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$\theta$ は $y$ の次数 $e$ の斉次多項式を $x$ の次数 $de$ の斉次多項式に写す。$g\in\mathfrak a_{n,d}$ を斉次成分 $g=\sum_eg_e$ に分けると $0=\theta(g)=\sum_e\theta(g_e)$ で、$\theta(g_e)$ は次数 $de$ の成分なので各 $\theta(g_e)=0$、すなわち $g_e\in\mathfrak a_{n,d}$ である。よって斉次イデアルである。$k[y]/\mathfrak a_{n,d}$ は整域 $k[x]$ の部分環と同型なので整域であり、$\mathfrak a_{n,d}$ は素イデアルである。$\theta(y_{x_0^d})=x_0^d\neq0$ だから $y_{x_0^d}\notin\mathfrak a_{n,d}$ である。後半は $\theta(y_My_{M'})=MM'$ から明らかである。斉次素イデアル $\mathfrak p$ で無関係イデアルを含まないものについて $V_+(\mathfrak p)$ は空でなく、$I_+(V_+(\mathfrak p))=\mathfrak p$ が素なので既約である（射影多様体の定理「射影零点定理」）。$\square$

$\subset$：$g\in\mathfrak a_{n,d}$ が斉次なら $g\bigl((M(a))_M\bigr)=\theta(g)(a)=0$ である。
純粋な冪の座標：$q\in V_+(\mathfrak a_{n,d})$ とし、$q_M\neq0$ となる $M=x_0^{\alpha_0}\cdots x_n^{\alpha_n}$（$\sum\alpha_j=d$）をとる。$M^d=\prod_j(x_j^d)^{\alpha_j}$ はどちらも単項式 $d$ 個の積なので
$$ y_M^d-\prod_jy_{x_j^d}^{\alpha_j}\in\mathfrak a_{n,d} $$
である。$q$ で値をとると $\prod_jq_{x_j^d}^{\alpha_j}=q_M^d\neq0$ なので、$\alpha_i>0$ となるある $i$ について $q_{x_i^d}\neq0$ である。
$\supset$：記号を簡単にするため $i=0$ とし、$q_{x_0^d}=1$ と正規化する。$b_j:=q_{x_0^{d-1}x_j}$（$j=0,\dots,n$。とくに $b_0=1$）とおき、$q=\nu_d([b])$ を示す。単項式 $M=x_0^{\alpha_0}\cdots x_n^{\alpha_n}$ について
$$ M\cdot(x_0^d)^{d-1}=x_0^{d(d-1)}M=\prod_{j=0}^n(x_0^{d-1}x_j)^{\alpha_j} $$
であり、両辺とも次数 $d$ の単項式 $d$ 個の積だから、$y_My_{x_0^d}^{d-1}-\prod_jy_{x_0^{d-1}x_j}^{\alpha_j}\in\mathfrak a_{n,d}$ である。$q$ で値をとると $q_M=\prod_jb_j^{\alpha_j}=M(b)$ を得る。よって $q=\nu_d([b])$ である。
単射性：$\nu_d([a])=\nu_d([a'])$ とする。$a_i\neq0$ となる $i$ をとると座標 $a_i^d\neq0$ なので $a'_i\neq0$ でもある。$\nu_d([a])$ の座標比 $a_i^{d-1}a_j/a_i^d=a_j/a_i$ は点 $\nu_d([a])$ だけで決まるので $a_j/a_i=a'_j/a'_i$（全 $j$）となり、$[a]=[a']$ である。$\square$

$\nu_d$ は射：閉集合 $V_+(T)$（$T$ は斉次多項式の集合）の逆像は $\{[a]\mid g((M(a))_M)=0,\ g\in T\}$ で、$g((M)_M)=\theta(g)$ は斉次多項式だから閉集合である。開集合上の正則関数 $g/h$（$g,h$ は同じ次数 $e$ の斉次多項式）の引き戻しは $\theta(g)/\theta(h)$ で、分子分母は同じ次数 $de$ の斉次多項式であり、引き戻した開集合上で分母は $0$ にならないので正則である。
逆射：$W_i:=V_+(\mathfrak a_{n,d})\cap\{y_{x_i^d}\neq0\}$ とおくと、thm-ver-image により $W_0,\dots,W_n$ は $V_+(\mathfrak a_{n,d})$ の開被覆である。$\psi_i\colon W_i\to\mathbb P^n$、$q\mapsto[q_{x_i^{d-1}x_0}:\cdots:q_{x_i^{d-1}x_n}]$ は、第 $i$ 座標が $q_{x_i^d}\neq0$ なので定義でき、上と同じ理由で射である（座標は次数 $1$ の斉次多項式）。thm-ver-image の証明（$i$ を $0$ の代わりに使う）により $\nu_d(\psi_i(q))=q$ であり、$\nu_d$ は単射だから $\psi_i$ は $\nu_d$ の逆写像の $W_i$ への制限に等しい。したがって逆写像 $\nu_d^{-1}$ は各開集合 $W_i$ 上で射であり、射であることは開被覆で局所的に確かめればよいので、$\nu_d^{-1}$ は射である。$\square$

$F=\sum_Mc_MM$ と書き、一次形式 $L:=\sum_Mc_My_M\neq0$ をとる。$F(a)=L(\nu_d(a))$ なので、$\nu_d$ は $\mathbb P^n\setminus V_+(F)$ を $V_+(\mathfrak a_{n,d})\setminus V_+(L)$ の上へ同型に写す。$\mathbb P^N$ の座標の可逆な一次変換で $L$ を第 $0$ 座標にできるので、$\mathbb P^N\setminus V_+(L)$ は $U_0\cong\mathbb A^N$ と同型である（Har77 Proposition I.3.3、p. 18）。$V_+(\mathfrak a_{n,d})\setminus V_+(L)$ はその閉集合で、既約な $V_+(\mathfrak a_{n,d})$ の開集合なので既約であり、$k$ は無限体なので $F$ が $0$ にならない点があって空でない。よって $\mathbb A^N$ の既約閉集合、すなわちアフィン多様体と同型である。$\square$

$uw-v^2\in\mathfrak a_{1,2}$ は明らかである。逆に $g\in\mathfrak a_{1,2}$ とする。$v^2$ を $uw$ に置き換える操作を繰り返すと、$g$ は $(uw-v^2)$ を法として $\sum c_{ab}u^aw^b+\sum d_{ab}u^avw^b$ の形の多項式 $h$ に合同になる。$\theta$ による各項の像は $s^{2a}t^{2b}$ と $s^{2a+1}t^{2b+1}$ で、指数の組がすべて異なるので、$\theta(h)=\theta(g)=0$ から係数はすべて $0$、すなわち $g\in(uw-v^2)$ である。残りは thm-ver-image と thm-ver-isomorphism による。逆射は $u\neq0$ で $[u:v]$、$w\neq0$ で $[v:w]$ であり、平方根をとらないので標数によらない。$\square$

同型は prop-ver-conic である。$I_+(C)$ は射影零点定理により素イデアル $\mathfrak a_{1,2}=(uw-v^2)$ に等しい。$B:=S(C)$ の極大イデアル $\mathfrak m:=(u,v,w)$ を考えると、$B/\mathfrak m=k$ であり、関係式 $uw-v^2$ は $(u,v,w)^2$ に入るので $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ は $u,v,w$ の類を基底とする $3$ 次元の空間である。一方 $k[s,t]$ の極大イデアルはすべて $\mathfrak n=(s-a,t-b)$ の形であり（Hilbertの零点定理）、$\mathfrak n/\mathfrak n^2$ は $2$ 次元である。$k$ 代数の同型 $\Phi\colon B\to k[s,t]$ があれば、$\Phi(\mathfrak m)$ は剰余体 $k$ の極大イデアル $\mathfrak n$ で $\Phi(\mathfrak m^2)=\mathfrak n^2$ となり、$k$ ベクトル空間の同型 $\mathfrak m/\mathfrak m^2\cong\mathfrak n/\mathfrak n^2$ を引き起こして次元が矛盾する。$\square$

$aa^{\mathsf T}$ は $a\neq0$ のとき階数 $1$ の対称行列である。逆に $Z$ が階数 $1$ の対称行列なら $Z=uw^{\mathsf T}$（$u,w\neq0$）と書ける。$Z$ の列はすべて $u$ の倍数で、$Z=Z^{\mathsf T}=wu^{\mathsf T}$ の列はすべて $w$ の倍数なので、$w=\lambda u$（$\lambda\neq0$）である。$k$ は代数閉体なので $\lambda=\mu^2$ と書け、$Z=(\mu u)(\mu u)^{\mathsf T}=\nu_2(\mu u)$ の成分になる。最後に、$0$ でない行列の階数が $1$ であることは、$2\times2$ 小行列式がすべて $0$ であることと同値である。$\square$