可縮空間

概要

可縮空間（Contractible space）とは、位相幾何学（トポロジー）において、空間全体を連続的に「一点」に縮めることができる空間のことを指す。より厳密には、一点からなる空間とホモトピー同値な空間のことである。可縮な空間には「穴」や「空洞」が存在せず、ホモトピー群やホモロジー群などの不変量がすべて自明（0または点と同じ）になるという非常に単純な構造を持つが、局所的な形状（局所可縮性）に関しては複雑な振る舞いをすることもある。

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定義

位相空間 $X$ が可縮（Contractible）であるとは、以下の同値な条件のいずれかを満たすことをいう。

可縮性の定義
  1. ホモトピーによる定義:
    $X$ 上の恒等写像 $id_X: X \to X$ が、ある定値写像 $c_{x_0}: X \to \{x_0\} \subset X$ （$x \mapsto x_0$）とホモトピー同値である。すなわち、連続写像 $H: X \times [0, 1] \to X$ が存在して、以下を満たす。
    $$H(x, 0) = x, \quad H(x, 1) = x_0 \quad (\forall x \in X)$$
  2. ホモトピー同値性:
    $X$ は一点集合 $\{*\}$ とホモトピー同値である。

この写像 $H$ は、時刻 $t=0$ での「そのままの形」から、時刻 $t=1$ での「一点」へ、空間を引き裂くことなく連続的に変形させるプロセスを表している。

直感的理解と性質

可縮空間は、トポロジーの観点からは「点と同じ」とみなせる最も単純な空間である。

  • 穴がない:
    球面 $S^2$ や円周 $S^1$、トーラスのような「穴」や「空洞」がある空間は、その穴が邪魔をして一点に縮めることができないため、可縮ではない。
  • 不変量の自明性:
    可縮空間 $X$ の代数的位相不変量は、一点のそれと一致する。
    • 基本群: $\pi_1(X) = 0$ （単連結である）。
    • ホモトピー群: すべての $n \ge 1$ で $\pi_n(X) = 0$。
    • ホモロジー群: $\tilde{H}_n(X) = 0$ （簡約ホモロジー群がすべて消える）。
    • Euler標数: $\chi(X) = 1$。

具体例と反例

可縮な空間の例
  1. ユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$:
    空間全体を原点に向かって直線的に縮めることができる（$H(x, t) = (1-t)x$）。
  2. 凸集合:
    球体（内部を含む）や立方体など。任意の点に向かって直線的に縮小可能である。
  3. 星型領域 (Star-shaped domain):
    ある点 $x_0$ が存在し、$x_0$ と領域内の任意の点を結ぶ線分が領域内に含まれる図形。$x_0$ を中心に縮めることができる。
  4. くし空間:
    形状は複雑だが、全体を連続的に一点につぶせるため可縮である。
  5. 木 (Tree):
    閉路を持たない連結グラフは可縮である。
可縮ではない空間（反例）
  1. 円周 $S^1$:
    中心の穴があるため、線上に沿って一点に縮めようとしてもどこかで切断しなければならない。
  2. 球面 $S^n$:
    内部（中身）を含まない球面は可縮ではない。内部を含めば（球体 $D^{n+1}$）可縮となる。

局所可縮性との違い

「可縮」は大域的な性質であり、「局所可縮」は各点の近傍での微細な性質である。これらは必ずしも一致しない。

可縮 vs 局所可縮
  • 局所可縮 (Locally contractible):
    各点 $x$ が、いくらでも小さな可縮な近傍を持つこと。
  • 関係性:
    • 多様体やCW複体など、素性の良い空間では「可縮 $\iff$ 単連結かつホモロジーが消える」などの定理（Whiteheadの定理など）が成り立つ。
    • しかし一般には、可縮であっても局所可縮とは限らない。
    • 代表例: くし空間。全体は一点に縮められる（可縮）が、特定の点（$(0,1)$）の周りでは微細な振動（無限の歯）が解消できず、局所可縮ではない。

関連項目

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