群準同型

任意の群 $G,H$ に対し、すべての元を $e_H$ に送る写像は群準同型であり（自明な準同型）、核は $G$ 全体、像は $\{e_H\}$ である。$K$ が $G$ の部分群なら包含写像 $K\to G$ は単射準同型で、像は $K$ である。

$k$ を体、$\mathrm{GL}_n(k)$ を $k$ 成分の可逆な $n$ 次正方行列のなす一般線形群、$k^\times=k\setminus\{0\}$ を乗法群とする。行列式の乗法性 $\det(AB)=\det A\det B$ により、$\det\colon\mathrm{GL}_n(k)\to k^\times$ は群準同型である。核は行列式 $1$ の行列のなす特殊線形群 $\mathrm{SL}_n(k)$ であり、したがって $\mathrm{SL}_n(k)$ は $\mathrm{GL}_n(k)$ の正規部分群である。$a\in k^\times$ に対し対角行列 $\operatorname{diag}(a,1,\dots,1)$ の行列式は $a$ なので、$\det$ は全射である。$n\ge2$ なら単射でない（たとえば $(1,2)$ 成分だけが $1$ で他が $0$ の行列を $E_{12}$ とすると、上三角行列 $I+E_{12}$ は単位行列でないが行列式 $1$ であり、核に入る）。

$n$ 次対称群 $S_n$ の元 $\sigma$ に置換の符号 $\operatorname{sgn}\sigma\in\{1,-1\}$ を対応させる写像は、$\operatorname{sgn}(\sigma\tau)=\operatorname{sgn}\sigma\,\operatorname{sgn}\tau$（DF04 §3.5）により、乗法群 $\{\pm1\}$ への群準同型である。核は偶置換のなす交代群 $A_n$ であり、$A_n\trianglelefteq S_n$ である。$n\ge2$ なら互換 $(1\,2)$ の符号が $-1$ なので全射であり、後の thm-group-homomorphism-first-isomorphism により $S_n/A_n\cong\{\pm1\}$、特に $|A_n|=n!/2$ である。$n\ge3$ なら $|S_n|=n!>2$ なので単射でない（$n=2$ では $S_2\to\{\pm1\}$ は群同型である）。

指数関数の法則 $e^{s+t}=e^se^t$ により、次の写像はいずれも加法群から乗法群への群準同型である。

1. $\exp\colon(\mathbb{R},+)\to(\mathbb{R}_{>0},\times)$。対数関数 $\log$ が逆写像なので全単射であり、群同型である。加法と乗法という見かけの違う演算が、群としては同じ構造であることを示している。
2. $\exp\colon(\mathbb{C},+)\to(\mathbb{C}^\times,\times)$。$0$ でない複素数は $re^{i\theta}=e^{\log r+i\theta}$ と書けるので全射であり、核は $\{z\in\mathbb{C}\mid e^z=1\}=2\pi i\mathbb{Z}$ である。単射でない。
3. $\varepsilon\colon(\mathbb{R},+)\to S^1$、$t\mapsto e^{2\pi it}$。ここで $S^1=\{z\in\mathbb{C}\mid|z|=1\}$ は乗法について群をなす（円周群）。任意の $z\in S^1$ は $e^{i\theta}$（$\theta\in\mathbb{R}$）と書けるので全射であり、核は $\mathbb{Z}$ である。後の thm-group-homomorphism-first-isomorphism により $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong S^1$ となる。

$n\ge1$ とする。整数の加法群 $\mathbb{Z}$ から剰余類の群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ への写像 $a\mapsto a+n\mathbb{Z}$ は全射準同型で、核は $n\mathbb{Z}$ である。
より一般に、群 $H$ の元 $h$ を一つ選ぶと、$f(a):=h^a$ は $\mathbb{Z}$ から $H$ への群準同型であり（指数法則 $h^{a+b}=h^ah^b$）、$\mathbb{Z}$ から $H$ への準同型はすべてこの形である（準同型 $f$ は $h=f(1)$ により $f(a)=f(1)^a$ となる。prop-group-homomorphism-identity-inverse の 3）。同様に、巡回群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ から $H$ への準同型は、$h^n=e_H$ を満たす $h\in H$ と一対一に対応する（$a+n\mathbb{Z}\mapsto h^a$ が代表のとり方によらないことが $h^n=e_H$ と同値である）。たとえば $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to\mathbb{C}^\times$、$a+n\mathbb{Z}\mapsto e^{2\pi ia/n}$ は $1$ の $n$ 乗根のなす群 $\mu_n$ への群同型である。

群 $G$ の元 $g$ に対し $c_g(x):=gxg^{-1}$ とおくと、$c_g(xy)=gxg^{-1}gyg^{-1}=c_g(x)c_g(y)$ なので $c_g$ は自己準同型であり、$c_{g^{-1}}$ が逆写像なので自己同型である（内部自己同型）。$c_{gh}=c_g\circ c_h$ だから $g\mapsto c_g$ は $G$ から自己同型群 $\operatorname{Aut}G$ への群準同型であり、その核は $G$ のすべての元と可換な元のなす中心 $Z(G)$ である。

加法群 $\mathbb{Z}$ の写像 $f(n)=n+1$ は全単射だが、$f(0+0)=1$、$f(0)+f(0)=2$ なので群準同型でない。実際、群準同型は単位元を単位元に送る（prop-group-homomorphism-identity-inverse）が、$f(0)=1\neq0$ である。この写像は「全単射である」を満たすが「演算を保つ」を満たさず、全単射性だけでは群同型にならないことを示す。

アーベル群 $A$ では $x\mapsto x^2$ は群準同型である（$(xy)^2=xyxy=x^2y^2$）。非可換群ではそうとは限らない。$S_3$ で $x=(1\,2)$、$y=(1\,3)$ とすると $x^2=y^2=e$ なので $x^2y^2=e$ だが、$xy$ は長さ $3$ の巡回置換で $(xy)^2\neq e$ である。よって $S_3$ の 2 乗写像は群準同型でない。これは準同型の条件 $f(xy)=f(x)f(y)$ が群の可換性と結びつく例であり、同様に逆元をとる写像 $x\mapsto x^{-1}$ が群準同型であることは群が可換であることと同値である（アーベル群 の記事の命題「可換性の言い換え」）。この例は「群である」を満たすが「可換」を満たさず、含意「2 乗写像はつねに群準同型である」を破る。

$H=\{e,(1\,2)\}\subset S_3$ の包含写像 $\iota\colon H\to S_3$ は単射準同型で、像は $H$ である。しかし $(1\,3)(1\,2)(1\,3)^{-1}=(2\,3)\notin H$ なので、$H$ は $S_3$ の正規部分群でない。核はつねに正規部分群である（prop-group-homomorphism-kernel-image）が、像は部分群であっても正規とは限らない。この例は「像は部分群」を満たすが「像は正規部分群」を満たさない。

上の例と thm-group-homomorphism-first-isomorphism から次の同型が得られる。

1. $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の核 $n\mathbb{Z}$ による剰余群そのものであり、$a\mapsto e^{2\pi ia/n}$ から $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong\mu_n$（ex-group-homomorphism-cyclic）。
2. 行列式から $\mathrm{GL}_n(k)/\mathrm{SL}_n(k)\cong k^\times$（ex-group-homomorphism-determinant）。
3. 符号から $S_n/A_n\cong\{\pm1\}$（$n\ge2$。ex-group-homomorphism-sign）。
4. 指数関数から $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong S^1$、$\mathbb{C}/2\pi i\mathbb{Z}\cong\mathbb{C}^\times$（ex-group-homomorphism-exponential）。
5. 共役から $G/Z(G)\cong\{c_g\mid g\in G\}$（内部自己同型群。ex-group-homomorphism-conjugation）。