)$（全単射、$\phi_n(p_n)=0$）を、$U_n$ が $C_k:=\phi_k^{-1}([0,1/2])$（$k< n$）と交わらないようにとる。$C_k$ はコンパクトなので閉集合で、$U_k$ の境界の点は $p_k$ だけなので $p_n\notin C_k$ であり、$p_n$ の座標近傍をこれらの補集合の中でとり、像を縮めて $[0,1)$ にすればよい。$V_n:=\phi_n^{-1}([0,1/2))$ は互いに交わらない。
$M$ と、各 $n$ の開区間 $(-1,1/2)$ の複製 $E_n$ の非交和で、$t\in[0,1/2)\subset E_n$ と $\phi_n^{-1}(t)\in V_n$ を同一視した空間を $M'$ とする。$E_n$ の $(-1,0)$ の部分を $E_n^-$ と書くと、$\operatorname{Int}M$ と各 $E_n^-$ は $M'$ の開集合で、$M=M'\setminus\bigcup_nE_n^-$ は閉集合である。座標近傍として $\operatorname{Int}M$ の座標近傍と、$V_n\cup E_n^-$ 上の $\psi_n$（$V_n$ では $\phi_n$、$E_n^-$ では恒等写像）をとる。$\psi_n$ と $\operatorname{Int}M$ の座標の座標変換は $\phi_n$ と $M$ の座標の座標変換の制限なので $C^r$ 級で、$\psi_n$ どうしの定義域は交わらない。2 点 $x\neq y$ は、どちらも $\operatorname{Int}M$ に属するか、共通の座標近傍に入るか、$\operatorname{Int}M$、$E_n^-$、$V_n\cup E_n^-$ のうちの交わらない 2 つに分かれるか、$x=p_n$、$y\in\operatorname{Int}M\setminus V_n$ である。最後の場合、$M$ の中で $p_n$ と $y$ を交わらない開集合 $O\subset V_n$、$O'$ で分ければ、$O\cup E_n^-$ と $O'\cap\operatorname{Int}M$ が $M'$ で $x,y$ を分ける。よって $M'$ は Hausdorff で、可算個の第 2 可算な開集合の和なので第 2 可算である。$M'$ は境界をもたず、$M$ と各 $E_n$ は連結で $E_n$ は $M$ と交わるので連結である。$\partial M$ の点のまわりで $M$ の座標 $\phi_n$ は $\psi_n$ の制限であり、内部の点では $M$ の座標は $M'$ の座標である。
thm-com-boundaryless により微分同相 $\Phi\colon M'\to X$ がある。ここで $X$ は $\mathbb{R}$ か $S^1$ である。$\Phi(M)$ は $X$ の連結な閉集合で、内点をもち、$M'\setminus M\supset E_1^-$ は空でないので $X$ 全体ではない。
$X=\mathbb{R}$ のとき、$\Phi(M)$ は $\mathbb{R}$ でない閉区間か閉じた半直線で、$\Phi$ は $M$ からその区間（定義と記号の節の構造）への微分同相を与える。実際、$\Phi(\operatorname{Int}M)$ は開集合なので区間の内部に含まれ、$\Phi(p_n)$ は $\Phi(M)$ と交わらない $\Phi(E_n^-)$ の閉包に属するので区間の端点である。境界の点の近くでは、座標で書いた $\Phi$ は $\mathbb{R}$ の開集合の間の微分同相 $\Phi\circ\psi_n^{-1}$ の制限になる。
$X=S^1$ のとき、$z_0\in S^1\setminus\Phi(M)$ をとると、偏角は $S^1\setminus\{z_0\}$ から長さ $2\pi$ の開区間への座標で、$\Phi(M)$ はそのコンパクトな連結部分集合なので閉区間に写る。よって同様に $M$ は閉区間と微分同相である。
どちらの場合も、ex-com-intervals により $M$ は $[0,1]$ か $[0,\infty)$ と微分同相であり、微分同相写像は境界の点を境界の点に写すので、$\partial M$ の点の個数はそれぞれ 2、1 である。$\square$
以上をまとめると、連結な 1 次元の $C^r$ 級多様体は $S^1$、$\mathbb{R}$、$[0,\infty)$、$[0,1]$ のちょうど 1 つと微分同相である。4 つはコンパクト性と境界の点の個数で区別される。
コンパクトな 1 次元の $C^r$ 級多様体（境界があってもよい）は、有限個の $S^1$ と有限個の $[0,1]$ の非交和と微分同相である。とくに、その境界の点の個数は偶数である。
多様体は局所連結なので連結成分は開集合であり、コンパクト性から有限個しかなく、各成分は閉集合なのでコンパクトである。$\mathbb{R}$ と $[0,\infty)$ はコンパクトでないので、thm-com-boundaryless と thm-com-boundary により各成分は $S^1$ か $[0,1]$ と微分同相である。境界の点の個数は $[0,1]$ と微分同相な成分の個数の 2 倍である。$\square$
この系は正則値の逆像を数える議論で使われる。たとえば、コンパクトな境界付き多様体 $X$ から $\partial X$ への滑らかな写像で $\partial X$ の各点を動かさないものはない。あれば、正則値 $y\in\partial X$ の逆像は境界が $\{y\}$ だけのコンパクトな 1 次元多様体になり、cor-com-compact に反する（Mil97 §2 Lemma 4・5。ここから滑らかな写像の Brouwerの不動点定理 が従う）。
$C:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y^2=x^3-x\}$ を考える。$F(x,y):=y^2-x^3+x$ の勾配は $(1-3x^2,\,2y)$ で、$C$ 上で $y=0$ なら $x\in\{-1,0,1\}$ となって $1-3x^2\neq0$ なので、$0$ は $F$ の正則値であり、$C$ は境界のない 1 次元の $C^\infty$ 級部分多様体である（正則値定理 の定理「正則値定理」）。$x^3-x=x(x-1)(x+1)\ge0$ となるのは $-1\le x\le0$ または $x\ge1$ のときなので、$C$ は $C_0:=C\cap\{x\le0\}$ と $C_1:=C\cap\{x\ge1\}$ の非交和で、どちらも $C$ の開かつ閉な部分集合である。$C_0$ は 2 つの連続関数 $y=\pm\sqrt{x^3-x}$（$-1\le x\le0$）のグラフの和で、グラフどうしは $x=-1,0$ で交わるので連結であり、有界な閉集合なのでコンパクトである。$C_1$ も同様に連結だが、有界でないのでコンパクトでない。よって、パラメータ表示を書かなくても、分類から $C_0$ は $S^1$ と、$C_1$ は $\mathbb{R}$ と微分同相であることが分かる。
低次元の同境群
この節では $r=\infty$ とし、同境群 $\mathfrak{N}_n$、向き付けられた同境群 $\Omega_n$ は 同境 の定義に従う。向き付けられた 0 次元多様体とは、各点に符号 $\pm1$ を付けた多様体のことで、符号の和を $\sigma(M)\in\mathbb{Z}$ と書く。向き付けられた $W$ の境界の向きは、外向きのベクトルを先頭に置く規約で定める。$W$ が 1 次元なら、境界の点 $p$ の符号は、$p$ での外向きのベクトルが正の向きなら $+1$、そうでなければ $-1$ である。
$[0,1]$ と微分同相な向き付けられた 1 次元多様体 $W$ の境界は、符号 $+1$ の点と $-1$ の点 1 つずつからなる。
微分同相 $k\colon[0,1]\to W$ をとる。$[0,1]$ は連結なので、$k'(t)$ はすべての $t$ で正の向きか、すべての $t$ で負の向きであり（向き付け可能多様体 の定理「連結な多様体の向きは 2 つ」）、負なら $k$ を $t\mapsto k(1-t)$ に取り替えて正としてよい。$k(1)$ での外向きのベクトルは $k'(1)$、$k(0)$ での外向きのベクトルは $-k'(0)$ なので、$k(1)$ の符号は $+1$、$k(0)$ の符号は $-1$ である。$\square$
- $[M]\mapsto\sigma(M)$ は同型 $\Omega_0\cong\mathbb{Z}$ を与える。
- $[M]\mapsto(M\text{ の点の個数})\bmod 2$ は同型 $\mathfrak{N}_0\cong\mathbb{Z}/2$ を与える。
- $\Omega_1=\mathfrak{N}_1=0$ である。
1．$M_0$ と $M_1$ が向き付けられた同境なら、向き付けられたコンパクトな 1 次元多様体 $W$ で $\partial W$ が $M_0\sqcup(-M_1)$ と向きを保って微分同相なものがある。cor-com-compact により $W$ の各成分は円周（境界なし）か閉区間で、lem-com-interval-sign により閉区間の成分の境界の符号の和は $0$ なので、$\sigma(M_0)-\sigma(M_1)=\sigma(\partial W)=0$ である。よって $\sigma$ は $\Omega_0$ 上に矛盾なく定まり、非交和について加法的なので準同型である。符号 $+1$（または $-1$）の点 $k$ 個の和は $k$（または $-k$）に写るので全射である。$\sigma(M)=0$ なら、$M$ の点を符号 $+1$ と $-1$ の組に分け、各組 $\{x,y\}$ を $1\mapsto x$、$0\mapsto y$ で $[0,1]$ の境界と同一視すると、lem-com-interval-sign によりこれは向きを保つので、$M$ は閉区間の非交和の向き付けられた境界になり、$[M]=0$ である。よって単射である。
2．同境 の命題「0 次元の同境群」である。cor-com-compact からも、零同境な 0 次元多様体の点の個数が偶数であることが分かる。
3．閉じた 1 次元多様体 $M$ は cor-com-compact により有限個の円周 $C_1,\dots,C_m$ の非交和である。円板 $D^2\subset\mathbb{C}$ に標準の向きを入れると、$z\in S^1$ での外向きのベクトルは $z$ で、$(z,iz)$ は $\mathbb{R}^2$ の正の基底なので、境界 $S^1$ の向きは反時計回りである。各 $C_j$ に微分同相 $k_j\colon S^1\to C_j$ をとり、$k_j$ が向きを保つなら $D^2$、保たないなら向きを反転した $-D^2$ をとると、その境界は $C_j$ と向きを保って微分同相である。よって $M$ は円板の非交和の（向き付けられた）境界であり、$[M]=0$ である。向きを忘れれば $\mathfrak{N}_1=0$ も同じである。$\square$
反例と注意
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| Hausdorff | 原点を 2 つもつ直線 | 連結なら $S^1$、$\mathbb{R}$、$[0,\infty)$、$[0,1]$ のどれかと微分同相 |
| コンパクト | $[0,\infty)$ | 境界の点の個数は偶数 |
| 同境 $W$ が向き付けられている | 符号 $+1$ の 2 点 | 境界になる 0 次元多様体の符号の和は $0$ |
| 次元が 1 | $\mathbb{RP}^2$ | 閉多様体はすべて境界になる |
1 行目：$\mathbb{R}$ の 2 つの複製を $0$ 以外の点で同一視した空間（2つの原点をもつ直線）は、2 つの複製を座標近傍とする $C^\infty$ 級の座標近傍系をもち（座標変換は恒等写像）、連結で第 2 可算だが、Hausdorff でない。4 つのモデルは Hausdorff なので、どれとも同相でない。証明では lem-com-overlap の 1 で Hausdorff 性を使った。
2 行目：$[0,\infty)$ は連結で境界は 1 点だが、コンパクトでない。
3 行目：符号 $+1$ の 2 点 $M$ は、向きを忘れれば $[0,1]$ の境界なので $\mathfrak{N}_0$ では $0$ だが、$\sigma(M)=2$ なので $\Omega_0$ では $0$ でない。
4 行目：$\mathbb{RP}^2$ は 2 次元の閉多様体で、Euler 標数が奇数なので境界にならない（同境 の定理「境界の Euler 標数は偶数」）。
第 2 可算性は、lem-com-existence の 1 で 1 の分割を作る所に使った。これを外すと、長い直線 のように、Hausdorff で連結な 1 次元の局所 Euclid 空間で 4 つのモデルのどれとも同相でないものがある（4 つのモデルは第 2 可算だが、長い直線はそうでない。同記事の命題「可分性と第2可算性」）。
補足
- 文献：弧長によるパラメータ表示と重なりの補題を使う証明は Mil97 Appendix「Classifying 1-manifolds」の定理・補題とその証明にある（$C^\infty$ 級の場合）。同境群 $\mathfrak{N}^n$、$\Omega^n$ の定義と、0・1 次元の計算が 1 次元多様体の分類から容易に得られることは Hir76 Ch. 7 §1（p. 170）にある。
- この記事の証明は微分と計量を使うので $r\ge1$ を仮定している。
関連項目
参考文献
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