可縮空間

概要

定義

一点への収縮

位相空間 $X$ が可縮（contractible）であるとは、点 $x_0\in X$ と連続写像
$$H\colon X\times[0,1]\to X,\qquad H(x,0)=x,\quad H(x,1)=x_0$$
が存在することをいう。
この $H$ を収縮という。
すなわち、恒等写像 $\operatorname{id}_X$ が定値写像 $c_{x_0}$ とホモトピックである。
空空間は可縮ではない。

一点とのホモトピー同値による特徴づけ

$X$ が可縮であることと、$X$ が一点空間とホモトピー同値であることは同値である。

収縮の終点を $x_0$ とし、唯一の写像 $f\colon X\to\{*\}$ と $g(*)=x_0$ をとる。
すると $fg=\operatorname{id}_{\{*\}}$、$gf=c_{x_0}\simeq\operatorname{id}_X$ なので、$f,g$ はホモトピー逆である。
逆にホモトピー逆 $f\colon X\to\{*\}$、$g\colon\{*\}\to X$ があれば、$gf$ は値 $g(*)$ の定値写像で、$gf\simeq\operatorname{id}_X$ が収縮を与える。
特に後者には $g(*)\in X$ が必要であり、空空間は含まれない。

直感

収縮は各点の道をばらばらに選ぶのではなく、点と時刻の両方について連続な一つの写像を与える条件である。
したがって、各点を個別に一点へ結べるだけでは足りない。
例えば円周は弧状連結空間だが可縮でない。
「点と同じ」とはホモトピー同値という意味であり、同相（同相写像が存在するという意味）ではない。

例と反例

非空の星状集合

実位相ベクトル空間 $E$ の部分集合 $A$ に点 $a\in A$ があり、すべての $x\in A$ と $t\in[0,1]$ に対して $(1-t)x+ta\in A$ とする。
このとき $H(x,t)=(1-t)x+ta$ は $A$ の収縮であり、$a$ を全時刻で固定する。
連続性は $E$ の加法とスカラー倍の連続性から従う。
非空の凸集合は任意の点を $a$ にできる。
$\mathbb{R}^n$ は可縮である。
閉円板 $D^n$ は可縮である。
一点空間も可縮である。
ここで $n\ge0$ とし、$D^0$ は一点空間とする。

錐とくし空間

非空の空間 $Y$ の錐 $CY=(Y\times[0,1])/(Y\times\{1\})$ は可縮である。
頂点へ収縮する式は $([y,s],t)\mapsto[y,s+t(1-s)]$ であり、商空間から誘導される写像の連続性を含む証明は錐(位相) の命題「錐は可縮」を参照されたい。
くし空間
$$C=([0,1]\times\{0\})\cup((\{0\}\cup\{1/n:n\ge1\})\times[0,1])$$
も可縮である。
この具体的な収縮はくし空間の系「くし空間は可縮である」が証明付きで与える。
ここでいう $C$ は、削除くし空間でも原点を抜いたくし空間でもない。

有限次元球面による反例

$S^0$ は二点離散空間なので可縮でない。
$n\ge1$ でも $S^n$ は可縮でない。
後者は $\pi_n(S^n)\cong\mathbb{Z}$ とホモトピー群のホモトピー不変性による。
これらの計算はホモトピー群の「球面自身」および Hat02 §4.1–4.2 を参照されたい。
特に $S^2$ は単連結だが可縮でなく、「単連結 $\implies$ 可縮」を破る。
単連結性の証明は単連結空間の命題「球面の単連結性」にある。

木の例

非空の有限の木を、各辺を閉区間とした位相空間として実現すると可縮である。
辺があれば葉に接する辺を、その隣の頂点へ線形に縮め、他の辺を固定する。
この操作は共通の頂点で値が一致する有限個の閉部分空間上の写像を貼るので連続である。
辺数に関する帰納法で一点に達する。
無限の木（CW 位相）では、ループの像はコンパクトなので有限部分木に含まれ、有限の場合の議論により零ホモトピックである。よって無限の木は単連結な1次元 CW 複体であり、Whitehead の定理（Hat02 Theorem 4.5）により可縮である。

可縮と崩壊可能は異なる

有限単体複体について、自由面を使う基本崩壊の有限列で一点にできることを崩壊可能という。
崩壊可能なら可縮だが、逆は成り立たない。
ダンスハットはその反例である。
標準的なダンスハットは三角形の境界を一周するときの貼付語を $aaa^{-1}$ として三辺を一本に同一視する空間であり、$aaa$ による同一視とは異なる。
可縮性と崩壊不可の結果は PS15 §4、特に定理4.4のダンスハットの三角形分割、およびZee64を参照されたい。
別の可縮な例として、二部屋と通路の壁面からなる部屋が二つある家がある。
この例の幾何的構成と収縮の説明は Hat02 第0章にある。

写像と位相的構成

ホモトピー類による特徴づけ

$[Y,X]$ を連続写像 $Y\to X$ の自由ホモトピー類全体とする。
$X$ が可縮であることと、すべての位相空間 $Y$ に対して $[Y,X]$ が一点集合であることは同値である。
また、$X$ が可縮なら、任意の連続写像 $f\colon X\to Y$ は定値写像とホモトピックである。

収縮 $H$ の終点を $x_0$ とする。
$u\colon Y\to X$ に対し $(y,t)\mapsto H(u(y),t)$ は $u$ と値 $x_0$ の定値写像を結ぶ。
定値写像は存在するので、$[Y,X]$ は一点集合である。
逆に $Y=\{*\}$ とすると $X$ は非空である。
$x_0\in X$ をとり $Y=X$ を適用すると、$\operatorname{id}_X$ と $c_{x_0}$ がホモトピックとなる。
最後の主張は $(x,t)\mapsto f(H(x,t))$ で終点が $f(x_0)$ となることによる。

向きを変えたときの注意

可縮な $X$ から $Y$ への二つの写像が、互いにホモトピックとは限らない。
例えば $X=\{*\}$、$Y=\{0,1\}$ を離散空間とすると、二つの定値写像を結ぶホモトピーは存在しない。
区間の連続像は連結なので、二点離散空間内で $0$ から $1$ へ道を引けないためである。

直積の可縮性

収縮 $H_i\colon X_i\times[0,1]\to X_i$ が添字 $i\in I$ ごとに与えられていれば、積位相を入れた $\prod_{i\in I}X_i$ は可縮である。
特に二つの可縮空間の直積は可縮である。

$H_i$ の終点を $a_i$ とし、$a=(a_i)_{i\in I}$ とおく。
$$H((x_i)_{i\in I},t)=(H_i(x_i,t))_{i\in I}$$
は各成分が連続なので積位相の普遍性により連続であり、恒等写像を値 $a$ の定値写像へ結ぶ。
空の積は一点なので、この場合も成り立つ。
各 $X_i$ が可縮であるという存在だけから任意の添字集合について収縮の族を選ぶ場合は、選択公理を使う。
有限個なら有限回の選択で足りる。

可縮性の保存と非保存

1〜7は指定した構成で可縮性が保たれるという含意への反例であり、8は可縮性を保つ構成である。

部分空間への遺伝は成り立たない：$D^2$ は可縮だが、境界 $S^1$ は可縮でない。
部分空間から全空間へも移らない：$S^1$ の一点部分空間は可縮だが、$S^1$ は可縮でない。
和集合へも移らない：円周の上半円弧と下半円弧は各々閉区間と同相で可縮だが、和集合は $S^1$ である。
共通部分へも移らない：同じ二つの閉半円弧の共通部分は二点離散空間であり、弧状連結でないので可縮でない。
連続像へも移らない：$t\mapsto(\cos 2\pi t,\sin 2\pi t)$ は可縮な $[0,1]$ から非可縮な $S^1$ への連続全射である。
逆像へも移らない：定値写像 $S^1\to\{*\}$ による一点の逆像は $S^1$ である。
非空の可縮空間二つの位相的直和は、二つの非空の開かつ閉集合（開かつ閉な部分）に分かれるので可縮でない。
直積は上の命題により可縮性を保つ。
半円弧の可縮性には閉区間の線形収縮を使い、非可縮性には円周または二点離散空間を使っている。

指定した点を止める収縮

可縮な $X$ の任意の点 $q$ に対し、$q$ を終点とする収縮は存在する。
実際、収縮の終点 $a$ から $q$ への道を、収縮の後半に全点共通で続ければよい。
したがって $\{q\}$ は変位レトラクトの意味で変位レトラクトになる。
しかし $q$ を全時刻で止めた収縮、すなわち $\{q\}$ への強変位レトラクションがあるとは限らない。
くし空間 $C$ と $q=(0,1)$ が「可縮 $\implies$ 任意の指定点が強変位レトラクト」を破る。
この主張の証明はくし空間の命題「点 $(0,1)$ は変位レトラクトだが強変位レトラクトではない」にある。

局所可縮性との比較

近傍内で縮むという流儀

ここでは $X$ が局所可縮であるとは、各点 $x$ の各開近傍 $U$ に対して、開近傍 $x\in V\subset U$ と連続写像 $F\colon V\times[0,1]\to U$ があり、$F(v,0)=v$、$F(v,1)=u_0$（$v\in V$ によらない $u_0\in U$）となることをいう。
可縮な開近傍の基底をもつ、という流儀もある。
後者なら前者を満たすが、前者の収縮は $V$ の外へ出てよいため、定義上同じ条件ではない。
くし空間の局所非可縮性は前者に対して証明されており、したがって後者に対しても成り立たない。

大域と局所を分ける四例

$[0,1]$ は可縮かつ局所可縮であり、相対開区間を線形に縮めれば両方の局所の流儀を満たす。
$S^1$ は局所可縮だが可縮でなく、小さな開円弧は開区間と同相である。
くし空間 $C$ は可縮だが局所可縮でない。
Hawaiianイヤリングは可縮でも局所可縮でもない。
Hawaiianイヤリングの任意に小さい円は空間全体でも縮まず、これは半局所単連結空間のイヤリングの反例の証明にある。
もし局所収縮があれば、十分小さい円の包含写像も定値へ変形できてしまうので矛盾する。
Hawaiianイヤリングとその錐は別の空間であり、後者の可縮性を前者へ移せない。

局所可縮性と道

上で定めた流儀の局所可縮空間は、局所弧状連結空間である。

開集合 $U$ の弧状連結成分 $P$ と $x\in P$ をとる。
包含が $U$ 内で縮む近傍 $V$ をとれば、各 $v\in V$ は収縮の終点を経由して $x$ と $U$ 内の道で結ばれる。
よって $V\subset P$ である。
各 $x\in P$ についてこのような開近傍があるので $P$ は開であり、これらの成分が弧状連結な開近傍基底を与える。

局所可縮性を保つ二つの構成

局所可縮空間の位相的直和は局所可縮である。
二つの局所可縮空間の直積は局所可縮である。
いずれも、可縮な開近傍基底を使う強い流儀でも成り立つ。

直和では各成分が開であり、各点の近傍をその成分に限って選べる。
直積では与えられた点の開近傍内に基本開集合 $U_1\times U_2$ を取り、各 $U_i$ の中で縮む $V_i$ を取る。
二つのホモトピーの成分ごとの積が $V_1\times V_2$ を $U_1\times U_2$ の中で縮める。
強い流儀では各 $V_i$ 自身を可縮に取り、直積の可縮性を使う。

局所可縮性の非保存

以下の空間にはすべて指定した相対位相または直和位相を入れる。

部分空間への遺伝は成り立たない：$\mathbb{R}$ は局所可縮だが $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ はそうでない。
$\mathbb{Q}$ の連結部分集合は一点に限られ、開近傍は一点ではないので、包含を定値へ縮められない。
部分空間から全空間へも移らない：$\mathbb{Q}$ の一点部分空間は局所可縮である。
和集合へも移らない：$A=\{0\}\times[0,1]$ と $B=([0,1]\times\{0\})\cup\bigcup_{n\ge1}(\{1/n\}\times[0,1])$ は局所可縮だが、$A\cup B=C$ はそうでない。
$A$ は区間であり、$B$ の原点以外では十分小さい近傍が区間または有限の星型になる。
$B$ の原点には、歯を下向きに縮めてから底辺を原点へ縮められる相対開長方形の近傍基底がある。
共通部分へも移らない：$E=\{0\}\cup\{1/n:n\ge1\}$、$d(x,E)=\inf_{e\in E}|x-e|$ とおき、$A=\{(x,y):y\ge0\}$、$B=\{(x,y):y\le-d(x,E)\}$ とする。
$A$ は閉半平面であり、$B$ も $(x,y)\mapsto(x,y+d(x,E))$ で閉半平面と同相なので局所可縮である。
一方 $A\cap B=E\times\{0\}$ は原点で局所可縮でなく、道が一点に限られることから分かる。
連続像へも移らない：3で用いた $A,B$ を外的直和にした $A\sqcup B$ から、その和集合 $C$ への包含を合わせた写像は連続全射である。
ここでは3の $A,B$ を用い、定義域は局所可縮だが値域は局所可縮でない。
逆像へも移らない：定値写像 $\mathbb{Q}\to\{*\}$ の全逆像は $\mathbb{Q}$ である。
これらの例の局所可縮な側は可縮近傍基底ももち、失敗する側は弱い流儀でも失敗する。

不変量と適用範囲

一点の不変量

可縮空間は単連結である。
これは単連結空間の命題「可縮ならば単連結」が証明付きで与え、特に弧状連結性も含む。
ホモトピー群のホモトピー不変性から、可縮な $X$ では任意の基点と $n\ge1$ に対して $\pi_n(X)=0$ となる。
整数係数の特異ホモロジーについては $\widetilde H_n(X;\mathbb{Z})=0$（$n\ge0$）だが、$H_0(X;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ である。
さらに $X$ が有限CW複体ならEuler標数は $\chi(X)=1$ である。
ホモトピー群の一般論はホモトピー群、ホモロジー不変性と Euler 標数は Hat02 定理2.10・2.44を用いており、ここではこれらの一般定理を証明しない。

弱可縮性との区別

非空で弧状連結かつすべての正次数のホモトピー群が自明な空間を弱可縮という。
可縮なら弱可縮であるが、一般の位相空間で逆を同一視してはいけない。
CW 複体に限れば、弱可縮性から可縮性が従うという Whitehead の定理が使える。
また、単連結な CW 複体の被約整数ホモロジーがすべて消えれば可縮である（Hat02 定理4.5・系4.33）。
CW 複体は可縮な開近傍基底をもち、したがって局所可縮である（同書命題A.4）。
これは CW 複体そのものの位相についての主張であり、CW 複体とホモトピー同値な任意の空間が局所可縮になるという意味ではない。
くし空間は一点とホモトピー同値だが局所可縮でないので、この違いを示す。

無限次元の球面

二つの無限次元球面

実 Hilbert空間 $\ell^2(\mathbb{N})$ の単位球面 $S_H$ にはノルム位相を入れる。
$S_H$ は可縮である。
もう一つ、有限支持実数列の単位球面 $S^\infty=\bigcup_{n\ge0}S^n$ に、標準の CW 位相を入れた空間も可縮である。
後者の位相を前者からの相対ノルム位相と取り違えてはならない。

二段階の収縮

座標を $x=(x_1,x_2,\ldots)$ と書き、$T(x)=(0,x_1,x_2,\ldots)$、$e_1=(1,0,\ldots)$ とする。
まず $F_t(x)=((1-t)x+tTx)/\|(1-t)x+tTx\|$ で恒等写像を $T$ へ動かす。
分母が零なら、$t<1$ の場合は第1座標から順に $x_1=x_2=\cdots=0$ となり、$t=1$ なら $Tx=0$ となるので、いずれも $\|x\|=1$ に反する。
次に $G_t(x)=((1-t)Tx+te_1)/\|(1-t)Tx+te_1\|$ で $T$ を定値写像へ動かす。
この分母の平方は $(1-t)^2+t^2>0$ である。
ノルム位相の場合、二つの式は連続演算の合成であり、$F_1=G_0$ なので時間を半分ずつにして貼り合わせると収縮になる。
CW 位相の $S^\infty$ では、各有限次元球面上の式は一つ上の有限次元球面内に入り連続である。
$S^\infty\times[0,1]$ の弱位相によりこれらが連続に貼り合うことを用いる（Hat02 例1B.3、付録の CW 空間と区間の積の議論）。
したがって後者も収縮となる。

$S^\infty$ は有限巡回群の分類空間の構成にも現れるが、そこでは作用と商の位相も指定する必要がある（Hat02 例1B.4）。
有限次元球面の非可縮性から、これらの無限次元の結論を推測することはできない。

単体的集合と∞圏における対応概念

単体的集合の弱可縮性は一点への射が弱ホモトピー同値であることで定まり、幾何学的実現の可縮性と同値である（KerC26a、KerC26b）。
空間の∞-圏で終対象と同値という主張も、弱ホモトピー型が一点と同じという主張である。
可縮な位相空間はこの条件を満たすが、一般位相空間についてその逆を可縮性の定義に戻してはいけない（KerC26c）。
単体的な定式化の続きは可縮空間(単体的集合) へ接続する。