境界

1：双対性 $\overline{X\setminus A}=X\setminus\operatorname{int}A$ により
$$ \overline{A}\setminus\operatorname{int}A =\overline{A}\cap(X\setminus\operatorname{int}A) =\overline{A}\cap\overline{X\setminus A} $$
である。
2：触点による特徴づけにより、$x\in\overline{A}$ は「$x$ を含む任意の開集合 $U$ が $U\cap A\neq\emptyset$ を満たすこと」と同値であり、$x\in\overline{X\setminus A}$ は「$x$ を含む任意の開集合 $U$ が $U\cap(X\setminus A)\neq\emptyset$ を満たすこと」と同値である。1 により $x\in\partial A$ はこの二条件がともに成り立つことと同値だから、2 を得る。$\square$

1：prop-boundary-characterization の 1 の表示 $\partial A=\overline{A}\cap\overline{X\setminus A}$ は $A$ と $X\setminus A$ の入れ替えについて対称だから、$\partial A=\partial(X\setminus A)$ である。
2：同じ表示により $\partial A$ は二つの閉集合 $\overline{A}$、$\overline{X\setminus A}$ の共通部分であり、閉集合の共通部分は閉集合だから（閉集合）、$\partial A$ は閉集合である。
3：まず互いに交わらないことを見る。$\operatorname{int}A\subset A$ と $\operatorname{ext}A\subset X\setminus A$ から $\operatorname{int}A\cap\operatorname{ext}A=\emptyset$ である。定義 $\partial A=\overline{A}\setminus\operatorname{int}A$ から $\partial A\cap\operatorname{int}A=\emptyset$ であり、1 により $\partial A=\partial(X\setminus A)=\overline{X\setminus A}\setminus\operatorname{int}(X\setminus A)$ だから $\partial A\cap\operatorname{ext}A=\emptyset$ である。
次に和が $X$ 全体になることを見る。$x\in X$ が $\operatorname{int}A$ にも $\operatorname{ext}A$ にも属さないとする。双対性 $\operatorname{int}A=X\setminus\overline{X\setminus A}$ により $x\notin\operatorname{int}A$ は $x\in\overline{X\setminus A}$ と同値であり、双対性 $\operatorname{int}(X\setminus A)=X\setminus\overline{A}$ により $x\notin\operatorname{ext}A$ は $x\in\overline{A}$ と同値である。よって $x\in\overline{A}\cap\overline{X\setminus A}=\partial A$ である。
4：双対性により $\overline{A}=X\setminus\operatorname{ext}A$ だから、3 の分割から $\overline{A}=\operatorname{int}A\sqcup\partial A$ である。さらに $\operatorname{int}A\subset A\subset\overline{A}$ と $\partial A\subset\overline{A}$ から
$$ \operatorname{int}A\cup\partial A\subset A\cup\partial A\subset\overline{A}=\operatorname{int}A\cup\partial A $$
となり、$\overline{A}=A\cup\partial A$ も従う。$\square$

1：$A$ が閉集合なら、$A$ 自身が $A$ を含む最小の閉集合なので $\overline{A}=A$ であり、$\partial A=\overline{A}\setminus\operatorname{int}A\subset A$ である。逆に $\partial A\subset A$ なら、prop-boundary-partition の 4 より $\overline{A}=A\cup\partial A\subset A$ となり、つねに $A\subset\overline{A}$ だから $\overline{A}=A$、すなわち $A$ は閉集合である。
2：1 を補集合 $X\setminus A$ に適用する。$A$ が開集合であることは $X\setminus A$ が閉集合であることと同値であり、1 によりこれは $\partial(X\setminus A)\subset X\setminus A$ と同値である。prop-boundary-partition の 1 より $\partial(X\setminus A)=\partial A$ だから、この条件は $\partial A\subset X\setminus A$、すなわち $A\cap\partial A=\emptyset$ と同値である。
3：$A$ が開かつ閉なら、1 と 2 より $\partial A\subset A$ かつ $A\cap\partial A=\emptyset$ だから $\partial A=\emptyset$ である。逆に $\partial A=\emptyset$ なら $\partial A\subset A$ と $A\cap\partial A=\emptyset$ がともに成り立つので、1 と 2 により $A$ は閉かつ開である。$\square$

prop-boundary-open-closed の 3 により、$\partial A=\emptyset$ となる部分集合 $A$ は開かつ閉な部分集合にほかならない。したがって「$\emptyset$、$X$ 以外に境界が空な部分集合がない」ことと「$\emptyset$、$X$ 以外に開かつ閉な部分集合がない」こととは同じ主張である。$\square$

1：prop-boundary-partition の 2 より $\partial A$ は閉集合であり、prop-boundary-open-closed の 1 より閉集合は自分の境界を含むから、$\partial(\partial A)\subset\partial A$ である。
2：まず $A$ が閉集合とする。$\overline{A}=A$ だから $\partial A=A\setminus\operatorname{int}A$ である。$U:=\operatorname{int}(\partial A)$ とおくと、$U$ は開集合で $U\subset\partial A\subset A$ だから、内部の最大性（内部）により $U\subset\operatorname{int}A$ である。一方 $U\subset\partial A=A\setminus\operatorname{int}A$ より $U\cap\operatorname{int}A=\emptyset$ である。あわせて $U=\emptyset$ を得る。さらに $\partial A$ は閉集合なので、$\partial(\partial A)=\overline{\partial A}\setminus\operatorname{int}(\partial A)=\partial A\setminus\emptyset=\partial A$ である。
次に $A$ が開集合とする。$X\setminus A$ は閉集合であり、prop-boundary-partition の 1 より $\partial A=\partial(X\setminus A)$ だから、閉集合の場合を $X\setminus A$ に適用して $\operatorname{int}(\partial A)=\emptyset$ かつ $\partial(\partial A)=\partial A$ を得る。
3：$\partial A$ は閉集合だから、2 を $\partial A$ に適用すればよい。$\square$

最初の包含を示す。prop-boundary-characterization の 1 と、閉包が有限個の和集合を保つこと・単調であること（閉包）により
$$ \partial(A\cup B) =\overline{A\cup B}\cap\overline{(X\setminus A)\cap(X\setminus B)} \subset(\overline{A}\cup\overline{B})\cap\overline{X\setminus A}\cap\overline{X\setminus B} $$
である。ここで $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}$ は有限個の和集合の保存、$\overline{(X\setminus A)\cap(X\setminus B)}\subset\overline{X\setminus A}\cap\overline{X\setminus B}$ は単調性による。右辺の点 $x$ は $\overline{A}$ または $\overline{B}$ に属し、かつ $\overline{X\setminus A}$ と $\overline{X\setminus B}$ の両方に属するから、$x\in\overline{A}\cap\overline{X\setminus A}=\partial A$ または $x\in\overline{B}\cap\overline{X\setminus B}=\partial B$ である。よって $\partial(A\cup B)\subset\partial A\cup\partial B$ である。
二つ目の包含は、最初の包含を補集合に適用して得られる。prop-boundary-partition の 1 とDe Morganの法則により
$$ \partial(A\cap B)=\partial\bigl(X\setminus(A\cap B)\bigr)=\partial\bigl((X\setminus A)\cup(X\setminus B)\bigr)\subset\partial(X\setminus A)\cup\partial(X\setminus B)=\partial A\cup\partial B $$
である。$\square$