アフィン直線との積の因子類群

同義語：divisor class group of a product with the affine line

概要

前提知識: Weil因子, 因子類群, 離散付値環, 一意分解整域, 多項式環

アフィン直線との積の因子類群とは、余次元 $1$ で正則な Noether 整分離スキーム $X$ について、アフィン直線との積 $X\times\mathbb{A}^1$ も同じ条件をみたし、素因子の引き戻し $Y\mapsto Y\times\mathbb{A}^1$ が因子類群の同型 $\operatorname{Cl}X\cong\operatorname{Cl}(X\times\mathbb{A}^1)$ を与えるという定理である（Har77 II Proposition 6.6）。因子類群は「アフィン直線を掛けても変わらない」。
証明の要点は、$X\times\mathbb{A}^1$ の素因子が、$X$ の素因子の引き戻し（垂直型）と、生成ファイバー $\mathbb{A}^1_K$（$K$ は $X$ の関数体）の閉点の閉包（水平型）の 2 種類に分かれ、水平型が単項イデアル整域 $K[t]$ の既約多項式の因子として垂直型を除いて主因子になることである。繰り返せば $\operatorname{Cl}(X\times\mathbb{A}^n)\cong\operatorname{Cl}X$、射影空間との積では $\operatorname{Cl}(X\times\mathbb{P}^n)\cong\operatorname{Cl}X\oplus\mathbb{Z}$ が従う。Picard 群についての同じ主張は、局所分解的なら成り立つが、尖点曲線のように余次元 $1$ で正則でないと崩れる。

設定と主張

Weil因子の定義「余次元1で正則なスキーム」に従い、スキーム $X$ が条件 $(*)$ をみたすとは、$X$ が Noether・整・分離的で、$\dim\mathcal{O}_{X,x}=1$ となるすべての点 $x$ で局所環 $\mathcal{O}_{X,x}$ が離散付値環であることをいう。$X$ の関数体を $K$、素因子 $Y$ に沿った正規付値を $\operatorname{ord}_Y\colon K^\times\to\mathbb{Z}$、$f\in K^\times$ の主因子を $\operatorname{div}_X(f)=\sum_Y\operatorname{ord}_Y(f)\,Y$、Weil 因子の群を $\operatorname{Div}X$、因子類群を $\operatorname{Cl}X=\operatorname{Div}X/\{\operatorname{div}_X(f)\}$ と書く（Weil因子の定義「素因子とWeil因子」・定義「主因子と因子類群」）。
$X\times\mathbb{A}^1:=X\times_{\operatorname{Spec}\mathbb{Z}}\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[t]$ とおき、$\pi\colon X\times\mathbb{A}^1\to X$ を射影とする。$X$ が体 $k$ 上のスキームなら $X\times\mathbb{A}^1=X\times_k\mathbb{A}^1_k$ である。$X$ のアフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}A$ の上で $\pi^{-1}(U)=\operatorname{Spec}A[t]$ であり、$A$ は商体 $K$ の Noether 整域である。

アフィン直線との積の因子類群

$X$ を条件 $(*)$ をみたすスキームとする。このとき $X\times\mathbb{A}^1$ も条件 $(*)$ をみたす。さらに、$X$ の素因子 $Y$ について $\pi^{-1}(Y)$ は $X\times\mathbb{A}^1$ の素因子であり、$Y\mapsto\pi^{-1}(Y)$ を線型に延ばした写像は群の同型
$$ \pi^*\colon\operatorname{Cl}X\xrightarrow{\ \sim\ }\operatorname{Cl}(X\times\mathbb{A}^1) $$
を誘導する。

出典と意味

Har77 II Proposition 6.6（p. 134）である。証明は下の節「証明」で与える。$X$ が体 $k$ 上の多様体なら、$\pi^{-1}(Y)=Y\times\mathbb{A}^1$ は「$Y$ の各点の上に直線を立てた」超曲面であり、定理は $X\times\mathbb{A}^1$ の余次元 $1$ の部分多様体が、この形のものを除いて主因子で書けることを述べている。

多項式環の高さ 1 の素イデアル

定理は次の補題に帰着する。

多項式環の高さ1の素イデアル

$A$ を商体 $K$ の Noether 整域とし、$A$ の高さ $1$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ ではすべて $A_{\mathfrak{p}}$ が離散付値環であるとする（その正規付値を $\operatorname{ord}_{\mathfrak{p}}$ と書く）。$\mathfrak{q}\subset A[t]$ を高さ $1$ の素イデアル、$\mathfrak{p}:=\mathfrak{q}\cap A$ とする。

（垂直型）$\mathfrak{p}\ne0$ なら、$\mathfrak{p}$ は高さ $1$ で $\mathfrak{q}=\mathfrak{p}A[t]$ である。$A[t]_{\mathfrak{q}}$ は離散付値環で、その正規付値 $v$ は $f\in K^\times$ について $v(f)=\operatorname{ord}_{\mathfrak{p}}(f)$ をみたす。逆に、高さ $1$ の素イデアル $\mathfrak{p}\subset A$ について $\mathfrak{p}A[t]$ は高さ $1$ の素イデアルである。
（水平型）$\mathfrak{p}=0$ なら、$\mathfrak{q}K[t]=(h)$ となる既約多項式 $h\in K[t]$ があり、$A[t]_{\mathfrak{q}}=K[t]_{(h)}$ は離散付値環で、$K^\times$ の元はその単元である。逆に、既約多項式 $h\in K[t]$ について $hK[t]\cap A[t]$ は $A$ との交わりが $0$ の高さ $1$ の素イデアルである。

内容による分解

$A$ の素イデアル $\mathfrak{p}'$ について、$A[t]/\mathfrak{p}'A[t]\cong(A/\mathfrak{p}')[t]$ は整域なので $\mathfrak{p}'A[t]$ は素イデアルで、$\mathfrak{p}'A[t]\cap A=\mathfrak{p}'$ である。
1：$0\ne\mathfrak{p}A[t]\subset\mathfrak{q}$ で $\operatorname{ht}\mathfrak{q}=1$ だから $\mathfrak{q}=\mathfrak{p}A[t]$ である。$0\subsetneq\mathfrak{p}'\subsetneq\mathfrak{p}$ なる素イデアルがあれば $0\subsetneq\mathfrak{p}'A[t]\subsetneq\mathfrak{p}A[t]$ となって矛盾するので、$\operatorname{ht}\mathfrak{p}=1$ である。$R:=A_{\mathfrak{p}}$ とし、その素元を $\varpi$ とする。$A\setminus\mathfrak{p}\subset A[t]\setminus\mathfrak{q}$ なので、$B:=A[t]_{\mathfrak{q}}$ は $R[t]$ の素イデアル $\varpi R[t]$ による局所化である。$R[t]$ の $0$ でない元 $g$ は、係数の付値の最小値を $c$ として $g=\varpi^cg'$（$g'\in R[t]$ はある係数が $R$ の単元）と書け、$g'\notin\varpi R[t]$ だから $g'$ は $B$ の単元である。よって商体 $K(t)$ の $0$ でない元はすべて $\varpi^nu$（$n\in\mathbb{Z}$、$u\in B^\times$）と書ける。$\varpi$ は $B$ の単元でないので $n$ は一意であり、$B$ の元では $n\ge0$ である。ゆえに $B$ は $\varpi$ を素元とする離散付値環で、$f\in K^\times$ を $f=\varpi^nu$（$u\in R^\times\subset B^\times$）と書けば $v(f)=n=\operatorname{ord}_{\mathfrak{p}}(f)$ である。
逆を示す。$0\ne\mathfrak{Q}\subsetneq\mathfrak{p}A[t]$ なる素イデアルがあったとする。$\mathfrak{Q}\cap A\subset\mathfrak{p}$ で、$\mathfrak{Q}\cap A=\mathfrak{p}$ なら $\mathfrak{p}A[t]\subset\mathfrak{Q}$ となるから、$\operatorname{ht}\mathfrak{p}=1$ により $\mathfrak{Q}\cap A=0$ である。$\mathfrak{Q}R[t]$ は $R[t]$ の素イデアルで、$\mathfrak{Q}R[t]\cap R=0$、$\mathfrak{Q}R[t]\subset\varpi R[t]$ である。$0\ne g\in\mathfrak{Q}R[t]$ を $g=\varpi^cg'$ と書くと、$\varpi\notin\mathfrak{Q}R[t]$ だから $g'\in\mathfrak{Q}R[t]\subset\varpi R[t]$ となり、$g'$ のある係数が単元であることに反する。
2：$\mathfrak{q}$ は $A\setminus\{0\}$ と交わらないので、局所化 $(A\setminus\{0\})^{-1}A[t]=K[t]$ の素イデアル $\mathfrak{q}K[t]$ に対応し、$A[t]_{\mathfrak{q}}=K[t]_{\mathfrak{q}K[t]}$ である。$\mathfrak{q}\ne0$ なので $\mathfrak{q}K[t]\ne0$ で、$K[t]$ は単項イデアル整域だから $\mathfrak{q}K[t]=(h)$（$h$ は既約）、$K[t]_{(h)}$ は離散付値環で、$K^\times$ の元は $h$ で割り切れないので単元である。逆に $\mathfrak{q}':=hK[t]\cap A[t]$ は素イデアルで $\mathfrak{q}'\cap A=0$ である。$0\ne\mathfrak{Q}\subset\mathfrak{q}'$ なる素イデアルについて $\mathfrak{Q}\cap A=0$ だから、$\mathfrak{Q}K[t]$ は $(h)$ に含まれる $0$ でない素イデアルで、$K[t]$ の $0$ でない素イデアルは極大なので $(h)$ に等しい。局所化と素イデアルの対応により $\mathfrak{Q}=\mathfrak{Q}K[t]\cap A[t]=\mathfrak{q}'$ である。$\square$

証明

$W:=X\times\mathbb{A}^1$ と書く。

垂直型と水平型の素因子

第 1 段：$W$ は Noether・整・分離的である。 $X$ は有限個のアフィン開集合 $U_i=\operatorname{Spec}A_i$ で覆われ、$W$ は $\pi^{-1}(U_i)=\operatorname{Spec}A_i[t]$ で覆われる。$A_i[t]$ は Noether 整域なので（Hilbertの基底定理）、$W$ は Noether で、各 $\pi^{-1}(U_i)$ は既約である。$X$ は既約なので $U_i\cap U_j\ne\emptyset$、したがって $\pi^{-1}(U_i)\cap\pi^{-1}(U_j)\ne\emptyset$ であり、互いに交わる既約な開集合で覆われる $W$ は既約である。局所環は整域の局所化なので $W$ は整で、関数体は $K(t)$ である。$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[t]\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ はアフィン射なので分離的で、その底変換 $\pi$ と分離的な $X\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の合成として $W$ は分離的である。
第 2 段：$W$ は余次元 $1$ で正則である。 余次元 $1$ の点 $w\in W$ は、あるアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A[t]=\pi^{-1}(\operatorname{Spec}A)$ の高さ $1$ の素イデアル $\mathfrak{q}$ に対応し、$\mathcal{O}_{W,w}=A[t]_{\mathfrak{q}}$ である。$X$ が条件 $(*)$ をみたすので $A$ は lem-cga-height-one の仮定をみたし、$\mathcal{O}_{W,w}$ は離散付値環である。こうして $W$ の素因子は次の 2 種類に分かれる。

垂直型：$\pi(w)$ が $X$ の素因子 $Y$ の生成点であるもの。補題の 1 により $w$ は $\mathfrak{p}A[t]$（$\mathfrak{p}$ は $Y$ の生成点に対応）に対応し、その閉包は各 $\operatorname{Spec}A[t]$ の上で $V(\mathfrak{p}A[t])=\pi^{-1}(V(\mathfrak{p}))$ なので、$\pi^{-1}(Y)$ に等しい。逆に補題の 1 の逆により、$\pi^{-1}(Y)$ は素因子である。$f\in K^\times$ について $\operatorname{ord}_{\pi^{-1}(Y)}(f)=\operatorname{ord}_Y(f)$ である。
水平型：$\pi(w)$ が $X$ の生成点であるもの。補題の 2 により、生成ファイバー $\operatorname{Spec}K[t]$ の閉点、すなわち $K[t]$ のモニックな既約多項式 $h$ に対応する。その閉包を $Z_h$ と書く。$\operatorname{ord}_{Z_h}$ は $K[t]$ の素因数分解での $h$ の指数で、$f\in K^\times$ について $\operatorname{ord}_{Z_h}(f)=0$ である。

第 3 段：$\pi^*$ は準同型 $\operatorname{Cl}X\to\operatorname{Cl}W$ を定める。 $\pi^*(\sum_Yn_YY):=\sum_Yn_Y\pi^{-1}(Y)$ とおく。$\pi^{-1}(Y)$ の生成点は $Y$ の生成点に写るので、$Y\mapsto\pi^{-1}(Y)$ は単射で、$\pi^*\colon\operatorname{Div}X\to\operatorname{Div}W$ は単射準同型である。第 2 段の位数の計算により、$f\in K^\times$ について
$$ \operatorname{div}_W(f)=\pi^*\operatorname{div}_X(f) $$
であり、$\pi^*$ は主因子を主因子に移す。
第 4 段：単射性。 $D\in\operatorname{Div}X$ と $f\in K(t)^\times$ が $\pi^*D=\operatorname{div}_W(f)$ をみたすとする。$K[t]$ で $f=c\prod_ih_i^{e_i}$（$c\in K^\times$、$h_i$ は相異なるモニックな既約多項式）と分解すると、$\operatorname{ord}_{Z_{h_i}}(f)=e_i$ である。$\pi^*D$ は水平型の素因子を含まないので $e_i=0$、すなわち $f=c\in K^\times$ である。すると $\pi^*D=\operatorname{div}_W(c)=\pi^*\operatorname{div}_X(c)$ で、$\operatorname{Div}$ の上の $\pi^*$ は単射なので $D=\operatorname{div}_X(c)$ である。
第 5 段：全射性。 垂直型の素因子は $\pi^*$ の像にあるので、水平型の素因子 $Z_h$ の類が像にあることを示せばよい。$h\in K(t)^\times$ の因子を考えると、水平型の素因子のうち $\operatorname{ord}\ne0$ となるのは $Z_h$ だけで、その位数は $1$ である（$h'\ne h$ なら $h$ は $K[t]_{(h')}$ の単元）。よって
$$ \operatorname{div}_W(h)=Z_h+\sum_Ym_Y\,\pi^{-1}(Y)\qquad(m_Y:=\operatorname{ord}_{\pi^{-1}(Y)}(h)) $$
であり、右辺の和は有限和である（Weil因子の補題「位数が零でない素因子の有限性」）。$E:=\sum_Ym_YY$ とおけば $[Z_h]=-\pi^*[E]$ である。$\square$

第 4 段と第 5 段は、$K[t]$ が単項イデアル整域であること、すなわち生成ファイバー $\mathbb{A}^1_K$ の因子類群が $0$ であることを使っている。垂直型の位数が底の位数と一致すること（第 2 段）が、$\pi^*$ が類群の上で定まる理由である。

系

高次元のアフィン空間との積

$X$ が条件 $(*)$ をみたすなら、$n\ge1$ について $X\times\mathbb{A}^n$ も条件 $(*)$ をみたし、$\operatorname{Cl}X\cong\operatorname{Cl}(X\times\mathbb{A}^n)$ である。とくに体 $k$ について $\operatorname{Cl}\mathbb{A}^n_k=0$ である。さらに $\operatorname{Cl}(X\times\mathbb{G}_m)\cong\operatorname{Cl}X$（$\mathbb{G}_m=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$）である。

定理の繰り返しと原点の除去

$X\times\mathbb{A}^n=(X\times\mathbb{A}^{n-1})\times\mathbb{A}^1$ なので、thm-cga-main を $n$ 回当てればよい。$X=\operatorname{Spec}k$ は素因子をもたず $\operatorname{Cl}=0$ なので $\operatorname{Cl}\mathbb{A}^n_k=0$ である。$X\times\mathbb{G}_m$ は $W=X\times\mathbb{A}^1$ から水平型の素因子 $Z_t=V(t)$ を除いた開集合である。Weil因子の定理「開集合への制限の完全列」により $\mathbb{Z}\to\operatorname{Cl}W\to\operatorname{Cl}(X\times\mathbb{G}_m)\to0$（$1\mapsto[Z_t]$）は完全で、$Z_t=\operatorname{div}_W(t)$（水平型で位数が $0$ でないのは $Z_t$ だけで、$t$ は係数 $1$ をもつので垂直型の局所環では単元）なので $[Z_t]=0$ である。よって $\operatorname{Cl}(X\times\mathbb{G}_m)\cong\operatorname{Cl}W\cong\operatorname{Cl}X$ である。$\square$

射影空間との積では、無限遠の因子の分だけ類群が大きくなる。

射影空間との積の因子類群

$X$ が条件 $(*)$ をみたすなら、$n\ge1$ について $X\times\mathbb{P}^n$ も条件 $(*)$ をみたし、$\operatorname{Cl}(X\times\mathbb{P}^n)\cong\operatorname{Cl}X\oplus\mathbb{Z}$ である。$\mathbb{Z}$ の成分は無限遠の超平面 $X\times H$（$H=V_+(x_0)$）の類で生成される。

生成ファイバーの次数による分解

要点：$X\times\mathbb{P}^n$ から無限遠の素因子 $X\times H$ を除くと $X\times\mathbb{A}^n$ で、類群は cor-cga-affine-space により $\operatorname{Cl}X$ である。生成ファイバー $\mathbb{P}^n_K$ の次数が $[X\times H]$ の分を分離する。

詳しい証明を開く

$V:=X\times\mathbb{P}^n$ は $n+1$ 個の開集合 $V_i:=X\times D_+(x_i)\cong X\times\mathbb{A}^n$ で覆われ、cor-cga-affine-space により各 $V_i$ は条件 $(*)$ をみたす。第 1 段と同じ議論で $V$ は Noether・整・分離的なので、$V$ も条件 $(*)$ をみたす。$X\times H=V\setminus V_0$ は $X\times\mathbb{P}^{n-1}$（$n=1$ なら $X$）と同型で既約である。$X$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ の上で $V_1$ は $\operatorname{Spec}A[t_0,t_2,\dots,t_n]$（$t_j=x_j/x_1$）で、$X\times H$ はそこで $V(t_0)$ である。lem-cga-height-one の 2 を底 $A[t_2,\dots,t_n]$（cor-cga-affine-space により補題の仮定をみたす）と $h=t_0$ に当てると、$(t_0)$ は高さ $1$ の素イデアルで $A$ との交わりは $0$ である。よって $X\times H$ は素因子で、$X$ の生成点の上にある。

$V$ の素因子で生成点が $X$ の生成点の上にあるもの（水平型）は、アフィン開集合 $\operatorname{Spec}A\subset X$ の上の $V_i$ の部分 $\operatorname{Spec}A[t_1,\dots,t_n]$ で $A$ との交わりが $0$ の素イデアルに対応し、それらは $K[t_1,\dots,t_n]$ の素イデアルと高さと局所環を保って対応する。したがって水平型の素因子 $Z$ に生成ファイバー $\mathbb{P}^n_K$ の素因子 $Z\cap\mathbb{P}^n_K$ を、垂直型に $0$ を対応させると、$\operatorname{div}_V(f)$ は $\operatorname{div}_{\mathbb{P}^n_K}(f)$ に写る（$f\in K(V)^\times=K(\mathbb{P}^n_K)^\times$）。射影空間の因子類群の次数写像と合成して、準同型 $\rho\colon\operatorname{Cl}V\to\operatorname{Cl}\mathbb{P}^n_K\cong\mathbb{Z}$ を得る。$\rho([X\times H])=\deg H_K=1$ である。

一方、開集合への制限の完全列により $\mathbb{Z}\to\operatorname{Cl}V\xrightarrow{r}\operatorname{Cl}V_0\to0$（$1\mapsto[X\times H]$）は完全である。$\rho$ により左の写像は単射で、$\operatorname{Cl}V=\ker\rho\oplus\mathbb{Z}[X\times H]$ と分かれる。$r$ は $\ker\rho$ の上で単射（$\ker r=\mathbb{Z}[X\times H]$ は $\ker\rho$ と $0$ でしか交わらない）かつ全射（$c\in\operatorname{Cl}V$ について $c-\rho(c)[X\times H]\in\ker\rho$ は $c$ と同じ像をもつ）である。よって $\operatorname{Cl}V\cong\operatorname{Cl}V_0\oplus\mathbb{Z}\cong\operatorname{Cl}X\oplus\mathbb{Z}$ である。$\square$

これは Har77 II 演習 6.1（p. 146）の主張である。
Picard 群については、局所環がすべて一意分解整域の場合に同じ結論が得られる。

局所分解的な場合の Picard 群

$X$ が条件 $(*)$ をみたし、さらに局所分解的スキーム（すべての局所環が一意分解整域。たとえば正則スキーム）なら、$\pi^*\colon\operatorname{Pic}X\to\operatorname{Pic}(X\times\mathbb{A}^1)$ は同型である。

類群との一致

$w\in W$、$x=\pi(w)$ とすると、$\mathcal{O}_{W,w}$ は $\mathcal{O}_{X,x}[t]$ の素イデアルによる局所化である。$\mathcal{O}_{X,x}$ は一意分解整域なので $\mathcal{O}_{X,x}[t]$ も一意分解整域であり（一意分解整域の定理「Gaussの補題と多項式環の一意分解性」）、その局所化も一意分解整域である。よって $W$ も局所分解的である。Picard群の定理「因子類群との比較（引用）」の 3 により、$X$ と $W$ の上で可逆層に有理切断の因子をとる写像は同型 $\operatorname{Pic}\cong\operatorname{Cl}$ である。可逆層 $\mathcal{L}$ を局所的な有理関数 $f_i$ の組（Cartier 因子）で表すと、$\pi^*\mathcal{L}$ は同じ $f_i$ の組で表され（Cartier因子の定義「Cartier因子の引き戻し」）、第 2 段の位数の計算によりその Weil 因子は $\pi^*$ で引き戻したものである。したがって $\operatorname{Pic}$ の上の $\pi^*$ は thm-cga-main の同型に一致する。$\square$

例

2次錐とアフィン直線の積

$k$ を体、$X=\operatorname{Spec}k[x,y,z]/(xy-z^2)$ を 2 次錐、$L=V(x,z)$ とすると、$\operatorname{Cl}X\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ で $[L]$ が生成元である（Weil因子の例「2次錐の因子類群」）。thm-cga-main により
$$ \operatorname{Cl}\bigl(\operatorname{Spec}k[x,y,z,w]/(xy-z^2)\bigr)\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $$
であり、生成元は平面 $V(x,z)=L\times\mathbb{A}^1$ の類である。$X$ は局所分解的でないので、cor-cga-picard はこの例には当てはまらない。

射影空間とアフィン空間の積

体 $k$ と $m,n\ge1$ について、射影空間の因子類群と cor-cga-affine-space により $\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^m_k\times\mathbb{A}^n_k)\cong\operatorname{Cl}\mathbb{P}^m_k\cong\mathbb{Z}$ で、超平面の引き戻し $H\times\mathbb{A}^n$ が生成元である。他方 cor-cga-projective-space を $X=\mathbb{P}^m_k$ に当てると $\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^m_k\times\mathbb{P}^n_k)\cong\mathbb{Z}^2$ である。

反例：条件を外すと

外す条件	反例	成り立たなくなること
余次元 $1$ で正則（Picard 群で述べた形）	尖点曲線 $C=\operatorname{Spec}k[s^2,s^3]$（ex-cga-cusp）	$\pi^*\colon\operatorname{Pic}C\to\operatorname{Pic}(C\times\mathbb{A}^1)$ の全射性
掛けるのがアフィン直線であること	$X\times\mathbb{P}^1$（cor-cga-projective-space）	$\pi^*\colon\operatorname{Cl}X\to\operatorname{Cl}(X\times\mathbb{P}^1)$ の全射性（余核は $\mathbb{Z}$）

反例：尖点曲線と Picard 群

$k$ を体、$A:=k[s^2,s^3]\subset k[s]$、$C:=\operatorname{Spec}A$ とする。$A_{(s^2,s^3)}$ は整閉でないので離散付値環でなく、$C$ は条件 $(*)$ をみたさない。$R:=A[t]$ とすると、$A$ は $s$ の 1 次の項をもたない多項式の全体なので、$R=\{f\in k[s,t]\mid f\equiv a(t)\bmod s^2\ \text{となる}\ a(t)\in k[t]\ \text{がある}\}$ である。
$$ M:=\{f\in k[s,t]\mid f\equiv a(t)(1+st)\bmod s^2\ \text{となる}\ a(t)\in k[t]\ \text{がある}\} $$
とおく。$M$ は $R$ 加群で、可逆である。実際 $g:=1+st\in M$、$w:=1-s^2t^2=(1+st)(1-st)\in R$ とおくと、$f=a(t)g+s^2h\in M$ について $f/g=a(t)+s^2h(1-st)/w\in R_w$ なので $M_w=gR_w$ であり、$s^2k[s,t]\subset M\subset k[s,t]$ から $M_{s^2}=k[s,t][s^{-1}]=R_{s^2}$ である。$w+t^2s^2=1$ なので $D(w)$ と $D(s^2)$ は $\operatorname{Spec}R$ を覆う。
$c\in k$ について $M/(t-c)M$ を求める。$t=c$ を代入する写像 $M\to k[s]$ の像は $M_c:=\{f\in k[s]\mid f\equiv a(1+cs)\bmod s^2,\ a\in k\}$ で、核は $(t-c)M$ である（$f=(t-c)q\in M$ なら $a(c)=0$ なので $a=(t-c)a'$ と書け、$k[t][s]/(s^2)$ で $t-c$ は零因子でないから $q\equiv a'(t)(1+st)$、すなわち $q\in M$）。よって $M/(t-c)M\cong M_c$ である。$M_c\cong A$ なら $M_c=gA$（$g\in k(s)^\times$）と書け、$M_ck[s]=gk[s]$ である。$1+cs$ と $s^2$ は $k[s]$ で互いに素なので $M_ck[s]=k[s]$、したがって $g\in k^\times$ で $M_c=A$、$1+cs\in A$ から $c=0$ である。逆に $M_0=A$ である。
もし $M\cong\pi^*N=N\otimes_AR$（$N$ は可逆 $A$ 加群）なら、すべての $c$ で $M/(t-c)M\cong N$ となり、$M_0\cong M_1$ に反する。よって $[M]\in\operatorname{Pic}(C\times\mathbb{A}^1)$ は $\pi^*$ の像にない。この例は「Noether・整・分離的」をみたし「余次元 $1$ で正則」だけを破っており、cor-cga-picard の結論が崩れる。$\operatorname{Pic}C$ 自体は特異曲線のPicard群の例「尖点：加法群」で求められている。