境界

定義

位相空間 $X$ の部分集合 $A$ の境界（boundary / frontier）とは、「$A$ の閉包」と「$A$ の補集合の閉包」の共通部分のことである。
記号では $\partial A$ や $\text{Bd}(A)$, $\text{Fr}(A)$ などと表される。
$$\partial A = \bar{A} \cap \overline{X \setminus A}$$
この定義は、以下の局所的な定義（近傍を用いた定義）と同値である。

点 $x \in X$ が $A$ の境界点であるとは、$x$ の任意の近傍 $U$ が、$A$ の点と $A$ の補集合の点の両方を含むことである。

$$\forall U \in \mathcal{V}(x), \quad U \cap A \neq \emptyset \land U \cap (X \setminus A) \neq \emptyset$$

すなわち、境界上の点からは、少し動くだけで「$A$ の中」にも「$A$ の外」にも行くことができる。

閉包・内部との関係

境界は、閉包および内部（開核）を用いて次のように簡潔に表せる。

1. 閉包と内部の差:
   $$\partial A = \bar{A} \setminus A^\circ$$
   （閉包から内部を取り除いたドーナツの皮のような部分が境界である）
2. 空間の分割:
   全体集合 $X$ は、以下の3つの互いに素な集合に分割される。
   $$X = A^\circ \cup \partial A \cup (X \setminus A)^\circ$$
   （$A$ の内部、$A$ の境界、$A$ の外部）
3. 閉包の構成:
   $$\bar{A} = A^\circ \cup \partial A$$
   （内部に境界をあわせると閉包になる）

性質

• 閉集合性: 定義より $\partial A$ は2つの閉集合の共通部分であるため、境界 $\partial A$ は常に閉集合である。
• 対称性: $A$ の境界と、その補集合の境界は一致する。
  $$\partial A = \partial (X \setminus A)$$
• 開閉の判定:
  • $A$ が閉集合 $\iff \partial A \subset A$
  • $A$ が開集合 $\iff \partial A \cap A = \emptyset$
  • $A$ が開かつ閉集合 $\iff \partial A = \emptyset$

具体例

• ユークリッド空間:
  実数直線 $\mathbb{R}$ 上の区間 $(0, 1)$, $[0, 1]$, $[0, 1)$ の境界は、いずれも $\{0, 1\}$ という2点からなる集合である。

• 有理数:
  $\mathbb{R}$ における有理数集合 $\mathbb{Q}$ の境界は、$\mathbb{R}$ 全体である（$\partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}$）。
  なぜなら、どのような実数の近傍をとっても、そこには必ず有理数と無理数の両方が含まれるからである。

関連項目

• 位相空間
• 閉包：境界を含む最小の閉集合。
• 内部：境界を含まない最大の開集合。
• 外部：補集合の内部。
• 近傍