Hecke指標とHecke L関数

$a\mapsto\lvert\chi(a)\rvert$ は $C_K$ から乗法群 $\mathbb{R}_{>0}$ への連続な準同型である。イデールとイデール類群 の記事の定理「1-イデール類群のコンパクト性」により $C_K^1$ はコンパクトなので、その像は $\mathbb{R}_{>0}$ のコンパクトな部分群であり、$\{1\}$ しかない（$x\ne1$ なら $x^k$ は $0$ か $\infty$ に近づく）。同記事の系「イデール類群の分解」により $C_K\cong C_K^1\times\mathbb{R}_{>0}$（$t$ は内容が $t$ のイデール $s(t)$ の類）なので、$\lvert\chi\rvert$ は $g(t):=\lvert\chi(s(t))\rvert$ で決まる。$g$ は $\mathbb{R}_{>0}$ の連続な自己準同型なので、$\log g(e^u)$ は $\mathbb{R}$ の連続な加法的関数、すなわち $\sigma u$ の形であり、$g(t)=t^\sigma$ である。よって $\lvert\chi(a)\rvert=\lvert a\rvert^\sigma$ である。$\lvert s(t)\rvert=t$ はすべての正の値をとるので $\sigma$ はただ 1 つである。$\square$

要点：$\mathbb{C}^\times$ の $1$ の近傍 $V=\{\lvert z-1\rvert<1\}$ は $\{1\}$ 以外の部分群を含まないので、$\chi^{-1}(V)$ に含まれる開部分群 $U^{\mathfrak{m}}$ の像は $\{1\}$ である。2・3 は $U^{\mathfrak{m}+\mathfrak{m}'}=U^{\mathfrak{m}}U^{\mathfrak{m}'}$ による。

1。$\alpha$ を $\mathfrak{m}$ と素とし、主イデール $\alpha$ を $a_1a_2a_3a_4$ と分ける：$a_1$ は $v_{\mathfrak{p}}(\alpha)\ne0$ となる有限個の $\mathfrak{p}\nmid\mathfrak{m}$ の成分、$a_2$ はそれ以外の $\mathfrak{p}\nmid\mathfrak{m}$ の成分（単数）、$a_3$ は $\mathfrak{p}\mid\mathfrak{m}$ の成分、$a_4$ は無限成分からなるイデールとする。$\mathfrak{p}\nmid\mathfrak{m}$ の単数は $U^{\mathfrak{m}}$ に属するので $\chi(a_2)=1$ で、$\alpha_{\mathfrak{p}}=\pi_{\mathfrak{p}}^{v_{\mathfrak{p}}(\alpha)}u$（$u$ は単数）から $\chi(a_1)=\prod\chi(c_{\mathfrak{p}})^{v_{\mathfrak{p}}(\alpha)}=\tilde\chi((\alpha))$ である。$\chi_{\mathfrak{p}}$ は $U_{\mathfrak{p}}^{(v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{m}))}$ の上で $1$ なので $\chi_f$ は定義され、$\chi(a_3)=\chi_f(\alpha)^{-1}$、$\chi(a_4)=\chi_\infty(\alpha)^{-1}$ である。$1=\chi(\alpha)=\tilde\chi((\alpha))\chi_f(\alpha)^{-1}\chi_\infty(\alpha)^{-1}$ から等式が従う。
2。$J^{\mathfrak{m}}$ を $\mathfrak{p}\mid\mathfrak{m}$ の成分が単数のイデールの群とする。$J^{\mathfrak{m}}$ は開部分群 $\prod_{v\mid\infty}K_v^\times\times\prod_{\mathfrak{p}}\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}^\times$ を含むので開である。$a\in J^{\mathfrak{m}}$ に対し $\iota^{\mathfrak{m}}(a):=\prod_{\mathfrak{p}\nmid\mathfrak{m}}\mathfrak{p}^{v_{\mathfrak{p}}(a_{\mathfrak{p}})}$、$a_{\mathfrak{m}}:=(a_{\mathfrak{p}})_{\mathfrak{p}\mid\mathfrak{m}}$ の $(\mathcal{O}_K/\mathfrak{m})^\times$ での類、$a_\infty$ を無限成分として $X(a):=\tilde\chi(\iota^{\mathfrak{m}}(a))\,\chi_f(a_{\mathfrak{m}})^{-1}\chi_\infty(a_\infty)^{-1}$ とおく。$X$ は準同型で、開部分群 $U^{\mathfrak{m}}K_\infty^\times$ の上では $\chi_\infty(a_\infty)^{-1}$ に等しいので連続である。$\mathfrak{m}$ と素な $\alpha\in K^\times$ は $J^{\mathfrak{m}}\cap K^\times$ の元で、等式から $X(\alpha)=1$ である。弱近似定理により各 $a\in J_K$ に $\alpha a\in J^{\mathfrak{m}}$ となる $\alpha\in K^\times$ があるので $J_K=K^\times J^{\mathfrak{m}}$ であり、$\chi(\alpha a'):=X(a')$（$\alpha\in K^\times$、$a'\in J^{\mathfrak{m}}$）はこの表し方によらず（2 通りの表し方の差は $J^{\mathfrak{m}}\cap K^\times$ に入る）、$K^\times$ で自明な準同型を定める。開部分群 $J^{\mathfrak{m}}$ の上で $X$ に等しいので連続である。$\chi(U^{\mathfrak{m}})=X(U^{\mathfrak{m}})=1$、$\chi(c_{\mathfrak{p}})=\tilde\chi(\mathfrak{p})$、$\chi_{\mathfrak{p}}(x)=\chi_f(x)^{-1}$（$\mathfrak{p}\mid\mathfrak{m}$、$x$ は単数）、$\chi|_{K_\infty^\times}=\chi_\infty^{-1}$ なので、$\chi$ は 1 の構成で $(\tilde\chi,\chi_f,\chi_\infty)$ を与える。$J^{\mathfrak{m}}$ は $c_{\mathfrak{p}}$（$\mathfrak{p}\nmid\mathfrak{m}$）、有限素点の単数、$K_\infty^\times$ で生成され、そこでの値はこの 3 つで決まるので、$\chi$ はただ 1 つである。
3。$\chi$ の値が $S^1$ に入れば $\tilde\chi$ と $\chi_\infty$ もそうである。逆に $\tilde\chi$ と $\chi_\infty$ の値が $S^1$ に入れば、$\chi_f$ の値は有限群の指標なので $1$ の冪根であり、$X$ の値は $S^1$ に入る。$J_K=K^\times J^{\mathfrak{m}}$ なので $\chi$ の値も $S^1$ に入る。$\square$

$\lvert\tilde\chi(\mathfrak{a})\rvert=1$ なので、$s=\sigma+it$ について各項の絶対値は $N\mathfrak{a}^{-\sigma}$ であり、Dedekindゼータ関数 の記事の定理「収束と Euler 積」により $\sum_{\mathfrak{a}}N\mathfrak{a}^{-\sigma}=\zeta_K(\sigma)$ は $\sigma>1$ で収束する。よって絶対収束し、$\sigma\ge1+\delta$ では $\zeta_K(1+\delta)$ の級数で押さえられるので一様に収束し、正則関数の一様極限として正則である。
$x>0$ について、$N\mathfrak{p}\le x$ の $\mathfrak{p}\nmid\mathfrak{f}$ にわたる有限積 $\prod(1-\tilde\chi(\mathfrak{p})N\mathfrak{p}^{-s})^{-1}$ の各因子を等比級数 $\sum_k\tilde\chi(\mathfrak{p})^kN\mathfrak{p}^{-ks}$ に展開して掛けると、素イデアル分解の一意性と $\tilde\chi$ の乗法性から、素因子がすべて $N\mathfrak{p}\le x$ を満たす $\mathfrak{f}$ と素なイデアル $\mathfrak{a}$ にわたる $\sum\tilde\chi(\mathfrak{a})N\mathfrak{a}^{-s}$ になる。これと $L(s,\chi)$ の差は $\sum_{N\mathfrak{a}>x}N\mathfrak{a}^{-\sigma}$ で押さえられ、$x\to\infty$ で $0$ に近づく。よって Euler 積が成り立つ。$\sum_{\mathfrak{p}}\lvert\tilde\chi(\mathfrak{p})N\mathfrak{p}^{-s}\rvert\le\zeta_K(\sigma)$ なので $\prod_{\mathfrak{p}}(1-\tilde\chi(\mathfrak{p})N\mathfrak{p}^{-s})$ も収束し、$L(s,\chi)$ との積は $1$ なので $L(s,\chi)\ne0$ である。$\square$

1。$\theta_{L/K}$ は連続で $K^\times$ で自明なので、$\chi_\rho$ は擬指標で、値は有限群 $\rho(\operatorname{Gal}(L/K))$（$1$ の冪根の群）に入る。後半は 射類体と導手 の記事の系「不分岐な素イデアルでの相互写像」である。
2。$\chi$ の像は $S^1$ の有限部分群なので、$1$ の小さい近傍と像の交わりは $\{1\}$ であり、$\ker\chi$ は $C_K$ の開部分群で、指数は有限である。存在定理(類体論) の記事の定理「存在定理」により、ノルム群が $\ker\chi$ に等しい有限次アーベル拡大 $L$ がただ 1 つあり、$\theta_{L/K}$ は同型 $C_K/\ker\chi\cong\operatorname{Gal}(L/K)$ を引き起こす。$\chi$ は $C_K/\ker\chi$ の単射な指標を引き起こすので、$\rho:=\chi\circ\theta_{L/K}^{-1}$ とすれば $\chi=\chi_\rho$ である。$\chi=\rho'\circ\theta_{L'/K}$（$\rho'$ は単射）なら、$\ker\chi$ は $L'$ のノルム群なので、類体の一意性から $L'=L$、$\rho'=\rho$ である。
3。$\theta_{L_\rho/K}(a)=\theta_{L/K}(a)|_{L_\rho}$（大域類体論 の記事の同命題の 3）なので、$\chi_\rho=\bar\rho\circ\theta_{L_\rho/K}$ で、$\bar\rho$ は $\operatorname{Gal}(L_\rho/K)$ の単射な指標である。$L_\rho$ で分岐しない $\mathfrak{p}$ では 1 により $\chi_\rho$ は不分岐なので、prop-hk-modulus の 3 により $\mathfrak{p}\not\supset\mathfrak{f}(\chi_\rho)$ である。$\mathfrak{m}:=\mathfrak{f}(L_\rho/K)$ は定義法なので、射類体と導手 の記事の補題「イデールによる定義法の判定」により $\theta_{L_\rho/K}(W_{\mathfrak{m}}^1)=1$ で、$U^{\mathfrak{m}_0}\subset W_{\mathfrak{m}}^1$ から $\chi_\rho(U^{\mathfrak{m}_0})=1$、すなわち $\mathfrak{m}_0\subset\mathfrak{f}(\chi_\rho)$ である。最後に $\mathfrak{p}\not\supset\mathfrak{f}(\chi_\rho)$ なら $\theta_{L_\rho/K}(\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}^\times)\subset\ker\bar\rho=1$ なので、下の素数が $[L_\rho:K]$ を割らなければ、同記事の定理「次数と素な素イデアルでの不分岐性」により $\mathfrak{p}$ は $L_\rho$ で分岐しない。$\square$

$\mathfrak{p}\notin S$ を固定し、$T:=N\mathfrak{p}^{-s}$、$\varphi:=\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}}$、$f$ を $\varphi$ の位数とする。Frobenius元 の記事の命題「Frobenius元の基本性質」の 1 により $\mathfrak{p}$ の上の素イデアルの剰余次数は $f$、個数は $g:=n/f$ で、$N\mathfrak{P}=N\mathfrak{p}^f$ なので、左辺の $\mathfrak{p}$ の上の因子は $(1-T^f)^{-g}$ である。右辺では thm-hk-galois の 1 により $\chi_\rho(c_{\mathfrak{p}})=\rho(\varphi)$ である。制限 $\widehat G\to\widehat{\langle\varphi\rangle}$ の核は $G/\langle\varphi\rangle$ の指標の群で位数 $g$ なので、像の位数は $n/g=f$ であり、制限は全射で各値を $g$ 回とる。$\langle\varphi\rangle$ の指標は $\varphi\mapsto\zeta$（$\zeta^f=1$）なので
$$ \prod_{\rho\in\widehat G}(1-\rho(\varphi)T)=\prod_{\zeta^f=1}(1-\zeta T)^g=(1-T^f)^g $$
である（有限アーベル群の指標の個数は位数に等しい）。$\operatorname{Re}s>1$ で両辺の Euler 積は絶対収束する（prop-hk-euler、Dedekindゼータ関数 の記事の定理「収束と Euler 積」）ので、$\mathfrak{p}$ ごとの等式を掛け合わせて主張が従う。$\square$