有界線形作用素
概要
有界線形作用素（bounded linear operator）とは、ノルム空間 $V$ からノルム空間 $W$ への線形写像 $T$ で、ある定数 $C\ge0$ についてすべての $x\in V$ で $\|Tx\|\le C\|x\|$ が成り立つものである。線形写像については、有界であることは連続であること、1 点で連続であること、有界集合を有界集合に写すことのそれぞれと同値である。有限次元の空間からの線形写像はつねに有界だが、無限次元では微分のように有界でないものがあり、有界かどうかは入れるノルムによる。終域が完備なら、稠密な部分空間の上の有界線形作用素は全体の上の有界線形作用素へただ 1 通りに延長できる。
有界線形作用素（bounded linear operator）とは、ノルム空間 $V$ からノルム空間 $W$ への線形写像 $T$ で、ある定数 $C\ge0$ についてすべての $x\in V$ で
$$
\|Tx\|\le C\|x\|
$$
が成り立つものをいう。入力の長さに比例する量で出力の長さを抑えられる、という条件である。線形写像については、この条件は連続であることと同値であり（thm-blo-continuity）、有界集合を有界集合に写すことと同値である。「有界」は値域が有界という意味ではない（$0$ でない線形写像の値域は有界にならない）。
有限次元の空間から出る線形写像はつねに有界だが、無限次元では微分のように有界でない線形写像が自然に現れ、有界かどうかは空間に入れるノルムによって変わる。有界線形作用素の全体 $B(V,W)$ は 作用素ノルム によってノルム空間になり、$W$ が完備なら Banach 空間になる。稠密な部分空間の上で定めた有界線形作用素は、終域が完備なら、全体の上の有界線形作用素へただ 1 通りに延長できる（thm-blo-extension）。一様有界性原理・開写像定理・閉グラフ定理は、Banach 空間の間の有界線形作用素についての定理である。
定義
以下、係数体 $\mathbb{K}$ は $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする（ノルム空間 の記事の $F$ にあたる）。$V,W$ は $\mathbb{K}$ 上のノルム空間で、どちらのノルムも同じ記号 $\|\cdot\|$ で表す。
線形写像 $T\colon V\to W$ が有界であるとは、ある定数 $C\ge0$ が存在して、すべての $x\in V$ について
$$
\|Tx\|\le C\|x\|
$$
が成り立つことをいう。有界な線形写像を有界線形作用素（有界作用素、有界線形写像）という。$V$ から $W$ への有界線形作用素の全体を $B(V,W)$、$B(V):=B(V,V)$ と書く。
条件を満たす $C$ のうち最小のものが $T$ の 作用素ノルム $\|T\|=\sup_{\|x\|\le1}\|Tx\|$ である（作用素ノルム の命題「作用素ノルムの言い換え」）。定義は Axl20 Definition 6.43（p. 167）、Bre11 §2.2 の Notation（p. 32）と同じである。
「有界」が何を有界にするのかを確かめておく。$T\ne0$ なら $Tx\ne0$ となる $x$ があり、$\|T(tx)\|=|t|\,\|Tx\|$ は $t$ とともにいくらでも大きくなるので、値域 $T(V)$ は有界でない。有界なのは「単位球の像」であり、言い換えれば「出力の長さと入力の長さの比」である。
有界性と連続性
$T\colon V\to W$ を線形写像とする。次は同値である。
- $T$ は有界である。
- $T$ は $V$ の有界集合を $W$ の有界集合に写す。
- $T$ はある 1 点 $x_0\in V$ で連続である。
- $T$ は連続である。
- $T$ は一様連続である。より強く、1 の定数 $C$ について $\|Tx-Ty\|\le C\|x-y\|$（Lipschitz 連続）が成り立つ。
1 ⇒ 5：線形性から $\|Tx-Ty\|=\|T(x-y)\|\le C\|x-y\|$ である。Lipschitz 連続な写像は一様連続である（$\varepsilon>0$ に対して $\delta=\varepsilon/(C+1)$ がとれる）。
5 ⇒ 4 ⇒ 3 は明らかである。
3 ⇒ 1：$x_0$ での連続性から、ある $\delta>0$ があって $\|y-x_0\|< \delta$ なら $\|Ty-Tx_0\|< 1$ である。$x\ne0$ について $y:=x_0+\frac{\delta}{2\|x\|}x$ とおくと $\|y-x_0\|=\delta/2< \delta$ なので、線形性から
$$
\frac{\delta}{2\|x\|}\|Tx\|=\|T(y-x_0)\|=\|Ty-Tx_0\|< 1
$$
となり、$\|Tx\|< \frac2\delta\|x\|$ である。$x=0$ では $Tx=0$ なので、$C=2/\delta$ で 1 が成り立つ。
1 ⇒ 2：$A\subset V$ が有界なら、ある $M$ ですべての $x\in A$ について $\|x\|\le M$ であり、$\|Tx\|\le CM$ なので $T(A)$ は有界である。
2 ⇒ 1：閉単位球 $\{x\mid\|x\|\le1\}$ は有界なので、その像はある閉球 $\{y\mid\|y\|\le C\}$ に含まれる。$x\ne0$ なら $u:=x/\|x\|$ は $\|u\|=1$ なので $\|Tx\|=\|x\|\,\|Tu\|\le C\|x\|$ であり、$x=0$ でも両辺は $0$ である。$\square$
連続性と有界性の同値は Axl20 6.48（p. 169）、1 点での連続性と一様連続性を加えた形は同書 Exercises 6C の 18 (a)〜(c)（p. 171）にある。3 ⇒ 1 の証明で使ったのは、$x_0$ の近くの小さな球を線形性で平行移動・拡大すれば空間全体を覆える、ということである。線形でない写像ではこの議論ができず、同値は成り立たない（下の反例の表）。
有界線形作用素の空間
$U,V,W$ を $\mathbb{K}$ 上のノルム空間とする。
- $B(V,W)$ は $V$ から $W$ への線形写像全体のなすベクトル空間の部分空間である。
- $T\in B(U,V)$、$S\in B(V,W)$ なら $S\circ T\in B(U,W)$ である。
- $T\in B(V,W)$ の核 $\ker T=\{x\mid Tx=0\}$ は $V$ の閉部分空間である。
- $V$ が有限次元なら、$V$ から $W$ への線形写像はすべて有界である。
1：$\|Sx\|\le C_S\|x\|$、$\|Tx\|\le C_T\|x\|$ なら $\|(S+T)x\|\le(C_S+C_T)\|x\|$、$\|(cT)x\|\le|c|C_T\|x\|$ であり、零写像は有界である。
2：$\|S(Tx)\|\le C_S\|Tx\|\le C_SC_T\|x\|$ である。
3：$\ker T$ は線形性から部分空間である。$T$ は thm-blo-continuity により連続なので、閉集合 $\{0\}$ の逆像 $\ker T=T^{-1}(\{0\})$ は閉集合である。
4：これは ノルム空間 の系「有限次元ノルム空間の性質」の 2 である。要点は、基底 $e_1,\dots,e_n$ による座標 $x=\sum_ka_ke_k$ について $\|Tx\|\le\bigl(\sum_k\|Te_k\|\bigr)\max_k|a_k|$ であり、有限次元ではすべてのノルムが同値なので $\max_k|a_k|\le c\|x\|$ となる定数 $c$ があることである。$\square$
$B(V,W)$ には作用素ノルムが入り、合成について $\|S\circ T\|\le\|S\|\,\|T\|$ が成り立つ（作用素ノルム の定理「作用素ノルムの基本性質」）。さらに $W$ が完備なら、$V$ が完備でなくても $B(V,W)$ は完備である（Banach空間 の定理「有界線形写像の空間の完備性」）。
3 の逆は、線形汎関数（$W=\mathbb{K}$）なら成り立つ（連続線形汎関数 の定理「核による連続性の判定」）が、一般の線形写像では成り立たない（同記事の例「反例：値域が無限次元なら核が閉でも連続とは限らない」）。
例
- （行列）$m\times n$ 行列 $A=(a_{ij})$ が定める $x\mapsto Ax$ を、$\mathbb{K}^n$ と $\mathbb{K}^m$ に Euclid ノルム $\|x\|_2=(\sum_j|x_j|^2)^{1/2}$ を入れて考える。第 $i$ 成分に Cauchy–Schwarz の不等式を使うと $|(Ax)_i|^2\le\bigl(\sum_j|a_{ij}|^2\bigr)\|x\|_2^2$ なので、$\|Ax\|_2\le\bigl(\sum_{i,j}|a_{ij}|^2\bigr)^{1/2}\|x\|_2$ である。
- （掛け算）$C([a,b])$ に上限ノルム $\|f\|_\infty=\max_{[a,b]}|f|$ を入れ、連続関数 $m$ を 1 つ固定して $M_mf:=mf$ と定める。$\|mf\|_\infty\le\|m\|_\infty\|f\|_\infty$ であり、$f=1$ で等号が成り立つので、最小の定数は $\|m\|_\infty$ である。
- （積分）連続関数 $k\colon[0,1]^2\to\mathbb{K}$ について $(Kf)(x):=\int_0^1k(x,y)f(y)\,dy$ と定めると、$K$ は $C([0,1])$ からそれ自身への線形写像で $\|Kf\|_\infty\le\bigl(\max|k|\bigr)\|f\|_\infty$ を満たす。最小の定数は 作用素ノルム の例「連続な核をもつ積分作用素」で求めている。
- （ずらし）$1\le p\le\infty$ とし、数列の空間 $\ell^p$（ℓp空間）の上で $S(x_1,x_2,\dots):=(0,x_1,x_2,\dots)$、$L(x_1,x_2,\dots):=(x_2,x_3,\dots)$ と定める。$\|Sx\|_p=\|x\|_p$、$\|Lx\|_p\le\|x\|_p$ なので、どちらも有界である。
- （点での値）$t\in[a,b]$ を固定すると、$C([a,b])$ 上の線形汎関数 $f\mapsto f(t)$ は $|f(t)|\le\|f\|_\infty$ を満たし、有界である。
1 の評価から、行列の定める写像は具体的な定数で有界になる。これは prop-blo-basic の 4 の一般論（有限次元からの線形写像はつねに有界）の、Euclid ノルムの場合の直接の確かめにあたる。
有界でない線形写像
無限次元では、自然な線形写像が有界でないことがある。
$[0,1]$ 上の $C^1$ 級関数の空間 $C^1([0,1])$ と $C([0,1])$ に上限ノルムを入れ、微分 $D f:=f'$ を考える。$p_n(x):=x^n$ とおくと $\|p_n\|_\infty=1$、$\|Dp_n\|_\infty=\|nx^{n-1}\|_\infty=n$ なので、$\|Df\|_\infty\le C\|f\|_\infty$ となる定数 $C$ はなく、$D$ は有界でない。
一方、$C^1([0,1])$ にノルム $\|f\|_{C^1}:=\|f\|_\infty+\|f'\|_\infty$ を入れると $\|Df\|_\infty\le\|f\|_{C^1}$ なので、同じ $D$ が有界になる。有界かどうかは写像だけでは決まらず、定義域と終域のノルムによる。
有限個の項を除いて $0$ である数列の空間 $c_{00}$ に $\|x\|_\infty=\max_k|x_k|$ を入れ、$T(x_1,x_2,x_3,\dots):=(x_1,2x_2,3x_3,\dots)$ と定める（Axl20 Example 6.45、p. 168）。第 $k$ 項だけが $1$ の数列 $e_k$ について $\|e_k\|_\infty=1$、$\|Te_k\|_\infty=k$ なので、$T$ は有界でない。
無限次元のノルム空間には、つねに有界でない線形汎関数がある（不連続線形汎関数 の定理「不連続線形汎関数の存在」。存在の証明には選択公理を使う）。これに対して、Banach 空間から Banach 空間への線形写像は、グラフが閉なら有界である（閉グラフ定理）。したがって Banach 空間全体の上で定義され Banach 空間に値をとる有界でない線形写像は、グラフが閉でない。微分のような有界でない作用素は、定義域を稠密な部分空間に制限した 非有界作用素 として扱う。
下からの評価と逆写像
有界性は「出力が入力より大きくなりすぎない」という上からの評価である。逆向きの評価は、逆写像の有界性と結び付く。全単射な $T\in B(V,W)$ で逆写像も有界なものを（ノルム空間の）同型という。
$T\in B(V,W)$ とし、値域 $T(V)$ には $W$ のノルムを制限して入れる。次は同値である。
- ある $c>0$ について、すべての $x\in V$ で $\|Tx\|\ge c\|x\|$ である。
- $T$ は単射で、逆写像 $T^{-1}\colon T(V)\to V$ は有界である。
さらに $V$ が Banach 空間で 1 が成り立つなら、$T(V)$ は $W$ の閉部分空間である。
1 ⇒ 2：$Tx=0$ なら $c\|x\|\le0$ なので $x=0$ であり、$T$ は単射である。$y=Tx\in T(V)$ について $\|T^{-1}y\|=\|x\|\le\frac1c\|Tx\|=\frac1c\|y\|$ である。
2 ⇒ 1：$\|T^{-1}y\|\le C\|y\|$ とすると、$x=T^{-1}(Tx)$ から $\|x\|\le C\|Tx\|$ である。$C>0$ なら $c=1/C$ でよい。$C=0$ なら $V=\{0\}$ であり、どの $c>0$ でもよい。
値域が閉であること：$Tx_n\to y\in W$ とする。$\|x_n-x_m\|\le\frac1c\|Tx_n-Tx_m\|$ なので $(x_n)$ は Cauchy 列であり、$V$ の完備性からある $x$ に収束する。$T$ は連続なので $Tx=\lim Tx_n=y$ となり、$y\in T(V)$ である。$\square$
恒等写像 $(V,\|\cdot\|)\to(V,\|\cdot\|')$ が同型であることは、2 つのノルムが同値であること（ノルム空間 の定義「同値なノルム」）にほかならない。Banach 空間の間では、全単射な有界線形作用素は自動的に同型になる（開写像定理）。
- $\ell^2$ の上のずらし $S(x_1,x_2,\dots)=(0,x_1,x_2,\dots)$ は $\|Sx\|_2=\|x\|_2$ を満たすので下からの評価をもち、値域 $\{y\mid y_1=0\}$ は閉である。しかし全射ではないので同型ではない。下からの評価は全射性を導かない。
- $\ell^2$ の上の $Rx:=(x_n/n)_{n\ge1}$ は $\|Rx\|_2\le\|x\|_2$ で有界かつ単射だが、$\|Re_n\|_2=1/n$ なので下からの評価をもたず、逆写像 $R(\ell^2)\ni y\mapsto(ny_n)_n$ は有界でない。値域は $c_{00}$ を含むので $\ell^2$ で稠密だが、$(1/n)_n$ を含まないので閉でない（$R^{-1}$ を当てると $(1,1,\dots)\notin\ell^2$ になる）。
稠密な部分空間からの延長
有界線形作用素は、稠密な部分空間の上で定めれば全体の上で決まる。関数空間の作用素を、扱いやすい関数の上で式で定義し、極限で全体へ広げるときの基本の道具である。
$V$ をノルム空間、$U\subset V$ を稠密な部分空間、$W$ を Banach 空間とし、$S\colon U\to W$ を有界線形作用素とする（$U$ には $V$ のノルムを制限して入れる）。このとき、連続写像 $T\colon V\to W$ で $T|_U=S$ となるものがただ 1 つ存在する。$T$ は線形で、$\|Su\|\le C\|u\|$（$u\in U$）を満たす定数 $C$ について $\|Tx\|\le C\|x\|$（$x\in V$）を満たす。とくに $T$ は有界で、$\|T\|=\|S\|$ である。
一意性：$T,T'$ がともに連続で $U$ の上で $S$ に一致するとする。$x\in V$ に対し、$U$ の稠密性から $u_n\to x$ となる $u_n\in U$ がとれ、$Tx=\lim Tu_n=\lim Su_n=\lim T'u_n=T'x$ である（距離空間の極限は一意）。
存在：$x\in V$ と、$x$ に収束する $U$ の点列 $(u_n)$ をとる。$\|Su_n-Su_m\|\le C\|u_n-u_m\|$ であり $(u_n)$ は Cauchy 列なので、$(Su_n)$ は $W$ の Cauchy 列で、$W$ の完備性から極限をもつ。極限は点列の選び方によらない。実際、$u_n'\to x$ も $U$ の点列なら $\|Su_n-Su_n'\|\le C\|u_n-u_n'\|\le C(\|u_n-x\|+\|x-u_n'\|)\to0$ である。そこで
$$
Tx:=\lim_{n\to\infty}Su_n
$$
と定める。$x\in U$ なら定数列 $u_n=x$ をとれるので $Tx=Sx$ である。
線形性：$u_n\to x$、$v_n\to y$（$u_n,v_n\in U$）と $a,b\in\mathbb{K}$ について $au_n+bv_n\in U$ は $ax+by$ に収束するので、$T(ax+by)=\lim S(au_n+bv_n)=a\lim Su_n+b\lim Sv_n=aTx+bTy$ である。
評価：ノルムの連続性から $\|Tx\|=\lim\|Su_n\|\le C\lim\|u_n\|=C\|x\|$ である。よって $T$ は有界であり、thm-blo-continuity により連続である。作用素ノルムについては、いま示したことを $C=\|S\|$ で使うと $\|T\|\le\|S\|$ であり、$T$ は $S$ の延長なので $\|T\|\ge\|S\|$ である。$\square$
この定理は Axl20 Exercises 6C の 14 (a)(b)（p. 171。部分空間 $U$ の閉包への延長として述べている）にあたる。たとえば $\mathbb{R}^n$ 上の Fourier 変換は、$L^1\cap L^2$ の上で積分で定めた等長な写像を、この定理で $L^2$ 全体へ延長して得られる（Plancherelの定理）。終域の完備性は外せない。
$V=\ell^2$、$U=c_{00}$（有限個の項を除いて $0$ の数列）とする。$c_{00}$ は $\ell^2$ で稠密である（ℓp空間 の命題「有限列の稠密性」）。$W$ を $c_{00}$ に $\ell^2$ のノルムを入れた空間とし、$S\colon U\to W$ を恒等写像とする。$S$ は有界だが、$W$ は完備でない。
連続な $T\colon\ell^2\to W$ で $T|_U=S$ となるものがあったとする。$x\in\ell^2$ について、最初の $N$ 項を残した数列 $P_Nx\in c_{00}$ は $\ell^2$ で $x$ に収束するので、$Tx=\lim_NTP_Nx=\lim_NP_Nx$（$W$ の中の極限）である。$W$ のノルムは $\ell^2$ のノルムなので、この極限は $\ell^2$ の中の極限 $x$ と一致し、$Tx=x$ となる。ところが $x=(1/n)_{n\ge1}\in\ell^2$ は $c_{00}$ に属さないので、$Tx=x\in W$ に反する。よって延長は存在しない。
仮定を外すと成り立たなくなること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 線形性（thm-blo-continuity） | $f(x)=x^2$（$\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$） | 連続なら $\lvert f(x)\rvert\le C\lvert x\rvert$ となる $C$ がある |
| 線形性（thm-blo-continuity の 3 ⇒ 4） | $x\le0$ で $0$、$x>0$ で $1$ をとる関数 | 1 点で連続なら全体で連続 |
| 定義域が有限次元（prop-blo-basic の 4） | $c_{00}$ 上の $T$（ex-blo-c00） | 線形写像はつねに有界 |
| ノルムを固定すること | 微分 $D$（ex-blo-derivative） | 有界かどうかは写像だけで決まる |
| 終域が完備（thm-blo-extension） | $c_{00}$ の恒等写像（ex-blo-extension-fails） | 稠密な部分空間からの連続な延長がある |
確かめ方：$f(x)=x^2$ は連続で有界集合を有界集合に写すが、$\lvert f(x)\rvert/\lvert x\rvert=\lvert x\rvert$ は有界でない。2 行目の関数は $x=-1$ で連続（その近くで定数 $0$）だが、$x=0$ で連続でない。ほかの行は本文の例で確かめた。
発展
Banach 空間の間の有界線形作用素については、完備性から強い結論が出る。各点で有界な有界線形作用素の族は一様に有界である（一様有界性原理）。全射な有界線形作用素は開集合を開集合に写し、とくに全単射なら逆写像も有界である（開写像定理）。グラフが閉な線形写像は有界である（閉グラフ定理）。Hilbert 空間の上の有界線形作用素には 随伴作用素 が定まり、単位球の像の閉包がコンパクトになるものは コンパクト作用素 と呼ばれる。
関連項目
参考文献
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