最大値原理(複素解析)

$|f|$ が $a\in G$ で極大値をとり、$D(a,r)\subset G$ の上で $|f(z)|\le|f(a)|=:M$ とする。
1．$M=0$ の場合。 $f$ は $D(a,r)$ の上で $0$ である。$D(a,r)$ の点はどれも $D(a,r)$ の中の点列の極限なので、一致の定理 の定理「平面の領域上の一致の定理」（$g=0$ と比べる）から $f$ は $G$ の上で $0$ である。
2．$M>0$ の場合。 $f(a)=Me^{i\alpha}$ と書き、$g(z):=e^{-i\alpha}f(z)$ とおく。$g$ は正則で、$g(a)=M$、$D(a,r)$ の上で $|g|\le M$ である。$0<\rho< r$ を固定すると、平均値の性質の実部をとって
$$ \int_0^{2\pi}\Bigl(M-\operatorname{Re}g(a+\rho e^{i\theta})\Bigr)\,d\theta=2\pi M-2\pi\operatorname{Re}g(a)=0 $$
である。被積分関数は $\theta$ について連続で、$\operatorname{Re}g\le|g|\le M$ から $0$ 以上である。$0$ 以上の連続関数の積分が $0$ なら関数は恒等的に $0$ なので、円周 $|z-a|=\rho$ の上で $\operatorname{Re}g(z)=M$ である。$|g(z)|\le M$ と合わせると $\operatorname{Im}g(z)=0$ であり、$g(z)=M$、すなわち $f(z)=f(a)$ である。$\rho\in(0,r)$ は任意なので、$f$ は $D(a,r)$ の上で定数 $f(a)$ である。1 と同じく 一致の定理 を $f$ と定数関数 $f(a)$ に当てて、$f$ は $G$ の上で定数である。$\square$

$\overline G$ は有界閉集合なのでコンパクトであり、$|f|$ はある点 $z_0\in\overline G$ で最大値をとる（コンパクト空間 の定理「最大値・最小値の存在」）。$\partial G$ も有界閉集合でコンパクトなので右辺の最大値も存在し、左辺以下である。$z_0\in\partial G$ なら等号である。
$z_0\in G$ とする。$z_0$ を含む $G$ の連結成分を $C$ とする。$z\in C$ について $D(z,r)\subset G$ となる円板は連結で $C$ と交わるので $C$ に含まれ、$C$ は開集合、すなわち領域である。$|f|$ は $C$ の点 $z_0$ で（$G$ 全体での最大値なので）極大値をとるので、thm-mmp-main により $f$ は $C$ の上で定数 $f(z_0)$ であり、連続性から $\overline C$ の上でも $f(z_0)$ である。$C$ は空でない有界な開集合で $\mathbb{C}$ と異なるので閉集合ではなく（$\mathbb{C}$ は連結）、$\overline C\setminus C$ に点 $w$ がある。$w\in G$ なら $w$ を含む連結成分は開集合で $C$ と交わり、$C$ と一致して $w\in C$ となるので、$w\notin G$ であり、$w\in\overline G\setminus G=\partial G$ である。$|f(w)|=|f(z_0)|$ なので等号が成り立つ。$\square$

ある $z_1\in G$ で $|f(z_1)|>M$ と仮定し、$M+\varepsilon<|f(z_1)|$ となる $\varepsilon>0$ をとる。$K:=\{z\in G\mid|f(z)|\ge M+\varepsilon\}$ とおく。
1．$K$ はコンパクトである。 $G$ が有界でないときは、無限遠での仮定から十分大きい $R$ について $|z|>R$ の点は $K$ に属さないので、いずれの場合も $K$ は有界である。$K$ の点列 $z_n$ が $w\in\mathbb{C}$ に収束するとする。$w\in\overline G$ である。$w\in\partial G$ なら、$\limsup_{z\to w}|f(z)|\ge M+\varepsilon$ となり仮定に反する。よって $w\in G$ であり、$|f|$ の連続性から $|f(w)|\ge M+\varepsilon$、$w\in K$ である。$K$ は有界閉集合なのでコンパクトである。
2．矛盾。 $z_1\in K$ なので $K$ は空でなく、$|f|$ は $K$ のある点 $z^*$ で $K$ の上の最大値をとる。$K$ の外では $|f|< M+\varepsilon\le|f(z^*)|$ なので、$|f(z^*)|$ は $G$ 全体での最大値であり、$|f|$ は $z^*$ で極大値をとる。thm-mmp-main により $f$ は定数で、$|f|=|f(z^*)|\ge M+\varepsilon$ が $G$ の上で成り立つ。$G\ne\mathbb{C}$ は連結なので閉集合ではなく、$\partial G$ に点 $w$ があり、そこで $\limsup_{z\to w}|f(z)|=|f(z^*)|>M$ となって仮定に反する。$\square$

$f(a)\ne0$ と仮定する。$f$ の連続性から、$f$ が $0$ にならず、しかも $|f(z)|\ge|f(a)|$ となる円板 $D(a,r)\subset G$ がとれる。$1/f$ は $D(a,r)$ の上で正則で、$|1/f|$ は $a$ で極大値をとるので、thm-mmp-main を領域 $D(a,r)$ に当てて $1/f$、したがって $f$ は $D(a,r)$ の上で定数である。一致の定理 により $f$ は $G$ の上で定数となり、仮定に反する。$\square$

$e^f$ は正則で $|e^f|=e^{\operatorname{Re}f}$ である。$\operatorname{Re}f$ が $a$ で極大値をとれば $|e^f|$ も $a$ で極大値をとるので、thm-mmp-main により $e^f$ は定数であり、$(e^f)'=f'e^f=0$ から $f'=0$ が $G$ の上で成り立つ。すると $f-f(a)$ は $a$ ですべての階数の導関数が $0$ なので、一致の定理 の定理「平面の領域上の一致の定理」の 3 から $f=f(a)$ である。極小値の場合は $-f$ に当てればよい。$\square$

代数学の基本定理 の補題「無限遠での増大」により、$|z|\to\infty$ で $|p(z)|\to\infty$ なので、$|z|\ge R$ なら $|p(z)|>|p(0)|$ となる $R>0$ がある。$|p|$ はコンパクトな $\overline{D}(0,R)$ のある点 $z_0$ で最小値をとり、$|p(z_0)|\le|p(0)|$ なので $|z_0|< R$ である。$|z|\ge R$ でも $|p(z)|>|p(0)|\ge|p(z_0)|$ なので、$|p(z_0)|$ は $\mathbb{C}$ 全体での最小値であり、$|p|$ は $z_0$ で極小値をとる。$p$ は定数でないので、cor-mmp-minimum により $p(z_0)=0$ である。$\square$

$S$ の上で $|f|\le B$ とする。$\varepsilon>0$ について $g_\varepsilon(z):=f(z)e^{-\varepsilon z^2}$ とおく。$z=x+iy$ なら $\operatorname{Re}z^2=x^2-y^2$ なので、$\overline S$ の上で
$$ |e^{-\varepsilon z^2}|=e^{-\varepsilon x^2}e^{\varepsilon y^2}\le e^{\varepsilon\pi^2/4}e^{-\varepsilon x^2} $$
である。よって境界の上では $|g_\varepsilon|\le Me^{\varepsilon\pi^2/4}$ であり、$S$ の中で $|z|\to\infty$ なら $|x|\to\infty$ なので $|g_\varepsilon(z)|\le Be^{\varepsilon\pi^2/4}e^{-\varepsilon x^2}\to0$ である。$g_\varepsilon$ は $\overline S$ の上で連続なので、境界の点 $w$ での上極限は $|g_\varepsilon(w)|$ である。$S$ は凸なので領域であり、thm-mmp-limsup を $M_\varepsilon:=Me^{\varepsilon\pi^2/4}$ で当てて、$S$ の上で $|g_\varepsilon|\le M_\varepsilon$、すなわち
$$ |f(z)|\le Me^{\varepsilon\pi^2/4}e^{\varepsilon(x^2-y^2)} $$
である。$z$ を固定して $\varepsilon\to0$ とすれば $|f(z)|\le M$ である。$\square$