E8格子

$\Phi:=\Phi(E_8)$ とし、基 $\Delta$ を 1 つとる（ルート系 の定理「正系と基の一対一対応」）。

段 1：$\Delta$ の図形は $E_8$ 型の木である。 相異なる $\alpha,\beta\in\Delta$ について $\alpha\cdot\beta\le0$ である（ルート系 の補題「単純ルートどうしの内積」）。$\alpha\cdot\beta$ は整数で、$\alpha,\beta$ は比例しないので Cauchy–Schwarz の不等式から $\lvert\alpha\cdot\beta\rvert<2$ であり、$\alpha\cdot\beta\in\{0,-1\}$ となる。そこで $\alpha\cdot\beta=-1$ の組を辺で結んだグラフを $\Gamma$ とすると、$\Delta$ の Gram 行列 $G$ は $\Gamma$ の Cartan 行列 $2I-A_\Gamma$（$A_\Gamma$ は隣接行列）であり、$\Delta$ が基底なので正定値である。単純鏡映 $s_\alpha(x)=x-(x\cdot\alpha)\alpha$（$\alpha\in\Delta$）は $\mathbb{Z}\Delta$ を保ち（$\mathbb{Z}\Delta\subset E_8$ の元と $\alpha$ の内積は整数）、どのルートも単純ルートの単純鏡映の積による像なので（ルート系 の命題「Weyl群は単純鏡映で生成される」）、すべてのルートは $\mathbb{Z}\Delta$ に入る。よって、$\mathbb{Z}\Delta$ はルート $b_1,\dots,b_8$ を含み、prop-e8l-basic の 3 から $\mathbb{Z}\Delta=E_8$ である。よって $\Delta$ は $E_8$ の $\mathbb{Z}$ 基底で、$\det G=\operatorname{disc}(E_8)=1$ である。$\Gamma$ の各連結成分の Cartan 行列も正定値なので、成分は $A_n$、$D_n$、$E_6$、$E_7$、$E_8$ のどれかで、行列式はそれぞれ $n+1$、$4$、$3$、$2$、$1$ である（Du Val特異点 の定理「正定値な Cartan 行列をもつグラフ」）。$\det G$ は成分の行列式の積で $1$ なので、どの成分も $E_8$ であり、頂点が $8$ 個なので $\Gamma$ は $E_8$ 型の木そのものである。

段 2：木の自己同型。 $E_8$ 型の木は次数 $3$ の頂点をただ 1 つもち、そこから出る 3 本の腕の頂点の個数は $1,2,4$ で相異なる。グラフの自己同型はこの頂点を固定し、各腕をそれ自身に写すので、すべての頂点を固定する。

段 3。 $g\in\operatorname{Aut}(E_8)$ はノルムを保つので $g(\Phi)=\Phi$ で、線形なので $g(\Delta)$ も基である。Weyl 群 $W:=W(\Phi)$ は基全体に推移的に作用する（ルート系 の命題「Weyl群の正系への推移性」）ので、$wg(\Delta)=\Delta$ となる $w\in W$ がある。$wg$ は $\Delta$ を並べ替えて内積を保つので $\Gamma$ の自己同型を与え、段 2 から $\Delta$ の各元を固定する。$\Delta$ は基底なので $wg=\mathrm{id}$、$g=w^{-1}\in W$ である。逆の包含は prop-e8l-roots の 2 である。$W$ が基全体に単純推移的に作用することは ルート系 の系「Weyl群の単純推移性」である。$\square$

収束。 $L\subset\mathbb{R}^8$（標準内積）とみる。$0$ でない元のノルムは $2$ 以上なので、$L$ の各点を中心とする半径 $\rho:=1/\sqrt2$ の開球は互いに交わらない。ノルム $R$ 以下の元の個数を $N(R)$ とすると、それらを中心とする球は半径 $\sqrt R+\rho$ の球に含まれるので、体積を比べて $N(R)\le(\sqrt R+\rho)^8/\rho^8$ である。$\operatorname{Im}\tau\ge\varepsilon>0$ では $\lvert q^{x\cdot x/2}\rvert=e^{-\pi(x\cdot x)\operatorname{Im}\tau}\le e^{-\pi\varepsilon\,x\cdot x}$ なので、級数は一様に絶対収束し、$\Theta_L$ は $\mathfrak{H}$ 上で正則である。$\operatorname{Im}\tau\ge1$ では $\lvert\Theta_L\rvert\le\sum_xe^{-\pi x\cdot x}<\infty$ で有界である。

2 つの変換則。 $x\cdot x$ は偶数なので $\Theta_L(\tau+1)=\Theta_L(\tau)$ である。$L$ はユニモジュラーなので双対格子は $L$ 自身で、基本領域の体積は $\sqrt{\operatorname{disc}(L)}=1$ である。Poissonの和公式 の例「格子のテータ級数」により、$t>0$ で $\sum_xe^{-\pi\lvert x\rvert^2/t}=t^{4}\sum_xe^{-\pi t\lvert x\rvert^2}$、すなわち $\tau=it$ について $\Theta_L(-1/\tau)=t^4\Theta_L(\tau)=\tau^4\Theta_L(\tau)$ である（$i^4=1$）。両辺は $\mathfrak{H}$ 上で正則なので、一致の定理 により $\mathfrak{H}$ 全体で $\Theta_L(-1/\tau)=\tau^4\Theta_L(\tau)$ が成り立つ。

モジュラー性。 $\gamma=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ について $(f|\gamma)(\tau):=(c\tau+d)^{-4}f(\gamma\tau)$ とおく。$j(\gamma,\tau):=c\tau+d$ は $j(\gamma\gamma',\tau)=j(\gamma,\gamma'\tau)\,j(\gamma',\tau)$ を満たすので $f|(\gamma\gamma')=(f|\gamma)|\gamma'$ であり、$f|\gamma=f$ となる $\gamma$ の全体は部分群をなす。上の 2 つの変換則は $\Theta_L|T=\Theta_L$、$\Theta_L|S=\Theta_L$（$T=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$、$S=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$）を意味し、$S,T$ は $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ を生成する（上半平面 の定理「$\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ の生成元」）。有界性と合わせて $\Theta_L\in M_4$ である。

結論。 $\dim M_4=1$（モジュラー形式 の定理「モジュラー形式の空間の構造」の 3）で、$E_4\in M_4$ である。ノルム $0$ の元は $0$ だけなので $\Theta_L$ の定数項は $1$ で、$E_4$ の定数項も $1$ だから $\Theta_L=E_4$ である。$E_4$ の $q$ 展開は モジュラー形式 の記事の正規化された Eisenstein 級数の式による。$\square$