分離拡大

同義語：separable extension分離的拡大

概要

定義

本記事では環は単位元をもつ可換環とし、体の間の写像は環準同型とする。体の拡大 $L/K$ とは体 $L$ とその部分体 $K$ の組であり、$\alpha\in L$ が $K$ 上代数的であるとは $K$ 係数の $0$ でない多項式の根になることをいう。代数的な $\alpha$ には、それを根にもつモニックな既約多項式 $m_{\alpha,K}\in K[x]$（最小多項式）がただ一つ定まり、$g\in K[x]$ について $g(\alpha)=0$ と $m_{\alpha,K}\mid g$ は同値である（体の拡大の記事の命題「最小多項式の存在と一意性」）。すべての元が代数的な拡大を代数拡大という。

分離多項式

$K$ を体とする。$0$ でない多項式 $f\in K[x]$ が分離多項式（separable polynomial）であるとは、$f$ が $1$ 次式の積に分解するある拡大体 $L$ において、$f$ が重根をもたないこと、すなわち $f=c\prod_{i=1}^n(x-a_i)$（$c\in K^\times$、$n=\deg f$）と書いたとき $a_1,\dots,a_n\in L$ が相異なることをいう。

$f$ が $1$ 次式の積に分解する拡大体は存在する（根を 1 つずつ添加すればよい。体の拡大の記事の命題「根をもつ拡大体の構成」）。分離多項式であるかどうかは拡大体のとり方によらず、形式微分 $f'$（$f=\sum_ia_ix^i$ に対し $f'=\sum_iia_ix^{i-1}$）を用いて、$K[x]$ における $f$ と $f'$ の最大公約数が $1$ であることと同値である。さらにこのとき、$f$ は $K$ のどの拡大体の中でも重根をもたない（Galois拡大の記事の補題「分離性と微分」）。特に、分離多項式の $0$ でない約元も分離多項式である（約元の根は $f$ の根であり、約元が重根をもてば $f$ も重根をもつ）。

分離元と分離拡大

$L/K$ を体の拡大とする。

$\alpha\in L$ が $K$ 上分離的（separable）である、または $K$ 上の分離元であるとは、$\alpha$ が $K$ 上代数的で、最小多項式 $m_{\alpha,K}$ が分離多項式であることをいう。
代数拡大 $L/K$ が分離拡大（separable extension）であるとは、$L$ のすべての元が $K$ 上分離的であることをいう。分離拡大でない代数拡大を非分離拡大という。

この定義は Galois拡大の記事の定義「正規拡大と分離拡大」、完全体の記事の定義「分離的な多項式と拡大」と同じものである。Galois拡大は、正規拡大かつ分離拡大である代数拡大として定義される。

分離多項式のもう一つの流儀

文献によっては、多項式 $f$ の既約因子がそれぞれ重根をもたないとき $f$ を分離的とよぶ。この流儀では $(x-1)^2\in\mathbb{Q}[x]$ は分離的であるが、上の定義では分離多項式でない。既約多項式については 2 つの流儀は一致するので、既約多項式である最小多項式で定める分離元・分離拡大の概念は、どちらの流儀でも同じである。本記事は Galois拡大の記事と同じく、重根をもたないことを分離多項式の定義とする。

既約多項式の分離性は微分で判定できる。完全体の記事の命題「既約多項式が分離的であるための条件」により、既約多項式 $f\in K[x]$ について

$f$ が分離的であることと $f'\neq0$ であることは同値であり、
$K$ の標数が $0$ なら $f$ は常に分離的であり、
$K$ の標数が素数 $p$ なら、$f'=0$ であることと $f=g(x^p)$ となる $g\in K[x]$ が存在することは同値である。
したがって、分離的でない元は標数が素数 $p$ の体の上にしか現れず、その最小多項式は $x^p$ の多項式である。

直感

$\sqrt2$ の最小多項式 $x^2-2$ は相異なる 2 根 $\pm\sqrt2$ をもつ。標数 $0$ ではこのように、既約多項式の根はいつも互いに異なる。重根をもつには $f$ と $f'$ が共通の根をもつ必要があるが、既約な $f$ は次数の低い $f'$ と共通因子をもてないので、$f'=0$ でなければならない。標数 $0$ では定数でない多項式の微分は $0$ にならないので、これは起こらない。
標数 $p$ では事情が変わる。$(x^p)'=px^{p-1}=0$ なので、$x^p-t$ のような多項式は微分が $0$ になり、$t$ の $p$ 乗根 $u$ を添加すると $x^p-t=(x-u)^p$ と 1 つの根に潰れてしまう。分離拡大とは、このような潰れが起こらない拡大である。分離的な元 $\alpha$ は、最小多項式の次数と同じ数だけの「共役」をもつので、埋め込みを数えることで拡大次数を測ることができる。この数え上げが Galois理論の基礎であり、原始元定理（有限次分離拡大は 1 つの元で生成される）もここから導かれる。

例と反例

平方根の添加

$\mathbb{Q}(\sqrt2)/\mathbb{Q}$ では、$\sqrt2$ の最小多項式 $x^2-2$ は $\mathbb{R}$ で相異なる 2 根 $\sqrt2,-\sqrt2$ をもつので $\sqrt2$ は分離的である。$\mathbb{Q}(\sqrt2)$ のほかの元 $a+b\sqrt2$（$b\neq0$）の最小多項式は $(x-a)^2-2b^2$ で、根 $a\pm b\sqrt2$ は相異なる。$a\in\mathbb{Q}$ の最小多項式は $x-a$ である。よって $\mathbb{Q}(\sqrt2)/\mathbb{Q}$ は分離拡大である。標数 $0$ ではこれは一般に成り立つ（後の prop-separable-extension-perfect）。

有限体の拡大

有限体 $\mathbb{F}_{p^n}$ の元はすべて $x^{p^n}-x$ の根である（有限体の記事の系「有限体における $x^q=x$」）。この多項式の微分は $p^nx^{p^n-1}-1=-1$ なので、$x^{p^n}-x$ とその微分の最大公約数は $1$ であり、$x^{p^n}-x$ は分離多項式である。各元の最小多項式はその約元なので分離的であり、$\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p$ は分離拡大である。

反例：分離的だが正規でない拡大

$\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)/\mathbb{Q}$ は標数 $0$ の拡大なので分離拡大である（$x^3-2$ の根 $\sqrt[3]2,\ \omega\sqrt[3]2,\ \omega^2\sqrt[3]2$、$\omega=e^{2\pi i/3}$ は相異なる）。しかし $\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)\subset\mathbb{R}$ は $x^3-2$ の実数でない 2 根を含まないので、正規拡大でない（体の拡大の記事の例「有理数体に 2 の立方根を添加した体」）。この例は「分離拡大」を満たすが「正規拡大」を満たさず、含意「分離拡大ならば Galois 拡大」を破る。Galois 拡大であるには分離性と正規性の両方が必要である。

反例：p 乗根の添加は分離的でない

$p$ を素数、$K=\mathbb{F}_p(t)$ を有理関数体とする。$t$ は $K$ に $p$ 乗根をもたず、$x^p-t\in K[x]$ は既約である（完全体の記事の例「反例：有理関数体と $x^p-t$」）。$u$ を $x^p-t$ の根とし、$L=K(u)=\mathbb{F}_p(t^{1/p})$ とおくと、$[L:K]=p$ で、$L[x]$ において
$$ x^p-t=x^p-u^p=(x-u)^p $$
である。よって $m_{u,K}=x^p-t$ は根 $u$ を $p$ 重にもち、$u$ は $K$ 上分離的でない。$L/K$ は非分離拡大である。$m_{u,K}'=px^{p-1}=0$ であり、既約多項式の分離性の微分による判定とも合っている。
この例は「有限次の代数拡大」を満たすが「分離拡大」を満たさず、含意「代数拡大はすべて分離的」を破る。一方 $L/K$ は正規拡大であり、含意「正規拡大ならば Galois 拡大」も破る（Galois拡大の記事の例「反例：分離でない拡大 $\mathbb{F}_p(t)(t^{1/p})/\mathbb{F}_p(t)$」）。このような拡大が存在するのは、基礎体が完全体でないためである。

性質

標数 0 の体と有限体

標数が 0 の体と有限体の上の代数拡大

$L/K$ を代数拡大とする。$K$ の標数が $0$ であるか、$K$ が有限体であれば、$L/K$ は分離拡大である。

$\alpha\in L$ をとり、$m=m_{\alpha,K}$ とする。
標数 $0$ の場合：$m$ は既約なので、完全体の記事の命題「既約多項式が分離的であるための条件」の 2 により分離的である。
$K$ が有限体の場合：$K$ の元の個数を $q$ とする。$K(\alpha)/K$ は $\alpha$ が代数的なので有限次拡大であり（体の拡大の記事の定理「単純拡大の構造」）、$n=[K(\alpha):K]$ とすると $K(\alpha)$ は $q^n$ 個の元からなる有限体である（体の拡大の記事の例「有限体の拡大」）。有限体の記事の系「有限体における $x^q=x$」を $K(\alpha)$ に適用すると $\alpha^{q^n}=\alpha$ であり、$\alpha$ は $h=x^{q^n}-x\in K[x]$ の根である。$q^n$ は $K$ の標数 $p$ の倍数なので $h'=q^nx^{q^n-1}-1=-1$ であり、$h$ と $h'$ の最大公約数は $1$、すなわち $h$ は分離多項式である。$m\mid h$ なので $m$ も分離多項式である（定義の直後の注意）。
いずれの場合も $\alpha$ は分離的であり、$L/K$ は分離拡大である。$\square$

より一般に、$K$ の代数拡大がすべて分離的であることと、$K$ が完全体（標数 $0$、または標数 $p$ で $K=\{a^p\mid a\in K\}$）であることは同値である（完全体の記事の定理「完全体の特徴づけ」）。有限体と標数 $0$ の体はその代表例であり、代数閉体も完全体である。

標数 p での判定

分離元の判定

$K$ を標数が素数 $p$ の体、$L/K$ を拡大、$\alpha\in L$ を $K$ 上代数的な元とする。次は同値である。

$\alpha$ は $K$ 上分離的である。
$K(\alpha)=K(\alpha^p)$ である。

1 ⇒ 2：$M:=K(\alpha^p)$ とおく。$\alpha$ は $x^p-\alpha^p\in M[x]$ の根であり、$L[x]$ において $x^p-\alpha^p=(x-\alpha)^p$ である（標数 $p$ の可換環では $p$ 乗が和を保つ。標数の記事の命題「標数 $p$ の可換環の Frobenius 準同型」）。よって $\alpha$ の $M$ 上の最小多項式 $m_{\alpha,M}$ は $L[x]$ で $(x-\alpha)^p$ を割り切り、$L[x]$ は一意分解整域で $x-\alpha$ は既約なので、$m_{\alpha,M}=(x-\alpha)^k$（$1\le k\le p$）である。一方 $m_{\alpha,K}\in K[x]\subset M[x]$ は $\alpha$ を根にもつので $m_{\alpha,M}\mid m_{\alpha,K}$ であり、1 により $m_{\alpha,K}$ は分離多項式だから、その約元 $m_{\alpha,M}$ も分離多項式である。$(x-\alpha)^k$ が重根をもたないので $k=1$、すなわち $x-\alpha\in M[x]$ であり、$\alpha\in M$ である。よって $K(\alpha)\subset M\subset K(\alpha)$、すなわち $K(\alpha)=K(\alpha^p)$ である。
2 ⇒ 1：対偶を示す。$\alpha$ が分離的でないとし、$m=m_{\alpha,K}$、$d=\deg m$ とする。完全体の記事の命題「既約多項式が分離的であるための条件」の 1 と 3 により、$m'=0$ であり、$m=g(x^p)$ となる $g\in K[x]$ がある。$d=p\deg g$ である。$g(\alpha^p)=m(\alpha)=0$ なので $\alpha^p$ は $g$ の根であり、
$$ [K(\alpha^p):K]\le\deg g=\frac dp< d=[K(\alpha):K] $$
である（体の拡大の記事の定理「単純拡大の構造」）。よって $K(\alpha^p)\neq K(\alpha)$ である。$\square$

ex-separable-extension-inseparable では $u^p=t\in K$ なので $K(u^p)=K\neq K(u)$ であり、この判定のとおり $u$ は分離的でない。

埋め込みの個数

分離性は、拡大体を大きな体へ埋め込む方法の数で言い換えられる。$\Omega$ を $K$ を含む代数閉体とする（$K$ の代数閉包をとればよい。代数閉体の記事の定理「代数閉包の存在と一意性」）。$K$ の元を動かさない体の準同型を $K$ 上の埋め込みという。

単純拡大の埋め込みの個数

$\alpha$ を $K$ 上代数的な元とし、$d=[K(\alpha):K]=\deg m_{\alpha,K}$ とする。$K$ 上の埋め込み $K(\alpha)\to\Omega$ の個数は、$m_{\alpha,K}$ の $\Omega$ における相異なる根の個数に等しい。特にその個数は $d$ 以下であり、$d$ に等しいことと $\alpha$ が $K$ 上分離的であることは同値である。

Galois拡大の記事の補題「単純拡大への同型の延長」を、$\sigma=\mathrm{id}_K$、$K'=K$、$M=\Omega$、$p=m_{\alpha,K}$ に適用すると、$K$ 上の埋め込み $K(\alpha)\to\Omega$ の個数は $m_{\alpha,K}$ の $\Omega$ における相異なる根の個数に等しい。$\Omega$ は代数閉体なので $m_{\alpha,K}=\prod_{i=1}^r(x-\beta_i)^{k_i}$（$\beta_i\in\Omega$ は相異なり、$k_i\ge1$、$\sum_ik_i=d$）と $1$ 次式の積に分解する。相異なる根の個数 $r$ は $d$ 以下であり、$r=d$ となるのはすべての $k_i$ が $1$ のとき、すなわち $m_{\alpha,K}$ が $\Omega$ で重根をもたないときに限る。$\Omega$ は $m_{\alpha,K}$ が $1$ 次式の積に分解する拡大体なので、これは $m_{\alpha,K}$ が分離多項式であること、すなわち $\alpha$ が分離的であることと同値である。$\square$

有限次拡大 $L/K$ について、$K$ 上の埋め込み $L\to\Omega$ の個数を分離次数といい $[L:K]_s$ と書く。prop-separable-extension-embeddings は単純拡大の場合に $[K(\alpha):K]_s\le[K(\alpha):K]$ と等号の条件を与えている。一般に分離次数は塔について乗法的（$[L:K]_s=[L:M]_s[M:K]_s$）であり、$[L:K]_s\le[L:K]$ で、等号は $L/K$ が分離拡大のときに限る（Lan02 Chapter V §4。拡大次数の記事の注意「次数と Galois 群・分離次数・超越次数」も参照）。

中間体と推移性

中間体への遺伝

$K\subset M\subset L$ を体の拡大の列とし、$L/K$ を分離拡大とする。このとき $M/K$ と $L/M$ はともに分離拡大である。

$M/K$：$M$ の元は $L$ の元なので $K$ 上分離的であり、$M/K$ は代数拡大かつ分離拡大である。
$L/M$：$\alpha\in L$ をとる。$m_{\alpha,K}\in K[x]\subset M[x]$ は $\alpha$ を根にもつ $0$ でない多項式なので、$\alpha$ は $M$ 上代数的であり、$m_{\alpha,M}\mid m_{\alpha,K}$ である。$m_{\alpha,K}$ は分離多項式なので、その約元 $m_{\alpha,M}$ も分離多項式である。よって $\alpha$ は $M$ 上分離的であり、$L/M$ は分離拡大である。$\square$

逆向き、すなわち推移性も成り立つが、証明には分離次数の乗法性が要る。

分離拡大の推移性

$K\subset M\subset L$ を体の拡大の列とする。$M/K$ と $L/M$ がともに分離拡大ならば、$L/K$ も分離拡大である。また、任意の拡大 $L/K$ において、$K$ 上分離的な $L$ の元の全体 $L_s$ は $K$ を含む $L$ の部分体である。

推移性の出典と証明の筋

証明は Lan02 Chapter V §4 に譲る。筋は次のとおりである。$\alpha\in L$ をとり、$\alpha$ の $M$ 上の最小多項式の係数 $b_0,\dots,b_{n-1}$ を $K$ に添加した体を $K'$ とする。$K_0:=K$、$K_i:=K(b_0,\dots,b_{i-1})$ とおくと、各 $b_{i}$ は $K$ 上分離的なので（prop-separable-extension-intermediate と同じ議論で）$K_i$ 上分離的であり、prop-separable-extension-embeddings により $[K_{i+1}:K_i]_s=[K_{i+1}:K_i]$ である。また $\alpha$ の $K'$ 上の最小多項式は $M$ 上の最小多項式に等しく分離的なので、$[K'(\alpha):K']_s=[K'(\alpha):K']$ である。分離次数と拡大次数の乗法性により $[K'(\alpha):K]_s=[K'(\alpha):K]$ となり、等号の条件から $K'(\alpha)/K$ は分離拡大、特に $\alpha$ は $K$ 上分離的である。後半の主張は、$\alpha,\beta\in L_s$ なら $K(\alpha,\beta)/K$ が同じ議論で分離拡大になることから従う。$L_s$ を $L$ における $K$ の分離閉包といい、$L=\Omega$ が代数閉体のときの $\Omega_s$ を $K$ の分離閉包 $K^{\mathrm{sep}}$ という。

原始元定理

1 つの元 $\theta$ で $L=K(\theta)$ と生成される拡大を単純拡大といい、$\theta$ を原始元という（体の拡大の記事の定義「元の添加と単純拡大」）。

原始元定理

$L/K$ が有限次分離拡大ならば、$L=K(\theta)$ となる $\theta\in L$ が存在する。
より一般に、有限次拡大 $L/K$ が単純拡大であることと、$L/K$ の中間体（$K\subset M\subset L$ を満たす部分体 $M$）が有限個しかないことは同値である。

原始元定理の出典と証明の筋

証明は Lan02 Chapter V §4、DF04 §14.4 に譲る。1 の証明の筋は次のとおりである。$K$ が有限体なら $L$ も有限体で、その乗法群 $L^\times$ は巡回群なので（有限体の記事の定理「有限体の乗法群の構造」）、生成元 $\theta$ について $L=K(\theta)$ である。$K$ が無限体なら、$L=K(\alpha,\beta)$ の場合に帰着し、$c\in K$ を「$\beta$ の共役 $\beta'\neq\beta$ と $\alpha$ の共役 $\alpha'$ について $\alpha+c\beta\neq\alpha'+c\beta'$」を満たすように選ぶ（除外すべき $c$ は有限個）。すると $\beta$ は $K(\alpha+c\beta)$ 上の 2 つの多項式の共通根としてただ 1 つに決まり、$\beta\in K(\alpha+c\beta)$ が従う。ここで $\beta$ の共役が重複しないこと、すなわち $\beta$ の分離性を使う。

たとえば $\theta=\sqrt2+\sqrt3$ とおくと $\theta^3=11\sqrt2+9\sqrt3$ なので $\theta^3-9\theta=2\sqrt2$ であり、$\sqrt2=(\theta^3-9\theta)/2\in\mathbb{Q}(\theta)$、$\sqrt3=\theta-\sqrt2\in\mathbb{Q}(\theta)$ である。したがって $\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)=\mathbb{Q}(\sqrt2+\sqrt3)$ であり、$\sqrt2+\sqrt3$ は原始元である。
分離性の仮定は外せない。

反例：原始元をもたない有限次拡大

$p$ を素数、$L=\mathbb{F}_p(s,t)$ を 2 変数の有理関数体、$K=\mathbb{F}_p(s^p,t^p)$ を $s^p,t^p$ で生成される $L$ の部分体とする。$[L:K]=p^2$ であるが、$L/K$ は単純拡大でない。
次数：$L=\mathbb{F}_p(t)(s)$ は $\mathbb{F}_p(t)$ 上の 1 変数有理関数体である（有理関数体の記事の命題「変数を 1 つずつ添加する表示」）。拡大次数の記事の命題「有理関数体の冪による部分体上の次数」を基礎体 $\mathbb{F}_p(t)$、$n=p$ に用いると $[L:\mathbb{F}_p(s^p,t)]=p$ である。次に $F:=\mathbb{F}_p(s^p)$ とおく。$t$ は $F$ 上超越的である（$F\subset\mathbb{F}_p(s)$ であり、$t$ は $\mathbb{F}_p(s)$ 上超越的だから）ので、$\mathbb{F}_p(s^p,t)=F(t)$ は $F$ 上の 1 変数有理関数体と同型であり、同じ命題により $[F(t):F(t^p)]=p$、すなわち $[\mathbb{F}_p(s^p,t):K]=p$ である。次数の乗法性（体の拡大の記事の定理「拡大次数の乗法性」）により $[L:K]=p^2$ である。
単純でないこと：$\alpha\in L$ を $\alpha=f(s,t)/g(s,t)$（$f,g\in\mathbb{F}_p[s,t]$）と書く。$L$ で $p$ 乗は環準同型であり、$\mathbb{F}_p$ の元 $c$ は $c^p=c$ を満たすので、$\alpha^p=f(s^p,t^p)/g(s^p,t^p)\in K$ である。よって $\alpha$ は $x^p-\alpha^p\in K[x]$ の根であり、$[K(\alpha):K]\le p< p^2$ となって $K(\alpha)\neq L$ である。
この拡大は「有限次拡大」を満たすが「分離拡大」を満たさず（$K(s)=\mathbb{F}_p(t^p)(s)$ に同じ命題を用いると $[K(s):K]=p$ なので、$s$ の最小多項式は $x^p-s^p=(x-s)^p$ であり、重根をもつ）、原始元定理の結論「単純拡大である」も満たさない。分離性を仮定しない場合に定理の 1 が成り立たないことを示している。定理の 2 により、この拡大は無限個の中間体をもつ。