Picardの大定理

相異なる 2 つの値 $c_1,c_2$ のそれぞれについて、$f(z)=c_j$ となる点 $z$ が $z_0$ のある穴あき近傍 $0<|z-z_0|<\varepsilon_j$ に有限個しかないとする。$\varepsilon_1$ と $\varepsilon_2$ 以下で、その有限個の点の $|z-z_0|$ のどれよりも小さい $\varepsilon>0$ をとると、$f$ は $0<|z-z_0|<\varepsilon$ で $c_1$ も $c_2$ もとらず、thm-gp-main に反する。よって、高々 1 つの値を除き、どの値 $c$ についても、どの $\varepsilon>0$ についても $f(z)=c$ となる点は $0<|z-z_0|<\varepsilon$ に無限個ある。$\square$

$D$ は単連結なので、$0$ にならない正則関数は対数と平方根をもつ（Cauchyの積分定理 の系「単連結領域上の原始関数と対数の分枝」）。
$e^L=F$ となる正則関数 $L$ を、$2\pi i$ の整数倍を足して $|\operatorname{Im}L(0)|\le\pi$ となるようにとり、$h:=L/(2\pi i)$ とおく。$F=e^{2\pi ih}$ で、$e^{2\pi ih(z)}=1$ となるのは $h(z)\in\mathbb{Z}$ のときに限るから、$F\ne1$ により $h$ は整数の値をとらない。とくに $h$ と $h-1$ は $0$ にならないので、$S^2=h$、$T^2=h-1$ となる正則関数 $S,T$ がある。$(S+T)(S-T)=S^2-T^2=1$ なので $S+T$ は $0$ にならず、$e^{H}=S+T$ となる正則関数 $H$ を $|\operatorname{Im}H(0)|\le\pi$ となるようにとれる。このとき $S-T=e^{-H}$ なので
$$ S=\frac{e^H+e^{-H}}2=\cosh H,\qquad h=\cosh^2H,\qquad F=\exp\bigl(2\pi i\cosh^2H\bigr) $$
である。$H(z)\in A$ なら $h(z)=\cosh^2H(z)$ は整数になるので、$H$ は $A$ の点をとらない。
3 を示す。$\frac12\le|F(0)|\le2$ なら $|\operatorname{Re}L(0)|=|\log|F(0)||\le\log2$ なので、$|h(0)|=|L(0)|/(2\pi)\le(\log2+\pi)/(2\pi)< 1$ である。$\sigma:=|S(0)|+|T(0)|$ とおくと $\sigma\le|h(0)|^{1/2}+(|h(0)|+1)^{1/2}< 1+\sqrt2$ であり、$\sigma^2\ge|S(0)|^2+|T(0)|^2=|h(0)|+|h(0)-1|\ge1$ から $\sigma\ge1$ である。$|e^{H(0)}|=|S(0)+T(0)|\le\sigma$、$|e^{-H(0)}|=|S(0)-T(0)|\le\sigma$ なので $|\operatorname{Re}H(0)|\le\log\sigma< \log(1+\sqrt2)< 1$ である。よって $|H(0)|< 1+\pi< 5$ である。$\square$

$H'(w)=0$ なら明らかなので $H'(w)\ne0$ とする。$0<\rho< d$ をとり、$\varphi(\zeta):=\dfrac{H(w+\rho\zeta)}{\rho H'(w)}$ とおく。$\varphi$ は $|\zeta|< d/\rho$ で正則で、この開円板は閉円板 $\{|\zeta|\le1\}$ を含み、$\varphi'(0)=1$ である。Bloch 型の補題により $\varphi(D)$ はある開円板 $B(c,\frac1{24})$ を含むので、$H(B(w,\rho))=\rho H'(w)\cdot\varphi(D)$ は半径 $\rho|H'(w)|/24$ の開円板 $B'$ を含む。もし $\rho|H'(w)|/24\ge2$ なら、$B'$ は同じ中心の半径 $2$ の開円板を含み、点の配置の補題によりそこに $A$ の点があるので、$H$ がその点をとることになって仮定に反する。よって $\rho|H'(w)|< 48$ であり、$\rho\to d$ として主張を得る。$\square$

$\frac12\le|F(0)|\le2$ の場合。lem-gp-representation の $H$ をとると $|H(0)|< 5$ である。$|z|\le\frac12$、$0\le t\le1$ について $B(tz,1-t|z|)\subset D$ なので、lem-gp-derivative により $|H'(tz)|\le48/(1-t|z|)$ である。よって
$$ |H(z)-H(0)|=\Bigl|\int_0^1H'(tz)z\,dt\Bigr|\le\int_0^1\frac{48|z|}{1-t|z|}\,dt=48\log\frac1{1-|z|}\le48\log2< 34 $$
であり、$|H(z)|< 39$ である。$|\cosh w|\le\frac{|e^w|+|e^{-w}|}2\le e^{|w|}$ なので $|\cosh^2H(z)|< e^{78}$ であり、$|e^{2\pi iu}|=e^{-2\pi\operatorname{Im}u}\le e^{2\pi|u|}$ から $|F(z)|\le\exp(2\pi e^{78})=K$ である。
$|F(0)|<\frac12$ の場合。$1-F$ も $D$ の上で $0$ と $1$ をとらず、$\frac12<|1-F(0)|<\frac32$ である。前の場合により $|z|\le\frac12$ で $|1-F(z)|\le K$、したがって $|F(z)|\le K+1$ である。$\square$

準備。$0<|z-z_0|<\varepsilon$ で $f$ が相異なる 2 つの値 $a,b$ をとらないとして矛盾を導く。$f_1(z):=\dfrac{f(z_0+\varepsilon z)-a}{b-a}$ は $0<|z|<1$ の上で正則で、$0$ と $1$ をとらない。$f(z)=a+(b-a)f_1((z-z_0)/\varepsilon)$ なので、$0$ が $f_1$ の除去可能特異点か極なら $z_0$ も $f$ の除去可能特異点か極になる。よって $0$ は $f_1$ の真性特異点である。
左半平面 $P:=\{w\mid\operatorname{Re}w< 0\}$ の上で $g(w):=f_1(e^w)$ とおくと、$g$ は正則で $0$ と $1$ をとらない。$t>8$ について $w_t:=-t+\pi i$ とおくと、$B(w_t,8)$ の点の実部は $-t+8< 0$ なので $B(w_t,8)\subset P$ であり、$F_t(\zeta):=g(w_t+8\zeta)$ は $D$ の上の正則関数で $0$ と $1$ をとらない。線分 $I_t:=\{-t+i\theta\mid0\le\theta\le2\pi\}$ の点 $w$ は $|w-w_t|\le\pi< 4$ を満たすので、$w=w_t+8\zeta$ と書くと $|\zeta|<\frac12$ である。また $e^w$ は $w\in I_t$ のとき円周 $C_t:=\{|z|=e^{-t}\}$ 全体を動く。
場合 1：$|g(w_t)|\le2$ となる $t>8$ が限りなく大きくとれるとき。そのような $t$ の列 $t_1< t_2<\cdots$、$t_n\to\infty$ をとる。$|F_{t_n}(0)|=|g(w_{t_n})|\le2$ なので、prop-gp-schottky により $I_{t_n}$ の上で $|g|\le K+1$、すなわち円周 $C_{t_n}$ の上で $|f_1|\le K+1$ である。閉円環 $R_n:=\{e^{-t_{n+1}}\le|z|\le e^{-t_n}\}$ の上で、$|f_1|$ の最大値をとる点が円環の内部にあれば、開写像定理(複素解析) の系「正則関数の最大値原理」により $f_1$ は内部で定数になり、連続性から $R_n$ の上で定数である。どちらにしても $R_n$ の上の最大値は境界の 2 つの円周の上の値で抑えられ、$|f_1|\le K+1$ である。$R_n$ たちの和は $0<|z|\le e^{-t_1}$ なので、$f_1$ は $0$ の近くで有界であり、Riemannの拡張定理 の定理「Riemann の拡張定理」により $0$ は除去可能特異点になる。これは矛盾である。
場合 2：ある $T>8$ があり、$t\ge T$ ならつねに $|g(w_t)|>2$ のとき。$t\ge T$ について $1/F_t$ は $D$ の上で正則で（$F_t$ は $0$ をとらない）、$0$ をとらず、$1$ もとらない（$F_t$ が $1$ をとらない）。$|1/F_t(0)|<\frac12$ なので、prop-gp-schottky により $I_t$ の上で $|1/g|\le K+1$、すなわち $C_t$ の上で $|1/f_1|\le K+1$ である。$t\ge T$ のすべての円周を合わせると $0<|z|\le e^{-T}$ になる。$1/f_1$ は $0<|z|<1$ で正則で $0$ の近くで有界なので、Riemannの拡張定理 の定理「Riemann の拡張定理」により $|z|< e^{-T}$ の上の正則関数 $\psi$ に延びる。$\psi$ は $0<|z|< e^{-T}$ で $0$ にならない。$\psi(0)\ne0$ なら $f_1=1/\psi$ は $0$ の近くで有界で、$0$ は除去可能特異点である。$\psi(0)=0$ なら $|f_1(z)|=1/|\psi(z)|\to\infty$（$z\to0$）で、$0$ は極である。どちらも矛盾である。
いずれの場合も矛盾が出たので、$f$ は $0<|z-z_0|<\varepsilon$ で 2 つの値を避けることはない。$\square$

$F(w):=f(1/w)$ は $0<|w|<\infty$ で正則で、$f$ が多項式でないので $w=0$ は $F$ の真性特異点である（整関数 の命題「無限遠の特異点による分類」）。cor-gp-infinitely-often を $F$ に使えばよい。後半について、定数でない多項式は 代数学の基本定理 によりすべての値をとる。$\square$

$0<|z-z_0|<\varepsilon$ で $f$ が相異なる 3 点 $a,b,c\in\hat{\mathbb{C}}$ をとらないとする。3 点のどれかが $\infty$ なら、それを $c$ とする。$c=\infty$ のとき、$f$ は極をもたないのでそこで正則で、有限の値 $a,b$ をとらないから、thm-gp-main により $z_0$ は真性特異点でなく、仮定に反する。$a,b,c$ がすべて有限なら $g:=1/(f-c)$ とおく。$f\ne c$ なので $g$ は $f$ の極を除いて正則で、$f$ の極では $g\to0$ となるから、Riemannの拡張定理 により $0<|z-z_0|<\varepsilon$ の上の正則関数とみなせる。$g$ は相異なる 2 つの有限の値 $1/(a-c)$、$1/(b-c)$ をとらないので、thm-gp-main により $z_0$ は $g$ の真性特異点でない。$g$ は恒等的に $0$ でないので、$z_0$ が $g$ の除去可能特異点ならその延長の零点の位数を $m\ge0$、極なら位数を $-m$ として、$z_0$ の近くで $g(z)=(z-z_0)^mu(z)$、$u$ は正則で $u(z_0)\ne0$ と書ける。すると $z_0$ の小さな穴あき近傍で $f=c+(z-z_0)^{-m}/u$ は正則で、$z_0$ はその除去可能特異点か極になり、仮定に反する。$\square$