連接層の延長

1：$N\subset M$ が有限生成なら、$\widetilde{N}$ は連接（連接層 の命題「Noether 環上の有限生成加群の連接性」）で、$\widetilde{\ }$ は完全なので $\widetilde{N}\to\widetilde{M}$ は単射である。逆に $\mathcal{H}\subset\widetilde{M}$ が連接なら、$\mathcal{H}$ は準連接（連接層 の定理「Noether スキーム上の連接層の特徴づけ」）なので $\mathcal{H}=\widetilde{N}$、$N:=\Gamma(X,\mathcal{H})\subset M$ であり（準連接層 の系「アフィンスキーム上の圏同値」）、$\widetilde{N}$ は有限型なので $N$ は有限生成である（連接層 の命題「アフィンスキーム上の有限型」）。
2：$N_1+N_2$ も有限生成なので族は有向である。$V\subset X$ を開集合、$s\in\widetilde{M}(V)$ とする。$X$ は Noether 位相空間なので $V$ は準コンパクトであり（Noetherスキーム の補題「Noether 位相空間の基本性質」の 3）、有限個の基本開集合 $D(f_1),\dots,D(f_r)\subset V$ で被覆される。$s|_{D(f_i)}\in M_{f_i}$ を $m_i/f_i^{k}$（$m_i\in M$）と書き、$N$ を $m_1,\dots,m_r$ で生成される部分加群とする。$s|_{D(f_i)}$ は $\widetilde{N}(D(f_i))=N_{f_i}$ の元 $t_i$ の像である。$\widetilde{N}\to\widetilde{M}$ は各開集合の切断の上で単射なので、$t_i$ は重なりで一致し、$t\in\widetilde{N}(V)$ に貼り合う。$t$ の像は $s$ と各 $D(f_i)$ 上で一致するので $s$ に等しい。よって $s\in\widetilde{N}(V)$ である。$\square$

$j\colon U\to X$ を包含とする。$U$ は Noether スキームなので、$j_*\mathcal{F}$ と $j_*(\mathcal{G}|_U)$ は準連接である（準連接層 の命題「準コンパクト準分離な射による順像」）。$\rho\colon\mathcal{G}\to j_*(\mathcal{G}|_U)$ を制限写像が定める自然な射とし、
$$ \mathcal{H}:=\rho^{-1}(j_*\mathcal{F})=\ker\bigl(\mathcal{G}\to j_*(\mathcal{G}|_U)/j_*\mathcal{F}\bigr) $$
とおく。準連接層の商と核は準連接なので（準連接層 の定理「準連接層の圏の閉性」）、$\mathcal{H}$ は $\mathcal{G}$ の準連接な部分層である。$U$ の上では $j_*(\mathcal{G}|_U)|_U=\mathcal{G}|_U$、$(j_*\mathcal{F})|_U=\mathcal{F}$ で $\rho|_U$ は恒等写像なので、$\mathcal{H}|_U=\mathcal{F}$ である。
lem-ext-affine-union により $\mathcal{H}$ は連接な部分層の有向族 $(\mathcal{H}_\alpha)$ の和であり、制限すると $\mathcal{F}=\bigcup_\alpha\mathcal{H}_\alpha|_U$ である。$U$ は準コンパクトなので有限個のアフィン開集合 $W_1,\dots,W_r$ で被覆され、$\mathcal{F}|_{W_l}$ は有限生成 $\mathcal{O}(W_l)$ 加群 $M_l$ に付随する層である（連接層 の定理「Noether スキーム上の連接層の特徴づけ」）。$M_l$ の有限個の生成元はそれぞれある $\mathcal{H}_\alpha(W_l)$ に入るので、族の有向性から、すべての $l$ の生成元を含む 1 つの $\alpha$ がとれる。$\mathcal{H}_\alpha|_{W_l}$ は $\mathcal{F}|_{W_l}$ の準連接な部分層だから $N_l\subset M_l$ に付随する層であり、$N_l$ は $M_l$ の生成元を含むので $N_l=M_l$ である。よって $\mathcal{H}_\alpha|_U=\mathcal{F}$ であり、$\mathcal{F}':=\mathcal{H}_\alpha$ が求める部分層である。$\square$

1：$X$ は Noether なので有限個のアフィン開集合 $X_1,\dots,X_n$ で被覆され、各 $X_i=\operatorname{Spec}A_i$ で $A_i$ は Noether 環である。$U_0:=U$、$U_i:=U\cup X_1\cup\dots\cup X_i$ とおき、$\mathcal{G}|_{U_i}$ の連接な部分層 $\mathcal{F}_i$ で $\mathcal{F}_i|_U=\mathcal{F}$ となるものを $i$ についての帰納法で作る。$\mathcal{F}_0:=\mathcal{F}$ とする。$\mathcal{F}_i$ まで作ったとき、$X_{i+1}$ の開集合 $U_i\cap X_{i+1}$ の上の連接層 $\mathcal{F}_i|_{U_i\cap X_{i+1}}$ は $\mathcal{G}|_{U_i\cap X_{i+1}}$ の部分層なので、lem-ext-affine により $\mathcal{G}|_{X_{i+1}}$ の連接な部分層 $\mathcal{E}$ で $\mathcal{E}|_{U_i\cap X_{i+1}}=\mathcal{F}_i|_{U_i\cap X_{i+1}}$ となるものがある。$\mathcal{F}_i$ と $\mathcal{E}$ は $\mathcal{G}$ の部分層として重なり $U_i\cap X_{i+1}$ の上で一致するので、$\mathcal{G}|_{U_{i+1}}$ の部分層 $\mathcal{F}_{i+1}$ に貼り合う。連接性は局所的な性質なので $\mathcal{F}_{i+1}$ は連接であり、$\mathcal{F}_{i+1}|_U=\mathcal{F}_i|_U=\mathcal{F}$ である。$U_n=X$ なので $\mathcal{F}':=\mathcal{F}_n$ が求めるものである。
2：$j\colon U\to X$ を包含とし、$\mathcal{G}:=j_*\mathcal{F}$ とおく。$U$ は Noether なので $\mathcal{G}$ は準連接であり（準連接層 の命題「準コンパクト準分離な射による順像」）、$\mathcal{G}|_U=\mathcal{F}$ である。1 を当てればよい。$\square$

有向性：連接な部分層 $\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2$ について、$\mathcal{G}_1\oplus\mathcal{G}_2\to\mathcal{G}$ の像 $\mathcal{G}_1+\mathcal{G}_2$ は、準連接層の像なので準連接で（準連接層 の定理「準連接層の圏の閉性」）、有限型の層の像なので有限型である（連接層 の補題「有限型の像と部分層」）。よって Noether スキーム上で連接である（連接層 の定理「Noether スキーム上の連接層の特徴づけ」）。
和であること：$V\subset X$ を開集合、$s\in\mathcal{G}(V)$ とする。$1\mapsto s$ で定まる $\mathcal{O}_V\to\mathcal{G}|_V$ の像 $\mathcal{F}$ は、同じ理由で $V$ 上の連接層であり、$\mathcal{G}|_V$ の部分層である。thm-ext-main の 1 により、$\mathcal{G}$ の連接な部分層 $\mathcal{F}'$ で $\mathcal{F}'|_V=\mathcal{F}$ となるものがあり、$s\in\mathcal{F}(V)=\mathcal{F}'(V)$ である。最後の主張は、有向な部分層の族の和が帰納極限であることによる。$\square$

1：Weil因子 の例「反例：Cartierでない素因子」により、$L\cap U$ は $U$ 上の Cartier 因子であり、その局所方程式は $\mathcal{I}|_U$ の局所生成元になる。整域の 0 でない元で生成される単項イデアルは自由加群なので、$\mathcal{I}|_U$ は可逆層である。
2：そのような $\mathcal{M}$ があったとする。$\mathcal{M}$ は可逆なので、頂点の開近傍 $W$ で $\mathcal{M}|_W\cong\mathcal{O}_W$ となるものがある。すると $\mathcal{I}|_{W\cap U}\cong\mathcal{O}_{W\cap U}$ であり、$1$ の像を $g\in\Gamma(W\cap U,\mathcal{I})\subset\Gamma(W\cap U,\mathcal{O}_X)$ とすると、$g$ は $W\cap U$ の各点で $\mathcal{I}$ を生成する。$X$ は 2 次元の正規整スキームで（Weil因子 の補題「2次錐の正規性」）、$g$ は関数体 $K$ の 0 でない元である。$W$ と交わる素因子 $Y$ の生成点 $\eta_Y$ は頂点でないので $W\cap U$ に入る。$Y\neq L$ なら $\mathcal{I}_{\eta_Y}=\mathcal{O}_{X,\eta_Y}$ なので $g$ は単元で $\operatorname{ord}_Y(g)=0$ であり、$Y=L$ なら $\mathcal{I}_{\eta_L}$ は離散付値環 $\mathcal{O}_{X,\eta_L}$ の極大イデアルで $g$ がそれを生成するので $\operatorname{ord}_L(g)=1$ である。
$B:=A_{\mathfrak{m}}$ とおく。$\operatorname{Spec}B$ の点は頂点の一般化で $W$ に入り、$B$ は Noether 正規整域で、$\mathfrak{p}B$ は高さ $1$ の素イデアルである。上の計算から $\operatorname{Spec}B$ の上で $\operatorname{div}(g)=V(\mathfrak{p}B)$ となる。Weil因子 の補題「素因子が主因子であることと単項性」により $\mathfrak{p}B$ は単項イデアルであるが、Weil因子 の例「2次錐の因子類群」の末尾の注意によれば $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{m}}$ は単項でない。これは矛盾である。$\square$