Skolem–Noetherの定理

$A=M_n(k)$ は $k$ 上の中心単純環である（中心単純環 の記事の命題「行列代数は中心単純」）。cor-sn-inner により、$M_n(k)$ の $k$ 代数としての自己同型はすべて $X\mapsto PXP^{-1}$（$P\in\mathrm{GL}_n(k)$）の形であり、
$$ \operatorname{Aut}_k(M_n(k))\cong\mathrm{GL}_n(k)/k^\times=\mathrm{PGL}_n(k) $$
である。たとえば $n\ge2$ のとき、転置 $X\mapsto{}^tX$ は積の順序を逆にするので自己同型ではなく、内部自己同型の形に書けないこととも矛盾しない。

$k=\mathbb Q$、$A=M_2(\mathbb Q)$ とし、
$$ X=\begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} $$
とおく。$X^2=Y^2=2I$ で、$X,Y$ はスカラー行列でないので、どちらの最小多項式も $\mathbb Q$ 上既約な $x^2-2$ である。cor-sn-element により $Y=PXP^{-1}$ となる $P\in\mathrm{GL}_2(\mathbb Q)$ がある。実際、$P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ とおくと
$$ PX=\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix}=YP $$
である。行列の場合は、同じ既約な特性多項式をもつ行列が相似であることを有理標準形から直接示すこともできる。

Hamilton の四元数 $\mathbb H$ は $\mathbb R$ 上の中心単純環（次数 $2$ の中心斜体）である（中心単純環 の記事の例「四元数代数が斜体になる条件」）。$q\in\mathbb H$ について $q^2=-1$ となるのは、$q$ が純四元数 $bi+cj+dk$ で $b^2+c^2+d^2=1$ のときに限る（四元数 の記事の定理「$x^2=-1$ の解と極表示」）。これらはどれも $\mathbb R$ 上既約な最小多項式 $x^2+1$ をもつので、cor-sn-element により互いに共役である。たとえば $i$ と $j$ は、$u=1+k$ について $uiu^{-1}=j$ を満たす。実際、$ki=j$、$ik=-j$ から
$$ ui=i+ki=i+j,\qquad ju=j+jk=j+i $$
であり、$ui=ju$ である。$\mathbb R[i]\cong\mathbb C$ の像は $u$ で $\mathbb R[j]$ に移る。また cor-sn-inner により $\operatorname{Aut}_{\mathbb R}(\mathbb H)\cong\mathbb H^\times/\mathbb R^\times$ であり、これは純四元数の空間 $\mathbb R^3$ の回転の群 $\mathrm{SO}(3)$ と同型である（SO(3)とSU(2)）。

$D$ を有限な斜体とし、その中心を $F$ とする。$F$ は有限体で、$D$ は $F$ 上の中心単純環である（斜体なので両側イデアルは自明）。$\dim_FD=n^2$ とする。ここでは 中心単純環 の記事の定理「中心化環の次元」（引用。部分体 $L\subset D$ の中心化環 $C_D(L)=\{x\in D\mid \text{すべての }\ell\in L\text{ について }x\ell=\ell x\}$ について $[L:F]\cdot\dim_FC_D(L)=n^2$）を使う。
$a\in D$ を含む極大な部分体 $L$ をとる（$F[a]$ は有限な整域なので体であり、それを含む部分体のうち次元最大のものをとる）。$x\in C_D(L)\setminus L$ があれば $L[x]$ は $L$ より大きい可換な有限の部分環、したがって部分体になるので、$C_D(L)=L$ である。中心化環の次元の式から $[L:F]^2=n^2$、$[L:F]=n$ である。
$\lvert F\rvert=q$ とすると、このような $L$ はどれも位数 $q^n$ の体で、$x^{q^n}-x$ の $F$ 上の分解体なので互いに $F$ 代数として同型である。1 つの極大部分体 $L_0$ を固定すると、cor-sn-extend により各 $L$ は $uL_0u^{-1}$（$u\in D^\times$）と書ける。こうして $D^\times=\bigcup_{u\in D^\times}uL_0^\times u^{-1}$ となる。
ところが有限群 $G$ は、真部分群 $H$ の共役の和集合にはならない。実際、$[G:H]=m\ge2$ なら $H$ の共役は高々 $m$ 個で、どれも単位元を共有するので、和集合の元の個数は高々 $m(\lvert H\rvert-1)+1=\lvert G\rvert-m+1< \lvert G\rvert$ である。よって $L_0^\times=D^\times$ で $D=L_0$ は可換である。これは Wedderburnの小定理 の 1 つの証明である。

どの行も、外した条件以外の仮定（$A$ は有限次元で単純、など）を満たしている。$e_{11}$ は $(1,1)$ 成分だけが $1$ の行列である。
1 行目：$A=M_3(k)$ は中心単純環、$f,g$ は $1=(1,1)$ を単位行列に移す準同型である。$B=k\times k$ は両側イデアル $k\times0$ をもつので単純でない。共役は行列の階数を変えないが、$f(1,0)=\mathrm{diag}(1,0,0)$ の階数は $1$、$g(1,0)=\mathrm{diag}(1,1,0)$ の階数は $2$ なので、$f$ と $g$ は共役でない。元で言えば、$\mathrm{diag}(1,0,0)$ と $\mathrm{diag}(1,1,0)$ は同じ最小多項式 $x(x-1)$ をもつが共役でなく、cor-sn-element で最小多項式の既約性が外せないことも分かる。
2 行目：$\mathbb C$ は $\mathbb R$ 上有限次元の単純代数（体）だが、中心は $\mathbb C\ne\mathbb R$ である。$\mathbb C$ は可換なので $c_u=\mathrm{id}$ がすべての $u\in\mathbb C^\times$ で成り立ち、恒等写像と複素共役は共役でない。thm-sn-main の証明では、$B\otimes_{\mathbb R}A^{\mathrm{op}}=\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb C\cong\mathbb C\times\mathbb C$ が単純でないので、2 つの加群が次元だけでは同型にならない。
3 行目：$g$ は $k$ 線形で積を保つ（$e_{11}^2=e_{11}$）が、$g(1)=e_{11}\ne I$ である。共役は単位行列を単位行列に移すので、$u\,f(1)\,u^{-1}=I\ne e_{11}=g(1)$ であり、$f$ と $g$ は共役でない。