佐々木多様体
概要
佐々木多様体（Sasakian manifold）とは、奇数次元 $2n+1$ の Riemann 多様体と長さ $1$ の Killing ベクトル場 $\xi$ の組で、$\Phi=\nabla\xi$ が $(\nabla_X\Phi)Y=g(\xi,Y)X-g(X,Y)\xi$ をみたすものをいう。この条件は、計量錐 $dr^2+r^2g$ に $\xi$ から作った概複素構造が平行になること、つまり錐が Kähler 多様体になることと同値である。$\eta=g(\xi,\cdot)$ は接触形式で $\xi$ はその Reeb ベクトル場になり、$\xi$ を含む平面の断面曲率はつねに $1$ である。単位球面がその基本例で、佐々木重夫にちなむ。
前提知識: 接触多様体, Levi-Civita接続, Riemann曲率テンソル, Kähler多様体, Lie微分
佐々木多様体（Sasakian manifold）とは、奇数次元 $2n+1$ の Riemann 多様体 $(M,g)$ と、長さ $1$ の Killing ベクトル場 $\xi$ の組で、$\Phi:=\nabla\xi$（$\Phi X=\nabla_X\xi$）が
$$
(\nabla_X\Phi)Y=g(\xi,Y)X-g(X,Y)\xi
$$
をみたすものをいう。この条件は、計量錐 $(\mathbb{R}_{>0}\times M,\ dr^2+r^2g)$ に $\xi$ から作った概複素構造が平行になること、すなわち錐が Kähler 多様体になることと同値である。偶数次元の Kähler 多様体に対して、その「奇数次元の相棒」にあたる幾何である。
佐々木多様体の 1 次形式 $\eta:=g(\xi,\cdot)$ は 接触多様体 の接触形式で、$\xi$ はその Reeb ベクトル場になる。超平面の場 $\ker\eta$ の上では $\Phi$ が複素構造を与え、$\frac12d\eta$ がその Hermite 形式になる。名前は、接触構造と計量・テンソル場の組を研究した佐々木重夫（Shigeo Sasaki）にちなむ。この記事では、定義から接触構造と曲率の性質を導き、錐による特徴づけを証明する。
定義
この記事では、多様体は Hausdorff かつ第 2 可算な $C^\infty$ 級多様体とし、$(M,g)$ を $2n+1$ 次元（$n\ge0$）の Riemann 多様体、$\nabla$ をその Levi-Civita接続 とする。外微分は 接触多様体 と同じ約束
$$
d\alpha(X,Y)=X(\alpha(Y))-Y(\alpha(X))-\alpha([X,Y])
$$
に従い、曲率は $R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z$ とする（Riemann曲率テンソル と同じ）。
ベクトル場 $\xi$ が Killing ベクトル場 であるとは、$\mathcal{L}_\xi g=0$ であることをいう。$\nabla$ が捩れをもたず計量を保つことから
$$
(\mathcal{L}_\xi g)(X,Y)=g(\nabla_X\xi,Y)+g(X,\nabla_Y\xi)
$$
なので（Lie微分 の定義に $[\xi,X]=\nabla_\xi X-\nabla_X\xi$ を代入する）、$\xi$ が Killing であることは $(1,1)$ 型テンソル場 $\Phi:=\nabla\xi$ が $g$ について交代的であること、つまり $g(\Phi X,Y)=-g(X,\Phi Y)$ と同値である。
$(M,g)$ の Killing ベクトル場 $\xi$ で $g(\xi,\xi)=1$ となるものをとり、$\Phi X:=\nabla_X\xi$、$\eta:=g(\xi,\cdot)$ とおく。すべてのベクトル場 $X,Y$ について
$$
(\nabla_X\Phi)Y=\eta(Y)X-g(X,Y)\xi
$$
が成り立つとき（この条件を (S) と書く）、$(M,g,\xi)$ を 佐々木多様体、$(g,\xi)$ を $M$ の 佐々木構造 という。$\xi$ を Reeb ベクトル場、$\eta$ を 接触形式、$\mathcal{D}:=\ker\eta$ を 接触分布 という。
$(\nabla_X\Phi)Y=\nabla_X(\Phi Y)-\Phi(\nabla_XY)$ は $\xi$ の 2 階の共変微分である。文献によっては $\Phi:=-\nabla\xi$ とおき、(S) の右辺の符号を逆にする。
長さ $1$ の Killing ベクトル場 $\xi$ については、つねに
$$
\Phi\xi=0,\qquad \eta(\Phi X)=0
$$
である（この 2 式を (1) と書く）。実際 $g(\Phi X,\xi)=\frac12X(g(\xi,\xi))=0$ であり、交代性から $g(\Phi\xi,X)=-g(\xi,\Phi X)=0$ である。とくに $\nabla_\xi\xi=0$ なので、$\xi$ の積分曲線は測地線である。
$M$ の 計量錐 を $C(M):=\mathbb{R}_{>0}\times M$ に計量 $\bar g:=dr^2+r^2g$ を入れたものとする（$r$ は $\mathbb{R}_{>0}$ の座標）。$M$ のベクトル場は $r$ によらない $C(M)$ のベクトル場とみなし（持ち上げ）、同じ文字で書く。$\Psi:=r\,\partial_r$ を Euler ベクトル場 という。$\bar\nabla$ を $\bar g$ の Levi-Civita 接続とする。
接触構造
$(M,g,\xi)$ を佐々木多様体とする。
- $\Phi^2=-I+\eta\otimes\xi$、すなわち $\Phi^2X=-X+\eta(X)\xi$ である。
- $g(\Phi X,\Phi Y)=g(X,Y)-\eta(X)\eta(Y)$ である。とくに $\Phi$ は $\mathcal{D}$ を $\mathcal{D}$ に写し、$\mathcal{D}$ の上で $\Phi^2=-I$ で、$g$ を保つ。
- $d\eta(X,Y)=2g(\Phi X,Y)$ である。
- $n\ge1$ なら $\eta$ は接触形式で、$\xi$ はその Reeb ベクトル場である（接触多様体 の定理「Reeb ベクトル場」）。
1：(S) で $Y=\xi$ とおくと、右辺は $\eta(\xi)X-g(X,\xi)\xi=X-\eta(X)\xi$ である。左辺は、(1) の $\Phi\xi=0$ から
$$
(\nabla_X\Phi)\xi=\nabla_X(\Phi\xi)-\Phi(\nabla_X\xi)=-\Phi^2X
$$
である。よって $\Phi^2X=-X+\eta(X)\xi$ である。
2：交代性と 1 から $g(\Phi X,\Phi Y)=-g(X,\Phi^2Y)=g(X,Y)-\eta(Y)g(X,\xi)$ である。(1) により $\Phi$ の値は $\mathcal{D}$ に入り、$X\in\mathcal{D}$ なら 1 から $\Phi^2X=-X$ である。
3：$\nabla$ が計量を保ち捩れをもたないので
$$
d\eta(X,Y)=g(\nabla_X\xi,Y)+g(\xi,\nabla_XY)-g(\nabla_Y\xi,X)-g(\xi,\nabla_YX)-g(\xi,[X,Y])=g(\Phi X,Y)-g(\Phi Y,X)
$$
であり、交代性から $2g(\Phi X,Y)$ に等しい。
4：$0\ne X\in\mathcal{D}_p$ について $\Phi X\in\mathcal{D}_p$ で、3 と 2 から $d\eta(X,\Phi X)=2g(\Phi X,\Phi X)=2g(X,X)>0$ である。よって $d\eta_p$ は $\mathcal{D}_p$ の上で非退化であり、接触多様体 の補題「接触条件の言い換え」により $\eta$ は接触形式である。$\eta(\xi)=1$ で、3 と (1) から $\iota_\xi d\eta=2g(\Phi\xi,\cdot)=0$ なので、$\xi$ は $\eta$ の Reeb ベクトル場である。$\square$
$\Phi$ と $\eta$ は $g$ と $\xi$ から決まり、$\mathcal{L}_\xi g=0$ と 接触多様体 の定理「Reeb ベクトル場」の $\mathcal{L}_\xi\eta=0$ から、$\xi$ の流れは $g$・$\eta$・$\Phi$（$g(\Phi X,Y)=\frac12d\eta(X,Y)$ で決まる）をすべて保つ。2 と 3 は、$\mathcal{D}$ の各ファイバーが $\Phi$ を複素構造とする Hermite ベクトル空間で、その基本 2 形式が $\frac12d\eta$ であることをいっている。
錐による特徴づけ
$\xi$ を $(M,g)$ の長さ $1$ の Killing ベクトル場とし、$C(M)$ の $(1,1)$ 型テンソル場 $J$ を
$$
J\Psi:=\xi,\qquad JX:=\Phi X-\eta(X)\Psi\qquad(X\text{ は }M\text{ のベクトル場})
$$
で定める。$\Psi$ と持ち上げは各点で $C(M)$ の接空間を張るので、これで $J$ が決まる。(1) から $J\xi=-\Psi$ である。
$M$ のベクトル場 $X,Y$ について
$$
\bar\nabla_\Psi\Psi=\Psi,\qquad \bar\nabla_\Psi X=\bar\nabla_X\Psi=X,\qquad \bar\nabla_XY=\nabla_XY-g(X,Y)\Psi
$$
である。
要点：Koszul の公式（Levi-Civita接続 の補題「Koszul 公式」）に $\bar g(\partial_r,\partial_r)=1$、$\bar g(\partial_r,X)=0$、$\bar g(X,Y)=r^2g(X,Y)$、$[\partial_r,X]=0$ を入れる。
詳しい証明を開く
Koszul の公式 $2\bar g(\bar\nabla_AB,C)=A\bar g(B,C)+B\bar g(A,C)-C\bar g(A,B)+\bar g([A,B],C)-\bar g([A,C],B)-\bar g([B,C],A)$ を使う。持ち上げどうしの括弧は $[X,Y]$ の持ち上げで、$[\partial_r,X]=0$ である。
$A=B=\partial_r$：右辺の内積はどれも定数で、括弧はすべて $0$ なので $\bar\nabla_{\partial_r}\partial_r=0$ である。$A=X$、$B=\partial_r$：$C=Z$（持ち上げ）なら右辺は $\partial_r(r^2g(X,Z))=2rg(X,Z)$、$C=\partial_r$ なら $0$ なので、$\bar\nabla_X\partial_r=X/r$ である。捩れがないので $\bar\nabla_{\partial_r}X=\bar\nabla_X\partial_r+[\partial_r,X]=X/r$ である。$A=X$、$B=Y$：$C=Z$ なら右辺は $r^2$ に $M$ の Koszul の公式の右辺を掛けたもの $2r^2g(\nabla_XY,Z)$ で、$C=\partial_r$ なら $-\partial_r(r^2g(X,Y))=-2rg(X,Y)$ なので、$\bar\nabla_XY=\nabla_XY-rg(X,Y)\partial_r$ である。
$\Psi=r\partial_r$ に書き直すと、$\bar\nabla_\Psi\Psi=r(\partial_r r)\partial_r+r^2\bar\nabla_{\partial_r}\partial_r=\Psi$、$\bar\nabla_\Psi X=r\cdot X/r=X$、$\bar\nabla_X\Psi=X(r)\partial_r+r\bar\nabla_X\partial_r=X$ である。$\square$
$\xi$ を $(M,g)$ の長さ $1$ の Killing ベクトル場とし、$J$ を上のように定める。$M$ のベクトル場 $X,Y$ について
$$
(\bar\nabla_\Psi J)\Psi=0,\quad(\bar\nabla_\Psi J)X=0,\quad(\bar\nabla_XJ)\Psi=0,\quad(\bar\nabla_XJ)Y=(\nabla_X\Phi)Y-\eta(Y)X+g(X,Y)\xi
$$
である。したがって次は同値である。
- $(M,g,\xi)$ は佐々木多様体である。
- $\bar\nabla J=0$ である。
このとき $J$ は $\bar g$ を保つ概複素構造で、$C(M)$ は $J$ を複素構造とする複素多様体になり、$(C(M),J,\bar g)$ は Kähler 多様体で、その Kähler 形式は $\bar\omega=\frac12d(r^2\eta)$ である。
lem-sas-cone-connection を使う。$\eta(X)$、$g(X,Y)$ などは $r$ によらないので $\Psi$ で微分すると $0$ であり、$\Phi X$ や $\xi$ も持ち上げである。
$(\bar\nabla_\Psi J)\Psi=\bar\nabla_\Psi\xi-J\bar\nabla_\Psi\Psi=\xi-J\Psi=0$ である。$\bar\nabla_\Psi(JX)=\bar\nabla_\Psi(\Phi X)-\eta(X)\bar\nabla_\Psi\Psi=\Phi X-\eta(X)\Psi=JX$ と $J\bar\nabla_\Psi X=JX$ から $(\bar\nabla_\Psi J)X=0$ である。$\bar\nabla_X(J\Psi)=\bar\nabla_X\xi=\Phi X-\eta(X)\Psi=JX=J\bar\nabla_X\Psi$ から $(\bar\nabla_XJ)\Psi=0$ である。最後に
$$
\bar\nabla_X(JY)=\nabla_X(\Phi Y)-g(X,\Phi Y)\Psi-X(\eta(Y))\Psi-\eta(Y)X,
$$
$$
J(\bar\nabla_XY)=J(\nabla_XY)-g(X,Y)J\Psi=\Phi(\nabla_XY)-\eta(\nabla_XY)\Psi-g(X,Y)\xi
$$
の差をとる。$X(\eta(Y))=g(\nabla_X\xi,Y)+g(\xi,\nabla_XY)=g(\Phi X,Y)+\eta(\nabla_XY)$ なので、$\Psi$ の係数は $-g(X,\Phi Y)-g(\Phi X,Y)$ となり、交代性から $0$ である。残りが $(\nabla_X\Phi)Y-\eta(Y)X+g(X,Y)\xi$ である。
$\bar\nabla J$ はテンソル場で、$\Psi$ と持ち上げは各点の接空間を張るので、$\bar\nabla J=0$ は最後の式が $0$ であること、すなわち (S) と同値である。
1 が成り立つとする。$J^2\Psi=J\xi=-\Psi$ であり、(1) と thm-sas-contact の 1 から $J^2X=J(\Phi X)-\eta(X)\xi=\Phi^2X-\eta(X)\xi=-X$ である。$\bar g(J\Psi,J\Psi)=r^2=\bar g(\Psi,\Psi)$、$\bar g(J\Psi,JX)=r^2g(\xi,\Phi X)=0=\bar g(\Psi,X)$、$\bar g(JX,JY)=r^2\bigl(g(\Phi X,\Phi Y)+\eta(X)\eta(Y)\bigr)=r^2g(X,Y)$ なので（thm-sas-contact の 2）、$J$ は $\bar g$ を保つ概複素構造である。$J$ は捩れのない接続 $\bar\nabla$ で平行なので、概複素構造 の定理「$J$ を平行にする捩れのない接続」により Nijenhuisテンソル が消え、Nijenhuisテンソル の定理「Newlander–Nirenberg の定理」により $C(M)$ は $J$ を複素構造とする複素多様体になる。基本 2 形式 $\bar\omega(A,B):=\bar g(JA,B)$ は、$\bar\nabla\bar g=0$ と $\bar\nabla J=0$ から $\bar\nabla\bar\omega=0$ で、捩れのない接続で平行な形式は閉じているので $d\bar\omega=0$ である。よって Kähler 多様体である。
$\frac12d(r^2\eta)=r\,dr\wedge\eta+\frac12r^2d\eta$ と比べる。$(\Psi,X)$ では左右とも $r^2\eta(X)$ であり（$\bar g(J\Psi,X)=\bar g(\xi,X)=r^2\eta(X)$、$(dr\wedge\eta)(\Psi,X)=r\eta(X)$）、$(X,Y)$ では thm-sas-contact の 3 から左右とも $r^2g(\Phi X,Y)$ である。$\square$
逆に Kähler 錐から始めると、$\xi:=J\Psi$ を $\{1\}\times M$ に制限したものが長さ $1$ の Killing ベクトル場になり、$M$ に佐々木構造が入る（Spa11 Proposition 1.2 とその前、pp. 3–6）。thm-sas-cone は、$\xi$ を与えたうえでの同値を述べている。$r^2=e^{2t}$ とおくと $\bar\omega=\frac12d(e^{2t}\eta)$ であり、錐は接触多様体 $(M,\eta)$ の 接触多様体 の命題「シンプレクティック化」と同じ形のシンプレクティック多様体である。
曲率
$(M,g,\xi)$ を佐々木多様体とする。
- $R(X,Y)\xi=\eta(Y)X-\eta(X)Y$ である。
- $\xi$ を含む 2 次元部分空間の断面曲率はつねに $1$ である。
- Ricci テンソル $\mathrm{Ric}(Y,Z):=\operatorname{tr}(X\mapsto R(X,Y)Z)$ について $\mathrm{Ric}(\xi,\xi)=2n$ である。
1：$\nabla_{[X,Y]}\xi=\Phi(\nabla_XY)-\Phi(\nabla_YX)$ なので
$$
R(X,Y)\xi=\nabla_X(\Phi Y)-\Phi(\nabla_XY)-\nabla_Y(\Phi X)+\Phi(\nabla_YX)=(\nabla_X\Phi)Y-(\nabla_Y\Phi)X
$$
であり、(S) から $\eta(Y)X-g(X,Y)\xi-\eta(X)Y+g(Y,X)\xi=\eta(Y)X-\eta(X)Y$ である。
2：$X\perp\xi$、$g(X,X)=1$ とすると、1 から $R(X,\xi)\xi=X$ で、断面曲率 の定義により $K(X,\xi)=g(R(X,\xi)\xi,X)=1$ である。
3：$\mathcal{D}_p$ の正規直交基底 $e_1,\dots,e_{2n}$ に $e_0=\xi$ を加えると $\mathrm{Ric}(\xi,\xi)=\sum_{a=0}^{2n}g(R(e_a,\xi)\xi,e_a)$ で、$a=0$ の項は $R(\xi,\xi)=0$ により $0$、残りは 2 により $1$ ずつである。$\square$
佐々木多様体 $(M,g,\xi)$ で、ある定数 $\lambda$ について $\mathrm{Ric}=\lambda g$ となるものを 佐々木–Einstein 多様体 という。
prop-sas-curvature の 3 により、$\lambda=\mathrm{Ric}(\xi,\xi)=2n$ に限られる。$n\ge1$ で $M$ が連結かつ $g$ が完備なら、$\mathrm{Ric}=2n\,g$ は Bonnet–Myersの定理 の仮定（次元 $2n+1$、$a=1$）をみたすので、$M$ はコンパクトで直径は $\pi$ 以下、基本群は有限である。佐々木多様体が $\mathrm{Ric}=2n\,g$ をみたすことは、錐 $(C(M),\bar g)$ の Ricci テンソルが $0$ であることと同値である（Spa11 Proposition 1.9、pp. 12–13。この記事では証明しない）。
例
$S:=S^{2n+1}\subset\mathbb{C}^{n+1}=\mathbb{R}^{2n+2}$ に $\mathbb{R}^{2n+2}$ の標準計量の制限 $g$ を入れ、$\xi_p:=ip$ とおく。$(S,g,\xi)$ は佐々木多様体で、$\eta$ は 接触多様体 の例「球面の標準接触構造」の接触形式 $\alpha$ に等しい。
$\xi$ は $\mathbb{C}^{n+1}$ のユニタリ変換の流れ $p\mapsto e^{it}p$ の速度ベクトル場なので Killing で、$\lvert ip\rvert=1$ である。$\eta_p(v)=\langle ip,v\rangle$ は 接触多様体 の同じ例の $\lambda_p(v)=\langle Jp,v\rangle$ の制限である。
$F\colon C(S)\to\mathbb{R}^{2n+2}\setminus\{0\}$、$F(r,p):=rp$ は、極座標により $\bar g$ を標準計量に写す等長写像である。$F$ で写すと、$\Psi$ は位置ベクトル $x=rp$、$S$ のベクトル場 $X$ の持ち上げは $rX_p$、$\xi$ は $r\,ip=ix$ になる。$\mathcal{D}_p=\{v\perp p,\ ip\}$ の元 $X$ について $\nabla_X\xi$ は $iX$ の接成分で、$\langle iX,p\rangle=-\langle X,ip\rangle=0$ なので $\Phi X=iX$ である。よって $J\Psi=\xi$ は $ix$ に、$X\in\mathcal{D}$ について $JX=\Phi X$ は $i(rX_p)$ に写り、$J\xi=-\Psi$ は $i(ix)=-x$ に一致する。すなわち $F$ で写した $J$ は $i$ 倍の写像である。$i$ 倍は平坦な計量の Levi-Civita 接続で平行なので $\bar\nabla J=0$ であり、thm-sas-cone により $(S,g,\xi)$ は佐々木多様体である。$\square$
$\xi$ の流れ $p\mapsto e^{it}p$ の軌道は Hopfファイブレーション のファイバーで、軌道の空間は複素射影空間 $\mathbb{CP}^n$ である。$\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$ を 1 の $k$ 乗根のスカラー倍として作用させると、作用は自由で $g$ と $\xi$ を保つ。佐々木多様体の条件は各点の近くで決まるので、商の レンズ空間 $S^{2n+1}/(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})$ も佐々木多様体である。一般に、$g$ と $\xi$ を保つ等長変換の群が被覆空間作用で作用すれば、商は佐々木多様体になる。
Reeb の流れと Kähler 多様体． $M$ が連結で $\xi$ の軌道がすべて閉じていれば $\xi$ は円周群 $U(1)$ の等長な作用に積分され、作用が自由なとき佐々木構造を 正則、自由でないとき 準正則 という。軌道が閉じないものがあるときは 非正則 という（Spa11 §1.3、p. 9）。コンパクトで正則な佐々木多様体では、軌道の空間 $Z$ がコンパクトな Kähler 多様体 $(Z,h)$ になり、射影 $\varpi\colon M\to Z$ は $U(1)$ 主束で、Riemann 沈め込みでもあり、そのファイバーは全測地的な円周である。逆に、$(Z,h)$ をコンパクトな Kähler 多様体とし、$U(1)$ 主束 $\varpi\colon M\to Z$ の第 1 Chern 類が実コホモロジーで Kähler 形式の類 $[\omega_Z]$ の $0$ でない定数倍であるとする。接続形式の $0$ でない定数倍である 1 次形式 $\eta$ で $d\eta=2\varpi^*\omega_Z$ となるものをとると、$\varpi^*h+\eta\otimes\eta$ は佐々木計量になる（Spa11 Theorem 1.5・1.6、p. 11。準正則な場合は Kähler orbifold に置き換わる。この記事では証明しない）。単位球面はこの対応で $\mathbb{CP}^n$ の上の Hopf 束にあたる。
反例：条件を外すと崩れること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\xi$ の長さが $1$ | 単位球面 $S^{2n+1}$ の Killing ベクトル場 $\xi':=2\xi$（(S) はみたす） | 錐の $J$ が概複素構造であること |
| (S) | 平坦トーラス $\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3$ と $\xi=\partial_z$（長さ $1$ の Killing ベクトル場） | $\eta$ が接触形式であること |
| 錐の計量 $dr^2+r^2g$ | 単位球面の佐々木構造と、直積計量 $dt^2+g$ をもつ $\mathbb{R}\times S^{2n+1}$ | $J$ が平行であること |
1 行目：$\Phi'=\nabla\xi'=2\Phi$、$\eta'=g(\xi',\cdot)=2\eta$ なので、$(\nabla_X\Phi')Y=2\eta(Y)X-2g(X,Y)\xi=\eta'(Y)X-g(X,Y)\xi'$ となり (S) はみたされる（満たす性質）。しかし $\xi'$ から同じ式で作った $J'$ について $J'\xi'=\Phi'\xi'-\eta'(\xi')\Psi=-4\Psi$ なので $J'^2\Psi=-4\Psi$ であり、$J'$ は概複素構造でない（満たさない性質）。$\eta'(\xi')=4\ne1$ なので、$\xi'$ は $\eta'$ の Reeb ベクトル場でもない。
2 行目：$\xi=\partial_z$ は平行移動の流れの速度なので Killing で、長さ $1$ である。$\nabla\xi=0$ なので $\Phi=0$ で、$X=Y=\partial_x$ のとき (S) の左辺は $0$、右辺は $-\xi\ne0$ である。$\eta=dz$ は $d\eta=0$ なので $\eta\wedge d\eta=0$ となり、接触形式でない。
3 行目：$\mathbb{R}\times S$ の上で $J\partial_t:=\xi$、$JX:=\Phi X-\eta(X)\partial_t$ と定める。直積計量の Levi-Civita 接続では $\nabla_X\partial_t=0$、$\nabla_XY$ は $S$ の $\nabla_XY$ なので、thm-sas-cone の証明と同じ計算で $(\nabla_XJ)Y=(\nabla_X\Phi)Y-g(\Phi X,Y)\partial_t$ となる。$n\ge1$ とすると、$0\ne X\in\mathcal{D}$ について $(\nabla_XJ)X=-g(X,X)\xi\ne0$ である（(S) と $g(\Phi X,X)=0$ による）。$r=e^t$ とおくと $dr^2+r^2g=e^{2t}(dt^2+g)$ なので、この $J$ は錐の $J$ と同じもので複素構造ではあるが、直積計量について平行ではない。$t\mapsto t+\log2$ で割った $S^1\times S^3$（$n=1$）が Hopf曲面 である。
補足
- 名前の由来：佐々木重夫（Shigeo Sasaki、1912–1987、東北大学）は 1960 年の論文で、奇数次元の多様体の $(1,1)$ 型テンソル場・ベクトル場・1 次形式の組 $(\phi,\xi,\eta)$ と、それに合う計量 $g$ の組を、偶数次元の概複素構造と Hermite 計量の類似として導入した（Sas60 §1、pp. 459–460）。佐々木多様体は、この意味の計量と接触構造の組のうち特別なものとして導入された（Spa11 p. 5）。
- CR 構造との関係：錐の $\{r=1\}$ は複素多様体の実超曲面なので、$(\mathcal{D},\Phi|_\mathcal{D})$ は CR 構造を与え、Levi 形式にあたる $\frac12d\eta$ が正なので強擬凸である（Spa11 pp. 4–5）。
- 3 次元の佐々木–Einstein 多様体：完備な 3 次元の佐々木–Einstein 多様体の普遍被覆は単位球面 $S^3$ と等長である（Spa11 p. 13。この記事では証明しない）。新しい例が現れるのは 5 次元からである。
関連項目
- 前提: 接触多様体, Levi-Civita接続, Riemann曲率テンソル, Kähler多様体
- 道具: 概複素構造, Nijenhuisテンソル, 断面曲率, Bonnet–Myersの定理
- 例: Hopfファイブレーション, レンズ空間, Hopf曲面
参考文献
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